【考研类试卷】考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷4及答案解析.doc

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1、考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 4 及答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，若 P=( 1 ，2 3 ，- 2 )，则 P -1 AP=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。B.若 是 A * 的特征向量，那么 是 A 的

2、特征向量。C.若 是 A 2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。D.若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。4.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ，A( 2 + 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 0。B. 2 0。C. 1 =0。D. 2 =0。5.若 n 阶可逆矩阵 A 的属于特征值 的特征向量是 ，则在下列矩阵中， 不是其特征向量的是( )（分数：2.00）A.(A+E) 2 。B.-3A。C.A * 。D.A T 。6.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性

3、无关，而 A 3 =3A-2A 2 ，那么矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量是( )（分数：2.00）A.。B.A+2。C.A 2 -A。D.A 2 +2A-3。7.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中， (1)A 2 。(2)P -1 AP。 (3)A T 。(4)E- （分数：2.00）A.1 个。B.2 个。C.3 个。D.4 个。8.已知矩阵 则与 A 相似的矩阵是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 A 为 n 阶方阵，且 A k =O(k 为正整数)，则( )（分数：2.00）A.A=

4、O。B.A 有一个不为 0 的特征值。C.A 的特征值全为 0。D.A 有 n 个线性无关的特征向量。10.已知 1 =(-1，1，t，4) T ， 2 =(-2，1，5，t) T ， 3 =(t，2，10，1) T 分别是四阶方阵 A的三个不同的特征值对应的特征向量，则( )（分数：2.00）A.t5。B.t-4。C.t-3。D.t-3 且 t-4。二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.设 A 为 n 阶实对称矩阵，且 A 2 =A，R(A)=r，则 A 的全部特征值为 1，行列式2E-3A= 2。（分数：2.00）填空项 1:_12.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:

5、_13.已知 A 是三阶实对称矩阵，特征值是 1，3，-2，其中 1 =(1，2，-2) T ， 2 =(4，-1，a) T 分别是属于特征值 =1 与 =3 的特征向量，那么矩阵 A 属于特征值 =-2 的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则4A -1 -E= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.已知向量 = 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_16.设 4 阶矩阵 A 和 B 相似，如果 B * 的特征值是 1，-1，2，4，则A * = 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设

6、 =(1，-1，a) T ，=(1，a，2) T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.设 3 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 4 阶方阵 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_20.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_21.设 3 阶矩阵 A 与 B 相似，且3E+2A=0，3E+B=E-2B=0，则行列式A的代数余子式 A 11 +A 22 +A 33 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)22.解答题解答应写

7、出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.设 A= （分数：2.00）_24.设 A= （分数：2.00）_25.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A 2 =O，证明矩阵 A+E 可逆。（分数：2.00）_26.设 1 ， 2 是矩阵 A 属于不同特征值的特征向量，证明 1 + 2 不是矩阵 A 的特征向量。（分数：2.00）_27.三阶矩阵 A 满足 A i =i i (i=1，2，3)，其中列向量 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，-2，1) T ， 3 =(-2，-1，2) T ，试求矩阵 A。（分数：2.00）_28.判断矩阵 A= （分数：2.00）_29

8、.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 。 ()求矩阵 B 使得 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )B； ()求矩阵 A 的特征值； ()求可逆矩阵 P 使得 P -1 AP 为对角矩阵。（分数：2.00）_30.设 A= （分数：2.00）_31.某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由新招收的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年一月份统计

9、的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成 n = ()求 n+1 与 n 的关系式，并写成矩阵形式： n+1 =A n ； ()求矩阵 A 的特征值与特征向量； ()若 0 = （分数：2.00）_32.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值。若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(-1，2，-3) T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量。求 A 的另一个特征值和对应的特征向量。（分数：2.00）_33.设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：2.00）_34.已知矩阵 A= （

10、分数：2.00）_35.设 A 为三阶矩阵，且 A i =i i (i=1，2，3)，其中 1 = ， 2 = ， 3 = （分数：2.00）_36.设 A 为正交矩阵，证明：()A=1；()若A=-1，则E+A=0。（分数：2.00）_37.设 A= （分数：2.00）_38.设矩阵 A 与 B 相似，且 ()求 a，b 的值； ()求可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B。（分数：2.00）_39.在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 x n 和

11、y n (x n +y n =1)。 ()求关系式 中的矩阵 A； ()设目前农村人口与城镇人口相等，即 （分数：2.00）_40.已知矩阵 A= （分数：2.00）_考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 4 答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，若 P=( 1 ，2 3 ，- 2 )，则 P -1 AP=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解

