【考研类试卷】考研数学一-289及答案解析.doc

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1、考研数学一-289 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 取非负整数值，P(X=n)=a n(n1)，且 EX=1，则 a 的值为( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.设每次试验成功的概率为 P(0p1)，现进行独立重复试验，则直到第 10 次试验才取得第 4 次成功的概率为( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.设有任意两个 n 维向量组 1， m和 1， m，若存在两组不全为零的数 1， m和k1，k m，使( 1+k1) 1+( m+km) m+( 1-k1) 1+( m-km) m=0，则( )（分

2、数：4.00）A. 1， m和 1， m都线性相关B. 1， m和 1， m都线性无关C. 1+ 1， m+ m， 1- 1， m- m线性相关D. 1+ 1， m+ m， 1- 1， m- m线性无关4.设 a 为常数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 P(x，y)与 Q(x，y)在平面区域 D 内连续并且有连续的一阶偏导数，则“ （分数：4.00）_6.设 ，那么(A *)*=( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 y=y(x)是微分方程(x 2+y2)dy=dx-dy 的任意解，则( )（分数：4.00）A.存在， 不存在B.不存在， 存在C.不存在， 不存在D.存在，

3、 存在8.以下四个命题，不正确的是( )（分数：4.00）A.设 存在，则B.设 存在，则C.设|f(x)|在 x=x0点处可导，则 f(x)在 x=x0点处不一定可导D.设|f(x)|在 x=x0点处连续，则 f(x)在 x=x0点处不一定连续二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.u=xy2+z2-xyz 在点 P(1，1，2)处沿着方向 （分数：4.00）填空项 1:_12.级数 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 1=(-9，1，2，11) T， 2=(1，-5，13，0) T， 3=(-

4、7，-9，24，11) T是方程组（分数：4.00）填空项 1:_14.对一台仪器进行重复测试，直到发生故障时为止，假定测试是独立进行的，每次测试发生故障的概率均为 0.1，试验次数 X 的数学期望值为_（分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 （分数：10.00）_16.() 证明 ；()记 ，求 （分数：10.00）_17.设函数 f(x)在-2，2上二阶可导，且|f(x)|1，又 f2(0)+f(0)2=4试证：在(-2，2)内至少存在一点 ，使得 f()+f“()=0（分数：10.00）_18.求 （分数：10.00）_19.()设 D=(x，y)|ax

5、b，cyd|，若 f“xy与 f“yx在 D 上连续，证明（分数：10.00）_20.已知 5 维向量组 x1=(1，2，3，4，5)，x 2=(1，3，2，1，2)，求一个齐次线性方程组，使 x1，x 2组成这个方程组的基础解系（分数：11.00）_21.一个实二次型可分解为两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是该二次型的秩为 2，且符号差为 0，或秩数等于 1（分数：11.00）_22.设(X，Y)的联合概率密度为求 （分数：11.00）_23.某设备维修站共有两个维修点，若有三台设备 A，B，C 同时送到该维修站进行维修，设 A，B 先开始维修，当其中一台设备维修结束后即开始对

6、第三台设备 C 进行维修假设各台设备维修所需时间是相互独立且都服从参数为 的指数分布，则()求第三台设备 C 在维修站等待维修时间 T 的概率密度；()求第三台设备 C 在维修站度过时间 S 的数学期望 ES（分数：11.00）_考研数学一-289 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 取非负整数值，P(X=n)=a n(n1)，且 EX=1，则 a 的值为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查数字特征的计算，涉及级数求和理论，是一道有一定计算量的基础题*故 a=(1-a)2，a 2-3a+1=0，*

7、，但 a1，所以*，于是选择(A)2.设每次试验成功的概率为 P(0p1)，现进行独立重复试验，则直到第 10 次试验才取得第 4 次成功的概率为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查伯努利概型，是一道基础题根据题设条件，前 9 次取得了 3 次成功，第 10 次才取得第 4 次成功的概率为*所以选择(C)3.设有任意两个 n 维向量组 1， m和 1， m，若存在两组不全为零的数 1， m和k1，k m，使( 1+k1) 1+( m+km) m+( 1-k1) 1+( m-km) m=0，则( )（分数：4.00）A. 1， m和 1， m都线性相关B. 1， m和 1，

