【考研类试卷】考研数学一（一元函数积分学）-试卷4及答案解析.doc

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1、考研数学一（一元函数积分学）-试卷 4 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.由曲线 y=1 一(x 一 1) 2 及直线 y=0 围成图形(如图 31 所示)绕 y 轴旋转而成的立体的体积 V 是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.曲线 r=ae b (a0，b0)从 =0 到 =(0)的一段弧长为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.旋轮线的一支 x=a(tsint)，y=a(1 一 cost)(0t2)的质心是( ) （分数：2.

2、00）A.B.C.D.5.半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度 =1若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 P 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 F(x)= x x+2 e sint sintdt，则 F(x)( )（分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数7.等于( ) （分数：2.00）A. 0 1 ln2xdxB.2 1 2 lnxdxC.2 1 2 ln(1+x)dxD. 1 2 ln 2 (1+x)dx8.设函数 f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A

3、. 0 x tf(t)一 f(一 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f(t) 2 dt9.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程 a x f(t)dt+ （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.无穷多个二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)=max1，x 2 ，则 x x f(t)dt= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.抛物线 y 2 =2px，从原点到这曲线上的一点 M(x，y)的弧长 s= 1（分数：2.00）填空项

4、 1:_13.已知曲线 y=f(x)过点(0，一 （分数：2.00）填空项 1:_14.在曲线 y=x 2 (0x1)上取一点(t，t 2 )(0t1)，设 A 1 是由曲线 y=x 2 (0x1)，直线 y=t 2 和 x=0 所围成图形的面积；A 2 是由曲线 y=x 2 (0x1)，直线 y=t 2 和 x=1 所围成图形的面积，则t 取 1 时，A=A 1 +A 2 取最小值（分数：2.00）填空项 1:_15.已知抛物叶形线的一部分：y 2 = (3 一 x) 2 (0x3)，如图 32 所示，它围成的图形为 M，则 M 的面积 A= 1，M 的质心(形心) = 2 （分数：2.00

5、）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求由曲线 y= 与直线 y=a(0a1)以及 x=0，x=1 围成的平面图形(如图 35 的阴影部分)绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a) （分数：2.00）_18.设函数 f(x)在0，上连续，且 0 f(x)dx= 0 f(x)cosxdx=0试证明在(0，)内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使 f( 1 )=f( 2 )=0（分数：2.00）_19.设 f(x)在0，+连续，且 （分数：2.00）_20.计算不定积分 （分数：2.00）_

6、21.设 f(x)= （分数：2.00）_22.计算下列反常积分(广义积分)的值 （分数：2.00）_23.设函数 y=f(x)在a，b上(a0)连续，由曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 及 x 轴围成的平面图形(如图36 所示)绕)，轴旋转一周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式 （分数：2.00）_24.设曲线 y= 在(x 0 ，y 0 )处有公切线(如图 37 所示)，求这两曲线与 x 轴围成的平面图形绕 x轴旋转而成的旋转体的体积 V。 （分数：2.00）_25.假定所涉及的反常积分(广义积分)收敛，证明 + f(x 一 （分数：2.00）_26.设 f(x)在a，b上有二阶连

7、续导数，证明 a b f(x)dx= （分数：2.00）_27.设 f(x)在a，b上有连续的导数，证明 （分数：2.00）_28.设函数 f(x)在0，上连续，且 0 f(x)sinxdx=0， 0 f(x)cosxdx=0证明在(0，)内f(x)至少有两个零点（分数：2.00）_考研数学一（一元函数积分学）-试卷 4 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.由曲线 y=1 一(x 一 1) 2 及直线 y=0 围成图形(如图 31 所示)绕 y 轴

8、旋转而成的立体的体积 V 是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据选项需把曲线表成 x=x(y)，于是要分成两部分3.曲线 r=ae b (a0，b0)从 =0 到 =(0)的一段弧长为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：利用极坐标表示曲线的弧长公式，4.旋轮线的一支 x=a(tsint)，y=a(1 一 cost)(0t2)的质心是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：先求弧微分5.半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度 =1若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 P 为( ) （分数：2

9、.00）A.B.C. D.解析：解析：如图 38 所示，任取x，x+dx0，R，相应的小横条所受压力微元6.设 F(x)= x x+2 e sint sintdt，则 F(x)( )（分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析：由分析可知，F(x)=F(0)，而 F(0)= 0 2 e sint sintdt=一 0 2 e sint dcost =一 e sint cost 0 2 + 0 2 e sint cos 2 tdt = 0 2 e sint cos 2 tdt0 故选 A7.等于( ) （分数：2.00）A. 0 1 ln2xdxB.2 1 2 l

10、nxdx C.2 1 2 ln(1+x)dxD. 1 2 ln 2 (1+x)dx解析：解析：结合积分的定义，则8.设函数 f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)一 f(一 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dt C. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f(t) 2 dt解析：解析：取 f(x)=x，则相应的9.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程 a x f(t)dt+ （分数：2.00）A.0 个B.1 个 C.2 个D.无穷多个解析：解析：赋值法取 f(x)1，显然满足题设条件

11、而此时原方程化为(x 一 a)+(x 一 b)=0，即 2x 一(a+b)=0而该方程显然在(a，b)内只有一个实根，可见 A、C、D 均不正确，故选 B二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 x 一 2=t，dx=dt，当 x=1 时，t=一 1；当 x=4 时，t=2于是11.设 f(x)=max1，x 2 ，则 x x f(t)dt= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.抛物线 y 2 =2px，从原点到这曲线上的一点 M(x，y)的弧长 s= 1（

