【考研类试卷】考研数学一(一元函数积分学)-试卷6及答案解析.doc
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1、考研数学一(一元函数积分学)-试卷 6 及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 F(x)= (分数:2.00)A.a 2 B.a 2 f(a)C.0D.不存在3.若连续函数 f(x)满足关系式 f(x)= (分数:2.00)A.e x ln2B.e 2x xln2C.e x +ln2D.e 2x +ln24.I= 0 1 ln 2 xdx 是( )(分数:2.00)A.定积分且值为B.定积分且值为C.反常积分且发散D.反常积分且值为5.数列极限 =(
2、) (分数:2.00)A.B.C.D.6.设 f(x)连续,且 0 1 f(xt)dt= (分数:2.00)A.1+B.2+CxsinxC.2+CxD.2+x7.若连续函数满足关系式 f(x)= +e,则 f(x)=( ) (分数:2.00)A.B.C.D.8.设 I 1 = (分数:2.00)A.I 1 I 2 1B.1I 1 I 2 C.I 2 I 1 1D.1I 2 I 19.积分 I= ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:7,分数:14.00)10.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_11.已知f“(x 3 )dx=x 3 +C(C 为任意常数),则 f(
3、x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_12.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_13.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_14.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_15.设 a0,则 I= (分数:2.00)填空项 1:_16.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:12,分数:24.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_18.设 y=f(x)是区间0,1上的任一非负连续函数 (1)试证存在 x 0 (0,1),使得在区间0,x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积,等于在区间x 0 ,1上以 y=f(x)为曲边的梯
4、形面积 (2)又设 f(x)在区间(0,1)内可导,且 f“(x) (分数:2.00)_19.为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(如图 33 所示)已知井深 30m,抓斗自重 400N,缆绳每米重 50N,抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为 3ms,在提升过程中,污泥以20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:1 N1 m=1 J,m,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计) (分数:2.00)_20.求 (分数:2.00)_21.过坐标原点作曲线 y=lnxc 的切线,
5、该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D (1)求 D 的面积4; (2)求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V。(分数:2.00)_22.某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k,k0)汽锤第一次击打将桩打进地下 a m根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1)问 (1)汽锤击打桩 3 次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米)(分数:2.00)_23.如
6、图 34 所示,曲线 C 方程为 y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4)设函数 f(x)具有三阶连续导数,计算定积分 0 3 (x+x)f“(x)dx (分数:2.00)_24.设 f(x)是连续函数 (1)利用定义证明函数 F(x)= 0 x f(t)dt 可导,且 F“(x)=f(x) (2)当 f(x)是以 2 为周期的周期函数时,证明函数 G(x)=2 0 x f(t)dt 一 x 0 2 f(t)dt 也是以 2 为周期的周期函数(分数:2.00)_25.椭球面 S 1 是椭圆 =1
7、绕 x 轴旋转而成,圆锥面 S 2 是过点(4,0)且与椭圆 (分数:2.00)_26.(1)比较 0 1 lntln(1+t) n dt 与 0 1 t n lntdt(n=1,2,)的大小,说明理由 (2)记u n = 0 1 lntln(1+t) n dt(n=1,2,),求极限 (分数:2.00)_27.设 f(x)在区间a,b上可导,且满足 f(b).cosb= (分数:2.00)_28.计算 (分数:2.00)_考研数学一(一元函数积分学)-试卷 6 答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有
8、一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 F(x)= (分数:2.00)A.a 2 B.a 2 f(a) C.0D.不存在解析:解析:利用洛必达法则因3.若连续函数 f(x)满足关系式 f(x)= (分数:2.00)A.e x ln2B.e 2x xln2 C.e x +ln2D.e 2x +ln2解析:解析:在等式 f(x)= 0 2x f( )dt+ln2 两端对 x 求导,得 f“(x)=2f(x),则 4.I= 0 1 ln 2 xdx 是( )(分数:2.00)A.定积分且值为B.定积分且值为 C.反常积分且发散D.反常积分且值为解析:解析:被积函数 f(x)=xln
9、2 x 虽在 x=0 无定义,但 =0,若补充定义 f(0)=0,则 f(x)在0,1连续,因而 0 1 xln 2 xdx 是定积分 5.数列极限 =( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:由已知6.设 f(x)连续,且 0 1 f(xt)dt= (分数:2.00)A.1+B.2+CxsinxC.2+Cx D.2+x解析:解析:令 xt=u,则 du=x.dt,那么7.若连续函数满足关系式 f(x)= +e,则 f(x)=( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:由题意 f(1)= 1 1 f(t 2 )dt+e,所以 f(1)=e 8.设 I 1 = (分数:
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