8、m都线性无关C. 1+ 1， m+ m， 1- 1， m- m线性相关 D. 1+ 1， m+ m， 1- 1， m- m线性无关解析：本题考查向量组的线性相关理论，是一道基础题由于数组 1， m，k 1，k m不全为零，将题给的已知式整理为 1( 1+ 1)+ m( m+ m)+k1( 1- 1)+km( m- m)=0，显然答栗选择(C)4.设 a 为常数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查一元微分学的应用，讨论函数的零点问题，是常规考题令*，由于 e-x0，g(x)与 f(x)的零点完全一样，又 g(x)=*0，且仅在一点 x=0 等号成立，故 g(x)严格单调增，所以

9、g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点当 a0 时，f(-)0，f(+)0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以 f(x)正好有一个零点当 a0 时，*，f(x)无零点5.设 P(x，y)与 Q(x，y)在平面区域 D 内连续并且有连续的一阶偏导数，则“ （分数：4.00）_解析：本题考查积分与路径无关理论，考生必须具有清晰的概念才能够顺利解决这个问题，本题具有一定的难度若*，不妨设在点(x 0，y 0)D 处*由连续性知，存在点(x 0，y 0)的邻域 U，当(x，y)U 时，*在U 内取一条逐段光滑的正向封闭曲线 L，其内部区域为 D1，D 1

10、*U，由格林公式*与 LP(x，y)dx+Q(x，y)dy=0 矛盾，所以 LP(x，y)dx+Q(x，y)dy=0 必有*，当(x，y)D但由*，当(x，y)D 推不出 LPdx+Qdy=0举个反例当 D=(x，y)|x 2+y206.设 ，那么(A *)*=( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查矩阵的基本运算，是一道有一定汁算量的基础题AA*=|A|E，(A *)*=|A*|(A*)-1=|A|n-1(A-)-1=|A|n-1(A-1)*，将 A 代入计算即可得正确选项(A)7.已知 y=y(x)是微分方程(x 2+y2)dy=dx-dy 的任意解，则( )（分数：4.0

11、0）A.存在， 不存在B.不存在， 存在C.不存在， 不存在D.存在， 存在 解析：本题以微分方程的概念为载体，考查一元微积分学的综合知识，是一道有一定难度的综合题将微分方程(x 2+y2)dy=dx-dy 变形为*，于是*，则 y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明 y(x)有界即可对*两边从 x0到 x 积分，得*，于是*设 xx 0，则*y(x)有上界，所以*存在同理可证，当 xx 0时 y(x)有下界，所以*也存在故*存在，*也存在，答案选择(D)8.以下四个命题，不正确的是( )（分数：4.00）A.设 存在，则B.设 存在，则 C.设|f(x)|在 x=x0点处可

12、导，则 f(x)在 x=x0点处不一定可导D.设|f(x)|在 x=x0点处连续，则 f(x)在 x=x0点处不一定连续解析：本题是一元微积分的基本概念题对于容易混淆的问题，考生在最后复习阶段，要好好总结和整理，一般说来，正确的要会证明，错误的要能举出反例这种训练是有益的对于选项(A)，事实上有如下结论：设*，则*可以证明如下*，当 0|x-a| 时，|f(x)-A|，又由于|f(x)|-|A|f(x)-A|，故|f(x)|-|A|，*命题正确，排除对于选项(B)，反例 f(x)=sgn x，*，*不存在命题错误，入选对于选项(C)，反例*在 x=x0点处不可导，|f(x)|在 x=x0点处可

13、导命题正确，排除对于选项(D)，*在 x=x0点处不连续，|f(x)|在 x=x0点处连续命题正确，排除二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查一元微分学的基本知识，求切线是常考题，是基础题由题意，*，故切线的斜率为*，当 x=1 时，y=2，因此所求切线方程为*，即*10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查一元函数的不定积分法，属于基础计算题*11.u=xy2+z2-xyz 在点 P(1，1，2)处沿着方向 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：本题考查方向导数的基本