12、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 pO，y0，则13.已知曲线 y=f(x)过点(0，一 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：14.在曲线 y=x 2 (0x1)上取一点(t，t 2 )(0t1)，设 A 1 是由曲线 y=x 2 (0x1)，直线 y=t 2 和 x=0 所围成图形的面积；A 2 是由曲线 y=x 2 (0x1)，直线 y=t 2 和 x=1 所围成图形的面积，则t 取 1 时，A=A 1 +A 2 取最小值（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图 39 所示A 1

13、 = 0 t (t 2 一 x 2 )dx，A 2 = 0 1 (x 2 一 t 2 )dx，A(t)=A 1 (t)+A 2 (t)=2 0 1 (t 2 一 x 2 )dx+ 0 1 (x 2 t 2 )dx 15.已知抛物叶形线的一部分：y 2 = (3 一 x) 2 (0x3)，如图 32 所示，它围成的图形为 M，则 M 的面积 A= 1，M 的质心(形心) = 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：(1)由对称性可知，第一象限内 y= (3 一 x)与 x 轴围成的面积的两倍即是 M 的面积，因此三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16

14、.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求由曲线 y= 与直线 y=a(0a1)以及 x=0，x=1 围成的平面图形(如图 35 的阴影部分)绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把由曲线 y= 与直线 y=a(0a1)以及 x=0，x=1 围成的平面图形记为 D，则D 可分为两个部分区域 )解析：18.设函数 f(x)在0，上连续，且 0 f(x)dx= 0 f(x)cosxdx=0试证明在(0，)内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使 f( 1 )=f( 2 )=0（分数：2.00）_正确答案：(

15、正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt，0x，则有 F(0)=0，F()=0。又因为 0= 0 f(x)cosxdx= 0 cosxdF(x) =F(x)cosx 0 + 0 F(x)sinxdx = 0 F(x)sinxdx， 所以存在(0，)，使 F()sin=0，不然，则在(0，)内 F(x)sinx 恒为正或恒为负，与 0 F(x)sinxdx=0 矛盾，但当 (0，)时 sin0，故 F()=0。 由以上证得，存在满足 0 的 ，使得 F(0)=F()=F()=0， 再对 F(x)在区间0，上分别用罗尔定理知，至少存在 1 (0，)， 2 (，)，使得 F“()=F“()=0

16、，即 f( 1 )=f( 2 )=0)解析：19.设 f(x)在0，+连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作函数 F(x)=f(x)+x，有 0 1 F(x)dx= 0 1 f(x)+xdx= 0 1 f(x)dx+ 0 所以由积分中值定理，存在 a0，1，使 0 1 F(x)dx=(10)F(a)0， 即 F(a)0 又 因此，由零点定理，至少存在一个 (a，b) )解析：20.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.计算下列反常积分(广义积分)的值 （分数：2.00）_

17、正确答案：(正确答案：(1)由于 x 2 一 2x=(x 一 1) 2 一 1，因此为去掉被积函数中的根号，可令 x 一1=sect 则有 )解析：23.设函数 y=f(x)在a，b上(a0)连续，由曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 及 x 轴围成的平面图形(如图36 所示)绕)，轴旋转一周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用微元法，任取a，b上小区间x，x+dx，相应得到小曲边梯形，它绕 y 轴旋转所成立体的体积为 dV=f(x)2xdx，于是积分得旋转体的体积为 V=2 a b xf(x)dx)解析：24.设曲线 y= 在(x 0 ，y

18、0 )处有公切线(如图 37 所示)，求这两曲线与 x 轴围成的平面图形绕 x轴旋转而成的旋转体的体积 V。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 a 值与切点坐标，由已知条件 )解析：25.假定所涉及的反常积分(广义积分)收敛，证明 + f(x 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，证明 a b f(x)dx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：连续利用分部积分法有 a b f(x)dx= a b f(x)d(x 一 b)=f(a)(ba)一 a b f“(x)(xb)d(x 一 a) =f(a)(b 一 a)+

19、 a b (x 一 a)df“(x)(x 一 b) =f(a)(b 一 a)+ a b (x 一 a)df(x)+ a b f“(x)(x 一 a)(x 一 b)dx =f(a)(ba)+f(b)(b 一 a)一 a b f(x)dx+ a b f“(x)(x 一 a)(x 一 b)dx， 移项并整理得 a b f(x)dx= )解析：27.设 f(x)在a，b上有连续的导数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可设 f(x)=f(x)，即证 (b 一 a)f(x 0 ) a b f(x)+(b 一 a) a b f“(x)dx， 即 a b f(x 0 )dx a b f(x)d

20、x(ba) a b f“(x)dx 事实上， a b f(x 0 )dx a b f(x)dx a b f(x 0 )f(x)dx = a b )解析：28.设函数 f(x)在0，上连续，且 0 f(x)sinxdx=0， 0 f(x)cosxdx=0证明在(0，)内f(x)至少有两个零点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法，如果 f(x)在(0，)内无零点(或有一个零点，但 f(x)不变号，让法相同)，即 f(x)0(或0)，由于在(0，)内，有 sinx0，因此，必有 0 f(x)sinxdx0(或0)。这与假设相矛盾 如果 f(x)在(0，)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为 a(0，)，于是在(0，a)与(a，)内 f(x)sin(x 一 a)同号，因此 0 f(x)sin(x 一 a)dx0，但是，另一方面 0 f(x)sin(x 一 a)dx= 0 f(x)(sinxcosa 一 cossina)dx =cos 0 f(x)sinxdx 一 sina 0 )f(x)cosxdx=0 这个矛盾说明 f(x)也不能在(0，)内只有一个零点，因此它至少有两个零点)解析：