【考研类试卷】考研数学一(向量代数与空间解析几何)-试卷1及答案解析.doc
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1、考研数学一(向量代数与空间解析几何)-试卷 1及答案解析(总分:88.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:17,分数:34.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.已知曲面 z=x 2 +y 2 上点 P处的切平面平行于平面 2x+2y+z一 1=0,则点 P的坐标是 ( )(分数:2.00)A.(1,一 1,2)B.(一 1,1,2)C.(1,1,2)D.(一 1,一 1,2)3.设平面方程为 Ax+Cz+D=0,其中 A,C,D 均不为零,则平面 ( )(分数:2.00)A.平行于 x轴B.平行于 y轴C.经过 x轴D.经过
2、y轴4.已知向量 的始点 A(4,0,5), 的方向余弦为 (分数:2.00)A.(10,一 2,1)B.(一 10,一 2,1)C.(10,2,1)D.(10,一 2,一 1)5.双曲线 (分数:2.00)A.B.C.D.6.已知等边三角形ABC 的边长为 1,目 (分数:2.00)A.B.C.D.7.过点 P(2,0,3)且与直线 (分数:2.00)A.(x一 2)一 2(y0)+4(z一 3)=0B.3(x一 2)+5(y0)一 2(z一 3)=0C.一 16(x一 2)+14(y0)+11(z一 3)=0D.一 16(x+2)+14(y一 0)+11(z一 3)=08.已知 (分数:2
3、.00)A.B.C.D.9.已知 (分数:2.00)A.1B.C.2D.10.曲线 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 与 x 2 +y 2 =2ax(a0)的交线是 ( )(分数:2.00)A.抛物线B.双曲线C.圆D.椭圆11.设直线 L为 (分数:2.00)A.L平行于 B.L在 上C.L垂直于 D.L与 相交但不垂直12.曲面 (分数:2.00)A.48B.64C.36D.1613.设 a,b,c 为非零向量,则与 a不垂直的向量是 ( )(分数:2.00)A.(a.c)b一(a.b)cB.C.abD.a+(ab)a14.与直线 及直线 (分数:2.00)A.x+y+z=0B.x一
4、y+z=0C.x+yz=0D.xy+z+2=015.直线 (分数:2.00)A.B.C.D.16.曲线 (分数:2.00)A.x 2 +20y 2 -24x-116=0B.4y 2 +4z 2 一 12z-7=0C.D.17.曲面 (分数:2.00)A.aB.C.0D.二、填空题(总题数:14,分数:28.00)18.设 A=2a+b,B=ka+b,其中a=1,b=2,且 ab若 AB,则 k= 1(分数:2.00)填空项 1:_19.点(-1,2,0)在平面 x+2y-z+1=0上的投影为 1(分数:2.00)填空项 1:_20.点(1,2,1)到平面x+2y+2z-13=0 的距离是 1(
5、分数:2.00)填空项 1:_21.已知 (分数:2.00)填空项 1:_22.过三点 A(1,1,一 1),B(-2,一 2,2)和 C(1,一 1,2)的平面方程是 1(分数:2.00)填空项 1:_23.三平面 x+3y+z=1,2xy-z=0,一 x+2y+2z=3的交点是 1(分数:2.00)填空项 1:_24.xOz坐标面上的抛物线 z 2 =x一 2绕 x轴旋转而成的旋转抛物面的方程是 1(分数:2.00)填空项 1:_25.设 a=(3,一 5,8),b=(-1,1,z),a+b=a-b,则 z= 1(分数:2.00)填空项 1:_26.向量 a=(4,一 3,4)在向量 b=
6、(2,2,1)上的投影为 1(分数:2.00)填空项 1:_27.已知向量 a=(2,一 1,一 2),b=(1,1,z),则使 a和 b的夹角(ab)达到最小的 z为 1(分数:2.00)填空项 1:_28.已知ABC 的顶点坐标为 A(1,2,1),B(1,0,1),C(0,1,z),则当 z= 1时,ABC 的面积最小(分数:2.00)填空项 1:_29.设 a,b,c 的模a=b=c=2,且满足 a+b+c=0,则 a.b+b.c+c.a= 1(分数:2.00)填空项 1:_30.过直线 且和点(2,2,2)的距离为 (分数:2.00)填空项 1:_31.曲面 z一 e z +2xy=
7、3在点(1,2,0)处的切平面方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:26.00)32.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_33.求直线 (分数:2.00)_34.求直线 (分数:2.00)_设曲线 L是抛物柱面 x=2y 2 与平面 x+z=1的交线(分数:4.00)(1).求曲线 L在各个坐标平面上的投影曲线;(分数:2.00)_(2).求曲线 L分别绕各个坐标轴旋转一周的曲面方程(分数:2.00)_设有曲面 S:2x 2 +4y 2 +z 2 =4与平面 :2x+2y+z+5=0,试求(分数:4.00)(1).曲面 S上的点及其上的切平面与法线
