【考研类试卷】考研数学一-424 (1)及答案解析.doc

《【考研类试卷】考研数学一-424 (1)及答案解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【考研类试卷】考研数学一-424 (1)及答案解析.doc（15页珍藏版）》请在麦多课文档分享上搜索。

1、考研数学一-424 (1)及答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：14，分数：14.00)1.设 （分数：1.00）2.设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n-1，则方程组 AX=0 的通解为 1 （分数：1.00）3.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，A ki 0，则 AX=0 的通解为 1 （分数：1.00）4.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 1 （分数：1.00）5.设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 （分数：

2、1.00）6.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且 1 + 2 = ， 2 + 3 = （分数：1.00）7.设方程组 （分数：1.00）8.设方程组 （分数：1.00）9.设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 （分数：1.00）10.设 是矩阵 （分数：1.00）11.设 A 为三阶矩阵，A 的各行元素之和为 4，则 A 有特征值 1，对应的特征向量为 2 （分数：1.00）12.设 A 为三阶实对称矩阵，且 （分数：1.00）13.设 AB，其中 （分数：1.00）14.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =3， 2 = 3 =5，且

3、 1 =3 对应的线性无关的特征向量为 （分数：1.00）二、选择题(总题数：13，分数：13.00)15.设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是_（分数：1.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解16.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是_（分数：1.00）A.若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解C.

4、若 r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解D.若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解17.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，AX=0 的通解为 X=k(0，-1，3，0) T ，则 A * X=0 的基础解系为_（分数：1.00）A.1，3B.2，3，4C.1，2，4D.3，418.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX=0 的基础解系的是_（分数：1.00）A.1+2，2+3，3，1B.1+2，2，3，1+22+3C.1+22，22+33，33+1D.1+2+

5、3，21-32+223，31+52-5319.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.20.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是_（分数：1.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)D.AB 的充分必要条件是 E-AE-B21.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A * 的一个特征

6、值为_ A B （分数：1.00）A.B.C.D.22.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =-1， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是_（分数：1.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值-1，1 对应的特征向量正交D.方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量23.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 =-2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是_（分数：1.00）A.1+3B.33-1C.1+22+33D.21-3224.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是_ A.矩阵

7、 A 与单位矩阵 E 合同 B.矩阵 A 的特征值都是实数 C.存在可逆矩阵 P，使 PAP-1为对角阵 D.存在正交阵 Q，使 QTAQ 为对角阵（分数：1.00）A.B.C.D.25.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则_（分数：1.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量D.A 一定为 n 阶实对称矩阵26.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A 的线性无关特征向量个数为_（分数：1.00）A.1B.2C.3D.427.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是_ A.CTAC B.A-1+B-

8、1 C.A*+B* D.A-B（分数：1.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：19，分数：73.00)28.求方程组 （分数：3.00）_29.参数 a 取何值时，线性方程组 （分数：3.00）_30.设 （分数：3.00）_31. （分数：4.00）_32.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 AX=0 的一个基础解系 （分数：4.00）_设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T ，(2，-4，3，a+1) T 皆为

9、 AX=0 的解（分数：4.00）(1).求常数 a；（分数：2.00）_(2).求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_33.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 =3 1 - 3 - 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=0 的通解 （分数：4.00）_34.四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)=3，设 ， （分数：4.00）_35.A nn =( 1 ， 2 ， n )，B nn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )，当 r(A)=n 时，方程组

10、BX=0 是否有非零解? （分数：4.00）_36.设 （分数：4.00）_设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量线性无关，且 1 +2 2 +(n-1) n-1 =0，b= 1 + 2 + n （分数：4.00）(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解；（分数：2.00）_(2).求方程组 AX=b 的通解（分数：2.00）_37.设 （分数：4.00）_38.就 a，b 的不同取值，讨论方程组 （分数：4.00）_设 （分数：4.00）(1).若 a i a j (ij)，求 A T X=b 的解；（分数：2.00）_(2).若