12、析：解析：由题意得，A 2 =3 2 ，因此有 A(- 2 )=3(- 2 )，即当 2 是矩阵 A 属于特征值=3 的特征向量时，- 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。同理 2 3 仍是矩阵 A 属于特征值=-2 的特征向量。 当 P -1 AP= 时，P 由 A 的特征向量所构成， 由 A 的特征值所构成，且 P 的列向量与 对角线上的元素的位置是一一对应的。因为已知矩阵 A 的特征值是 1，3，-2，故对角矩阵 对角线上元素应当由 1，3，-2 构成，因此排除(B)、(C)。 由于 2 3 是属于 =-2 的特征向量，所以-2在对角矩阵 中应当是第 2 列第 2 行的元素，

13、故应选(A)。3.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。B.若 是 A * 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。C.若 是 A 2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。D.若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。 解析：解析：若 是 2A 的特征向量，即(2A)=，0。那么 A= ，所以 是矩阵 A属于特征值 的特征向量，故(D)正确。 由于(E-A)x=0 与(E-A T )x=0 不一定同解，所以口不一定同时是 A T 和 A 的特征向量。 例如 4.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同

14、的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ，A( 2 + 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 0。B. 2 0。 C. 1 =0。D. 2 =0。解析：解析：设 k 1 1 +k 2 A( 1 + 2 )=0，由题设条件得(k 1 + 1 k 2 ) 1 + 2 k 2 2 =0，由于 1 ， 2 是属于 A 的不同特征值的特征向量，故 1 ， 2 线性无关，从而 所以， 1 ，A( 1 + 2 )线性无关 k 1 =k 2 =0 行列式 5.若 n 阶可逆矩阵 A 的属于特征值 的特征向量是 ，则在下列矩阵中， 不是其特征向量的是( )（分数：2.00

15、）A.(A+E) 2 。B.-3A。C.A * 。D.A T 。 解析：解析：由题意 A=，所以 (A+E) 2 =(A 2 +2A+E)=( 2 +2+1)=(+1) 2 ， 且 -3A=-3，A * =AA -1 = 6.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A-2A 2 ，那么矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量是( )（分数：2.00）A.。B.A+2。C.A 2 -A。 D.A 2 +2A-3。解析：解析：由已知 A 3 +2A 2 -3A=0，即有 (A+3E)(A 2 -A)=0=O(A 2 -A)。 因为，A，A 2 线性无

16、关，那么必有 A 2 -Aa0，所以，A 2 -A 是矩阵 A+3E 属于特征值 =0 的特征向量，亦即矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量。所以应选(C)。7.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中， (1)A 2 。(2)P -1 AP。 (3)A T 。(4)E- （分数：2.00）A.1 个。B.2 个。 C.3 个。D.4 个。解析：解析：由题意 A=，0，于是有 A 2 =A()=A= 2 ，0，即 必是 A 2 属于特征值 2 的特征向量。 又 (E- A)=- A=(1- )，0， 知 必是矩阵

17、E- A 属于特征值 1- 8.已知矩阵 则与 A 相似的矩阵是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：对于(B)选项中的矩阵 B，有9.设 A 为 n 阶方阵，且 A k =O(k 为正整数)，则( )（分数：2.00）A.A=O。B.A 有一个不为 0 的特征值。C.A 的特征值全为 0。 D.A 有 n 个线性无关的特征向量。解析：解析：设 是 A 的一个特征值，则 k 是 A k 的特征值。因为 A k =O，且零矩阵的特征值只能是零，所以 A k 的全部特征值应为 0，从而 k =0，故 =0。故选(C)。10.已知 1 =(-1，1，t，4) T ， 2 =(-2，

18、1，5，t) T ， 3 =(t，2，10，1) T 分别是四阶方阵 A的三个不同的特征值对应的特征向量，则( )（分数：2.00）A.t5。 B.t-4。C.t-3。D.t-3 且 t-4。解析：解析：因为矩阵的不同特征值对应的特征向量必线性无关，所以 R( 1 ， 2 ， 3 )=3。对矩阵( 1 ， 2 ， 3 )作初等行变换，即 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.设 A 为 n 阶实对称矩阵，且 A 2 =A，R(A)=r，则 A 的全部特征值为 1，行列式2E-3A= 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 = 2 = r =1， r+1 =

19、 r+2 = n =0；(-1) r 2 n-r）解析：解析：设 是矩阵 A 的任意一个特征值， 是属于 的特征向量，即 A=。 在等式 A 2 =A两边右乘 ，得 A 2 =A，也就是 2 =，即( 2 -)=0。因 0，故有 2 -=0，可得 A 的特征值 =0 或 1。 又已知 A 为实对称矩阵，则必可相似对角化，而 A 的秩 R(A)=r，因此 A 的特征值为 1 = 2 = r =1， r+1 = r+2 = n =0， 进而可知矩阵 2E-3A 的特征值为 1 = r =2-31=-1， r+1 = n =2-30=2， 故 2E-3A=(-1) r 2 n-r 。12.设矩阵 A