14、计算*12.级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2，4)）解析：本题考查幂级数的收敛域求法，是常规题，有一定的计算量令*，根据正项级数的比值判别法，有*解得-2x4，此为收敛区间当 x=-2 时，原级数化为*，收敛；当 x=4 时，原级数化为*，发散故原级数的收敛域为-2，4)13.已知 1=(-9，1，2，11) T， 2=(1，-5，13，0) T， 3=(-7，-9，24，11) T是方程组（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查非齐次方程组的计算，是一道综合性较强的题目*中有 2 阶子式不为零，故 r(A)2，又因 1- 2=(-10，6，-1

15、1，11) T， 1- 3=(-2，10，-22，0) T是齐次方程组 Ax=0 的线性无关的解，从而 n-r(A)2，即 r(A)2于是得 r(A)=2所以方程组的通解为*14.对一台仪器进行重复测试，直到发生故障时为止，假定测试是独立进行的，每次测试发生故障的概率均为 0.1，试验次数 X 的数学期望值为_（分数：4.00）_解析：本题考查复杂事件的数学期望计算，是一道涉及级数理论的计算题事件X=k=前 k-1 次测试无故障，第 k 次发生故障三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 （分数：10.00）_正确答案：(本题是极限计算的反问题，是基本计算题，事实上，本题是求曲线

16、2x-*在 x-时的斜渐近线由已知得*，于是，*将 a=3 代入原极限，有*故 a=3，*)解析：16.() 证明 ；()记 ，求 （分数：10.00）_正确答案：(本题是一元积分学的综合题，涉及较为复杂的积分计算和夹逼准则，是今年考试的热门出题点，其中第()问是第()问的铺垫与提示()*()当 nx(n+1) 时，*，令 n，由夹逼准则，得*)解析：17.设函数 f(x)在-2，2上二阶可导，且|f(x)|1，又 f2(0)+f(0)2=4试证：在(-2，2)内至少存在一点 ，使得 f()+f“()=0（分数：10.00）_正确答案：(本题是中值定理考题，涉及多个重要的定理，需要考生具有较强

17、的运算和逻辑推理能力，是一道难题由拉格朗日中值定理，得*又根据题设条件，|f(x)|1，得*令 (x)=f 2(x)+f(x)2，则 ( 1)2，( 2)2因为 (x)在 1， 2上连续，且 (0)=4，设 (x)在 1， 2上的最大值在 1， 2*(-2，2)上取到，则 ()4，且 在 1， 2上可导，由费马定理有 ()=0，即2f()f()+2f()f“()=0因为|f(x)|1，且 ()4，所以 f()0，于是有f()+f“()=0，(-2，2)解析：18.求 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查数项级数的求和，需要通过转化成函数项级数求和后，再代值回去，是典型考研题*记*，*其收

18、敛区间均为(-1，1)*所以*)解析：19.()设 D=(x，y)|axb，cyd|，若 f“xy与 f“yx在 D 上连续，证明（分数：10.00）_正确答案：(本题考查二重积分的计算，但是比较新颖的非常规考题，涉及抽象的理论推导，在 2011 年考研中已经有所涉及，本题的设计同样比较独特，希望考生多加体会和总结。()证明*同理，*结论成立()证明 用反证法设*P 0(x0，y 0)D，有 f“xy(x0，y 0)f“ xy(x0，y 0)不妨设 f“xy(x0，y 0)-f“yx(x0，y 0)0，由于*由极限的保号性，* 00，*0，当 P(x，y)U(P 0，)时有 f“xy(x，y)