11、 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =-a，求求 A T X=b 的通解（分数：2.00）_39.设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程 组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1 ，+ s ) （分数：4.00）_设 （分数：3.99）(1).求 a；（分数：1.33）_(2).求 A 的特征向量；（分数：1.33）_(3).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角阵（分数：1.33）_设 （分数：4.00）(1).求 a，b 及 A 的所有特征值与特征向量（分数：2.00）_(2).A 可否对角化?若可对角化，求可逆

12、矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵（分数：2.00）_40.设 （分数：4.00）_41.设 （分数：4.00）_考研数学一-424 (1)答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：14，分数：14.00)1.设 （分数：1.00）解析： 解析 因为 AX=0 有非零解，所以|A|=0， 而 且 a0，所以 a=-4 因为 r(A)=2，所以 r(A * )=1 因为 A * A=|A|E=O，所以 A 的列向量组为 A * X=0 的解， 故 A * X=0 的通解为 2.设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n-1，则方程组 A

13、X=0 的通解为 1 （分数：1.00）解析： (其中 k 为任意常数) 解析 k(1，1，1) T ，其中 k 为任意常数因为 A 的各行元素之和为零，所以 ，又因为 r(A)=n-1，所以 为方程组 AX=0 的基础解系，从而通解为 3.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，A ki 0，则 AX=0 的通解为 1 （分数：1.00）解析：C(A k1 ，A k2 ，A ki ，A kn ) T (C 为任意常数) 解析 因为|A|=0，所以 r(A)n，又因为 A ki 0，所以 r(A * )1，从而 r(A)=n-1，AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA * =|A

14、|E=O，所以 A * 的列向量为方程组 AX=0 的解向量，故 AX=0 的通解为 C(A k1 ，A k2 ，A ki ，A kn ) T (C 为任意常数)4.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 1 （分数：1.00）解析：k 1 +k 2 +k s =1 解析 k 1 +k 2 +k s =1显然 k 1 1 +k 2 2 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 A(k +k 2 2 +k s s )=b，因为 A 1 = 2 =A s =b，所以(k 1 +k 2 +k s )

15、b=b，注意到 b0，所以 k 1 +k 2 +k s =1，即 k 1 1 +k 2 2 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 k 1 +k 2 +k s =15.设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 （分数：1.00）解析：1 0解析 令6.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且 1 + 2 = ， 2 + 3 = （分数：1.00）解析： (k 为任意常数) 解析 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的能解为 k+，其中 = 3 - 1 =( 2 + 3 )-( 1 + 2 )= ， ，于是方程组

16、的通解为 7.设方程组 （分数：1.00）解析：-1 解析 因为方程组无解，所以 r(A)r( )3，于是 r(A)3，即|A|=0由|A|=3+2a-a 2 =0，得 a=-1 或 a=3当 a=3 时，因为 ，当 a=-1 时， ，因为 8.设方程组 （分数：1.00）解析：0 解析 因为原方程组有解，所以 9.设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 （分数：1.00）解析：10 解析 ，A * 的特征值为 10.设 是矩阵 （分数：1.00）解析：2 3 解析 由 A= 得 11.设 A 为三阶矩阵，A 的各行元素之和为 4，则 A 有特征值 1，对应的特征向量为 2 （分数：1.00）解析

17、：4 解析 因为 A 的各行元素之和为 4，所以 ，于是 A 有特征值 4，对应的特征向量为12.设 A 为三阶实对称矩阵，且 （分数：1.00）解析：3解析 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有 6+3a+3-6a=0，a=313.设 AB，其中 （分数：1.00）解析：3 1解析 因为 AB，所以14.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3 对应的线性无关的特征向量为 （分数：1.00）解析： 解析 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2 = 3 =5 对应的特征向量为 得 2 = 3 =5 对应的线性无关的特征向量为 二