20、= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=4，x=-1，z 为任意实数）解析：解析：依题意有E-A=(-1)(-2)(-3)=(-1)( 2 -5+6)，即 13.已知 A 是三阶实对称矩阵，特征值是 1，3，-2，其中 1 =(1，2，-2) T ， 2 =(4，-1，a) T 分别是属于特征值 =1 与 =3 的特征向量，那么矩阵 A 属于特征值 =-2 的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(0，1，1) T ，k0）解析：解析：因为 A 是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，设 =-2 的特征向量是 3 =(x 1 ，x

21、 2 ，x 3 ) T ，那么有 解得 a=1，又由方程组 14.设 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则4A -1 -E= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：由已知条件可得，A -1 的特征值为 15.已知向量 = 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 或-2）解析：解析：设 A 是 A -1 对应于 的特征值，则 A -1 =，即 =A，亦即 于是得方程组 16.设 4 阶矩阵 A 和 B 相似，如果 B * 的特征值是 1，-1，2，4，则A * = 1。（分数：2.00）填空

22、项 1:_ （正确答案：正确答案：-8）解析：解析：已知 B * 的特征值，所以B * =1(-1)24=-8，又B * =BB -1 =B 4 B -1 =B 3 =-8，所以B=-2。 又 A 和 B 相似，所以A=B=2，于是A * =AA -1 =A 4 A -1 =A 3 =-8。17.设 =(1，-1，a) T ，=(1，a，2) T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1，-1，1) T ，k0）解析：解析：令 B= T ，那么可知矩阵 B 的秩是 1，且 T

23、 =a+1，因此鼬= T =(a+1)，由此可知矩阵 B 的特征值为 a+1，0，0。那么 A=E+B 的特征值为 a+2，1，1。 又因为 =3 是矩阵 A 的特征值，因此 1+(a+1)=3，可得 a=1。于是就有 B=2。 =(1，-1，1) T 是矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，也就是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。18.设 3 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：由于矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以可知矩阵 A 有 3 重特征值，设 是 A 的特征值。由矩阵的迹的性质，有 3=4-2+1，因此得 =1。于是有19

24、.设 4 阶方阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析：方阵的特征多项式20.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：因为 E-A= =(-2)(-3) 2 ， 所以矩阵 A 的特征值为 2，3，3。因为矩阵 A的特征值有重根，所以有 =3 有两个线性无关的特征向量 (3E-A)x=0 有两个线性无关的解 R(3E-A)=1。 那么 3E-A= 21.设 3 阶矩阵 A 与 B 相似，且3E+2A=0，3E+B=E-2B=0，则行列式A的代数余子式 A 11 +A 22 +A 3

25、3 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由3E+2A=0 知，矩阵 A 有一个特征值 1 = 由3E+B=E-2B=0 知，矩阵 B有两个特征值分别为 2 =-3， 3 = 又因为 A 与 B 相似，所以 A 与 B 有相同的特征值。从而 A 的特征值为 1 = ， 2 =-3， 3 = 。于是 A * 的特征值为 。因此 A 11 +A 22 +A 33 =tr(A * )= 三、解答题(总题数：19，分数：38.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确

26、答案：由E-A= =(+2) 2 (-4)=0，得 1 = 2 =-2， 2 =4。 当 1 = 2 =-2 时，由(-2E-A)x=0，得 =-2 对应的两个线性无关的特征向量为 1 = ， 2 = ，所以 A 的属于特征值-2 的特征向量为 k 1 1 +k 2 2 ，其中 k 1 ，k 2 不全为 0； 当 3 =4 时，由(4E-A)x=0，得 =4 对应的特征向量为 3 = )解析：24.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 的特征方程 =(-9)(-1) 2 =0， 得 A 的特征值 1 =9， 2 = 3 =1，从而A=119=9。若 A 的特征值为 ，则对

27、应 A * 的特征值为 ，于是 A * 的特征值为1，9，9。 当 1 =9 时，对(9E-A)x=0 的系数矩阵作初等行变换， 得矩阵 A 属于特征值 1 =9的特征向量 1 =(1，2，3) T ，对应 A * 属于特征值 =1 的全部特征向量为 k 1 1 ，其中 k 1 为非零常数。 当 2 = 3 =1 时，对(E-A)x=0 的系数矩阵作初等行变换， )解析：25.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A 2 =O，证明矩阵 A+E 可逆。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 3 +2A 2 =O 可知，矩阵 A 的特征值均满足 3 +2 2 =0 。因此 A 的特征值