8、方程,使该切平面与平面 平行;(分数:2.00)_(2).曲面 S与平面 的最短距离(分数:2.00)_35.设 A(a ij ) nn 是非零矩阵,且A中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明:A0(分数:2.00)_36. (分数:2.00)_37. (分数:2.00)_(分数:8.00)_(2). (分数:2.00)_(3). (分数:2.00)_(4). (分数:2.00)_考研数学一(向量代数与空间解析几何)-试卷 1答案解析(总分:88.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:17,分数:34.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要
9、求。(分数:2.00)_解析:2.已知曲面 z=x 2 +y 2 上点 P处的切平面平行于平面 2x+2y+z一 1=0,则点 P的坐标是 ( )(分数:2.00)A.(1,一 1,2)B.(一 1,1,2)C.(1,1,2)D.(一 1,一 1,2) 解析:解析:切平面平行于平面 2x+2y+z一 1=0,可知切平面的法向量为(2,2,1)又由 z=x 2 +y 2 可得曲线切平面的法向量(z y “ ,z y “ ,一 1)=(2x,2y,一 1)令(2x,2y,一 1)(2,2,1),解得 x=一 1,y=一 1,代入 z=x 2 +y 2 ,解得 x=2所以,P 点坐标为(一 1,一
10、1,2)3.设平面方程为 Ax+Cz+D=0,其中 A,C,D 均不为零,则平面 ( )(分数:2.00)A.平行于 x轴B.平行于 y轴 C.经过 x轴D.经过 y轴解析:解析:平面 Ax+Cz+D=0的法向量 n=(A,0,C),易见 nj而 j是 xOz平面的法向量,故该平面与=xOz平面垂直又因为 D0,它不过原点,从而与 y轴平行(但不经过 y轴)应选 B4.已知向量 的始点 A(4,0,5), 的方向余弦为 (分数:2.00)A.(10,一 2,1)B.(一 10,一 2,1)C.(10,2,1) D.(10,一 2,一 1)解析:解析:设 B(x,y,z),则5.双曲线 (分数:
11、2.00)A. B.C.D.解析:解析:xOz 面上曲线 C:f(x,z)=0 绕 z轴旋转而成的旋转曲面方程为6.已知等边三角形ABC 的边长为 1,目 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:a.b=abcos(ab),而a=1,b=1, 类似地可得, ,所以应选 D7.过点 P(2,0,3)且与直线 (分数:2.00)A.(x一 2)一 2(y0)+4(z一 3)=0B.3(x一 2)+5(y0)一 2(z一 3)=0C.一 16(x一 2)+14(y0)+11(z一 3)=0 D.一 16(x+2)+14(y一 0)+11(z一 3)=0解析:解析:所求平面 的法向量 n可取为
12、已知直线的方向向量 s=(1,一 2,4)(3,5,一 2)=(一16,14,11)故 的方程为一 16(x一 2)+14(y0)+11(z一 3)=08.已知 (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:由向量加法运算的几何意义,以 a、b 为邻边的平行四边形对应的对角线向量为 a+b,故它的单位向量为9.已知 (分数:2.00)A.1B.C.2D. 解析:解析:10.曲线 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 与 x 2 +y 2 =2ax(a0)的交线是 ( )(分数:2.00)A.抛物线B.双曲线C.圆 D.椭圆解析:解析:x 2 +y 2 +z 2 =a 2 表示球心在原点、半径
13、为 a的球面,而 x 2 +y 2 =2az表示顶点在原点、开口向上的旋转抛物面,即可知它们的交线是圆应选 C11.设直线 L为 (分数:2.00)A.L平行于 B.L在 上C.L垂直于 D.L与 相交但不垂直解析:解析:直线 L的方向向量为12.曲面 (分数:2.00)A.48B.64 C.36D.16解析:解析:曲面 上任一点 P(x,y,z)处的法向量为 在点 P(x,y,z)处的切平面方程为13.设 a,b,c 为非零向量,则与 a不垂直的向量是 ( )(分数:2.00)A.(a.c)b一(a.b)cB.C.abD.a+(ab)a 解析:解析:因 对于 A,a(a.c)b 一(a.b)
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