18、、选择题(总题数：13，分数：13.00)15.设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是_（分数：1.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解 解析：解析 方程组 只有零解，而 无解，故 A 不对；方程组 有非零解，而 无解，故 B 不对；方程组 无解，但 只有零解，故 C 不对；若 AX=b 有无穷多个解，则16.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是_（分数：

19、1.00）A.若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解C.若 r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解D.若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解 解析：解析 因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵)，则 ，于是17.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，AX=0 的通解为 X=k(0，-1，3，0) T ，则 A * X=0 的基础解系为_（分数：1.00）A.1，3B.2，3，4C.1，2，4 D.3，4解析：解析 因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量

20、， 所以 r(A)=3，于是 r(A * )=1 因为 A * A=|A|E=O，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 A * X=0 的一组解， 又因为- 2 +3 3 =0，所以 2 ， 3 线性相关，从而 1 ， 2 ， 4 线性无关，即为 A * X=0的一个基础解系，应选 C18.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX=0 的基础解系的是_（分数：1.00）A.1+2，2+3，3，1B.1+2，2，3，1+22+3C.1+22，22+33，33+1 D.1+2+3，21-32+223，31+52-53解析：解析 根据齐次线性方程

21、组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX=0 的解向量组，容易验证四组中只有 C 组线性无关，所以选 C19.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 选 D，因为 1 ， 1 + 2 为方程组 AX=0 的两个线性无关解，也是基础解系，而 20.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是_（分数：1.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX=0 与

22、BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)D.AB 的充分必要条件是 E-AE-B 解析：解析 若 AB，则存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B， 于是 P -1 (E-A)P=E-P -1 AP=E-B，即 E-AE-B； 反之，若 E-AE-B，即存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (E-A)P=E-B， 整理得 E-P -1 AP=E-B，即 P -1 AP=B，即 AB，应选 D21.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A * 的一个特征值为_ A B （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 A 可逆，所以 0，令 AX=X，则 A * AX=

23、A * X，从而有 22.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =-1， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是_（分数：1.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值-1，1 对应的特征向量正交D.方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量 解析：解析 由 1 =-1， 2 =0， 3 =1 得|A|=0，则 r(A)3，即 A 不可逆，A 正确；又 1 + 2 + 3 =tr(A)=0，所以 B 正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以 A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)=2，从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，D 是正确的

24、；C 不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选 C23.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 =-2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是_（分数：1.00）A.1+3B.33-1C.1+22+33D.21-32 解析：解析 因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)n，故 0 为矩阵 A 的特征值， 1 ， 2 为特征值 0 所 对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若 1 + 3 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A( 1 ， 3 )= 0 ( 1 ， 3

25、 )，注意到 A( 1 ， 3 )=0 1 -2 3 =-2 3 ，故-2 3 = 0 ( 1 ， 3 )或 0 1 +( 0 +2) 3 =0， 因为 1 ， 3 线性无关，所以有 0 =0， 0 +2=0，矛盾，故 1 ， 3 不是特征向量，同理可证 3 3 - 1 及 1 +2 2 +3 3 也不是特征向量，显然 2 1 -3 2 为特征值 0 对应的特征向量，选 D24.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是_ A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同 B.矩阵 A 的特征值都是实数 C.存在可逆矩阵 P，使 PAP-1为对角阵 D.存在正交阵 Q，使 QTAQ 为对角阵（分数：1

26、.00）A. B.C.D.解析：解析 根据实对称矩阵的性质，显然 B、C、D 都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同，选 A25.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则_（分数：1.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量 D.A 一定为 n 阶实对称矩阵解析：解析 矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选

27、C26.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A 的线性无关特征向量个数为_（分数：1.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 因为 ， 为非零向量，所以 A= T 0，则 r(A)1， 又因为 r(A)=r( T )r()=1，所以 r(A)=1 令 AX=X，由 A 2 X= T T X=0= 2 X 得 =0， 因为 r(0E-A)=r(A)=1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，应选 C27.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是_ A.CTAC B.A-1+B-1 C.A*+B* D.A-B（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：