28、只能为 0 或-2，A+E 的特征值均为 1 或-1，故A+E0，因此 A+E 可逆。)解析：26.设 1 ， 2 是矩阵 A 属于不同特征值的特征向量，证明 1 + 2 不是矩阵 A 的特征向量。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 1 = 1 1 ，A 2 = 2 2 ，且 2 2 ，假设 1 + 2 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 A( 1 + 2 )=( 1 + 2 )。 再由 A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 = 1 1 + 2 2 得 (- 1 ) 1 +(- 2 ) 2 =0。 因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所以 - 1 =0，- 2 =0 )解

29、析：27.三阶矩阵 A 满足 A i =i i (i=1，2，3)，其中列向量 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，-2，1) T ， 3 =(-2，-1，2) T ，试求矩阵 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件可得，A 1 = 1 ，A 2 =2 2 ，A 2 =3 3 ，所以 1 ， 2 ， 3 是矩阵 A 不同特征值的特征向量，故它们线性无关。利用分块矩阵，则有 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ，2 2 ，3 3 )， 因为矩阵( 1 ， 2 ， 3 )可逆，故 A=( 1 ，2 2 ，3 3 )( 1 ， 2 ， 3 ) -1 )解析：28.判断矩阵

30、A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A=(-1) 2 (+2)=0 可得到矩阵 A 的特征值是 1 = 2 =1， 3 =-2。 由于 A-E= )解析：29.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 。 ()求矩阵 B 使得 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )B； ()求矩阵 A 的特征值； ()求可逆矩阵 P 使得 P -1 AP 为对角矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题设有 A( 1 ， 2 ，

31、3 )=(A 1 ，A 2 ，A 3 )=( 1 + 2 + 3 ，2 2 + 3 ，2 2 +3 3 ) =( 1 ， 2 ， 3 ) 于是 ()令 P 1 =( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 P 1 可逆，且由()的结论 P 1 -1 AP 1 =B，可知 AB。 由 B 的特征方程 E-B= =(-1) 2 (-4)=0 得矩阵 B 的特征值为 1，1，4，由相似矩阵的性质可知矩阵 A 的特征值也是 1，1，4。 ()由()的结论知 B 的特征值分别是 1，1，4，于是解(E-B)x=0，得矩阵 B 属于特征值 1 的线性无关的特征向量 1 =(-1，

32、1，0) T ， 2 =(-2，0，1) T ；解(4E-B)x=0，得矩阵 B 属于特征值 4 的特征向量 2 =(0，1，1) T 。 令 P 2 =( 1 ， 2 ， 3 )，则有 P 2 -1 BP 2 = 将 P 1 -1 AP 1 =B 代入可得 P 2 -1 P 1 -1 AP 1 P 2 = 令 P=P 1 P 2 =( 1 ， 2 ， 3 ) =(- 1 + 2 ，-2 1 + 3 ， 2 + 3 )， 则 P -1 AP= )解析：30.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A= =(-1)(-2) 2 =0，得矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 = 3

33、 =2。 当 1 =1 时，由(E-A)x=0，得相应的特征向量 1 = 当 2 = 3 =2 时，由(2E-A)x=0，得两个线性无关的特征向量 2 = ， 3 = 令 P= ，则有 P -1 AP= ，两边分别 n 次方得，P -1 A n P= ，于是 A n = P -1 )解析：31.某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由新招收的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成 n = ()求 n+1 与 n 的关系式，并写

34、成矩阵形式： n+1 =A n ； ()求矩阵 A 的特征值与特征向量； ()若 0 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()依题意有 用矩阵表示，即为 ()令特征多项式 因此，得矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 = 当 =1 时，由(E-A)x=0，得基础解系 1 = ，因此矩阵A 属于 =1 的特征向量是 k 1 1 (k 1 0)。 当 = 时，由( E-A)x=0，得基础解系 2 = ，因此矩阵 A 属于 = 的特征向量是 k 2 2 (k 2 0)。 ()设 x 1 1 +x 2 2 = 0 ，即 于是 0 = 2 ，那么 A 0 = A 1 + A 2 。故 )解析：3

35、2.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值。若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(-1，2，-3) T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量。求 A 的另一个特征值和对应的特征向量。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 R(A)=2，知 A 的另一个特征值为 3 =0。设 3 对应的特征向量为 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，由题设知， 1 x=0， 2 x=0，即 )解析：33.设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A= ，有 易得 a=0，c=1，b=0，e=0，f=0，于是 再由 R(A)=2，得 d=0，因此 A= )解析：34.已知矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()矩阵 A 的特征多项式 (-4)(-1) 2 ， 所以 A 的特征值为 1 =4， 2 = 3 =1，由 得 A 属于 1 =4 的特征向量 p 1 =(1，1，1) T 。 由 得 A 属于 2 = 3 =1 的两个线性无关的特