28、解析 显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以 A -1 ，B -1 及 A * ，B * 都是正定的，对任意 X0，X T (C T AC)X=(CX) T A(CX)0(因为 C 可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 C T AC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A -1 +B -1 与 A * +B * 都是正定矩阵，选 D三、解答题(总题数：19，分数：73.00)28.求方程组 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 方法一 原方程组的同解方程组为 故原方程组的通解为 (其中 x 3 ，x 4 ，x 5 为任意常数) 方法二 原方程组的基础解系为 故通解为 29

29、.参数 a 取何值时，线性方程组 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 若 a=1，则 ，原方程组的通解为 X=k(-1，0，1) T +(2，-1，0)(k 为任意常数)； 若 a1，则 当 a=2 时，方程组无解； 当 a=-2 时， 30.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ，因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组有三个线性无关解，所以 4-r(A)+1=3，即 r(A)=2，于是原方程组的通解为 31. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 32.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=

30、( 1 ， 2 ， 3 )，求 AX=0 的一个基础解系 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 方法一 AX=0 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =0，由 3 =3 1 +2 2 可得(x 1 +3x 3 ) 1 +(x 2 +2x 3 ) 2 =0，因为 1 ， 2 线性无关，因此 的一个基础解系为 方法二 由 r(A)=2 可知 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，而 3 1 +2 2 - 3 =0，因此 设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T ，(2，-4，3，a+1) T 皆为

31、AX=0 的解（分数：4.00）(1).求常数 a；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 r(A)=1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量， 故(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T ，(2，-4，3，a+1) T 线性相关，即 (2).求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX=0 的通解为 X=k 1 (1，-2，1，2) T +k 2 (1，0，5，2) T +k 3 (-1，2

32、，0，1) T (k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数)33.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 =3 1 - 3 - 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=0 的通解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 1 ， 3 ， 5 线性无关，又 2 ， 4 可由 1 ， 3 ， 5 线性表示，所以r(A)=3，齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由 2 =3 1 - 3 - 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 得方程组 AX=0 的两个解为 1 =(3，-1，-1，0，-1)

33、 T ， 2 =(2，0，1，-1，6) T 故 AX=0 的通解为 k 1 (3，-1，-1，0，-1) T +k 2 (2，0，1，-1，6) T (k 1 ，k 2 为任意常数)34.四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)=3，设 ， （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解形式为 k+，其中 为 AX=0 的一个基础解系， 为方程组 AX=b 的特解，根据方程组解的结构的性质， 所以方程组 AX=b 的通解为 k 35.A nn =( 1 ， 2 ， n )，B nn =( 1 + 2 ， 2

34、+ 3 ， n + 1 )，当 r(A)=n 时，方程组 BX=0 是否有非零解? （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 方法一 由 r(A)=n 可知|A|0，而 当 n 为奇数时，|B|0，方程组 BX=0 只有零解； 当 n 为偶数时，|B|=0，方程组 BX=0 有非零解 方法二 BX=0 x 1 ( 1 + 2 )+x 2 ( 2 + 3 )+x n ( n + 1 )=0 (x 1 +x n ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x n-1 +x n ) n =0， 因为 1 ， 2 ， n 线性无关， 所以 36.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 x

35、1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 = (*) (1)当 a=-1，b0 时，因为 r(A)=2r( 设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量线性无关，且 1 +2 2 +(n-1) n-1 =0，b= 1 + 2 + n （分数：4.00）(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解；（分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 因为 r(A)=n-1，又 b= 1 + 2 + n ，所以 r(A)=n-1， 即 (2).求方程组 AX=b 的通解（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 1 +2 2 +(n-1) n-1 =0，所以 1 +2 2 +(n-1) n-1 +0 n =0，即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n-1，0) T ， 又因为 b=b= 1 + 2 + n ，所以方程组 AX=b 有特解 =(1，1，1) T