19、-f“ yx(x，y) 0，取*于是，*由()，*，出现矛盾故 f“xy(x，y)与 f“yx(x，y)在 D 上都相等)解析：20.已知 5 维向量组 x1=(1，2，3，4，5)，x 2=(1，3，2，1，2)，求一个齐次线性方程组，使 x1，x 2组成这个方程组的基础解系（分数：11.00）_正确答案：(本题是方程组问题的逆问题，已知基础解系反求方程组，需要一定的计算量和逻辑推理，是一道中等难度的综合题设 ai1x1+ai2x2+ai3x3+ai4x4+ai5x5=0 是方程组 Ax=0 中的任意一个方程，将 x1，x 2的坐标代入得*将方程组当作 ai1，a i2，a i3，a i4，

20、a i5为未知数的线性方程组来解，此方程组的系数矩阵*，就是以x1，x 2为向量组成的矩阵，对 B 作初等行变换，得*于是方程组化为*因此(ai1，a i2，a i3，a i4，a i5)=(-5ai3-10ai4-11ai5，a i3+3ai4+3ai5，a i3，a i4，a i5)=ai3(-5，1，1，0，0)+a i4(-10，3，0，1，0)+a i5(-11，3，0，0，1)，方程组的一组基础解系是(-5，1，1，0，0)，(-10，3，0，1，0)，(-11，3，0，0，1)，以这组基础解系为行组成矩阵*则 r(A)=3，于是以 A 为系数矩阵的齐次线性方程组为*经过验证，它最

21、多有 2 个线性无关解，且 x1，x 2为上式的两个线性无关解，所以它们组成上式的基础解系，上式方程组即为所求)解析：21.一个实二次型可分解为两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是该二次型的秩为 2，且符号差为 0，或秩数等于 1（分数：11.00）_正确答案：(本题考查二次型，是一道比较新颖的考题，在考研中尚未出现过，对考生要求较高，希望同学们见识一下这种提法和做法，并从中学到解题思路和技术先证明必要性：设 f(x1，x 2，x n)=(a1x1+a2x2+anxn)(b1x1+b2b2+bnxn)=f1f2若 f1与 f2线性相关，则有 f2=kf1，不妨设 a10令*即*令*

22、，P 为可逆矩阵，所以 x=P-1y 是可逆变换，从而 f=ky12，其秩等于 1若 f1与 f2线性无关，不妨设*，令*即*令*，故 R 为可逆矩阵，所以 x=R-1y 是可逆变换，则 f=y1y2，再令*即*令*，T 为可逆矩阵，故 y=Tz 是可逆变换，从而得到*，故秩为 2符号差为 0再证明充分性：f 经可逆线性变换化为标准型，不妨没*，其秩数为 2，符号差为 0，则 f=(x1+x2)(x1-x2)，即 f 可分解为两个一次多项式的乘积另外，设*，其秩为 1，则 f=x1x1，即 f 可分解为两个一次多项式的乘积，命题得证)解析：22.设(X，Y)的联合概率密度为求 （分数：11.0

23、0）_正确答案：(本题考查二维随机变量的边缘密度、条件密度等，是一道有一定计算量的基础题*当 x0 或 x1 时，*；当 0x1 时，*故*于是可得*则*)解析：23.某设备维修站共有两个维修点，若有三台设备 A，B，C 同时送到该维修站进行维修，设 A，B 先开始维修，当其中一台设备维修结束后即开始对第三台设备 C 进行维修假设各台设备维修所需时间是相互独立且都服从参数为 的指数分布，则()求第三台设备 C 在维修站等待维修时间 T 的概率密度；()求第三台设备 C 在维修站度过时间 S 的数学期望 ES（分数：11.00）_正确答案：(本题是随机变量函数的概率密度和数字特征计算的综合题，是历来考生复习中的薄弱环节设第 i 台设备维修时间为 Xi(i=1，2，3)，则 Xi独立同分布，且密度函数都为*则第三台设备 C 等待维修的时间 T=min(X1，X 2)，度过时间=等待时间+维修时间，即 S=T+X3=min(X1，X 2)+X3()由于 X1与 X2独立，故 T 的分布函数FT(t)=P(min(X1，X 2)t)=1-P(min(X 1，X 2)t)=1-P(X 1t)P(X 2t)*则 T 的密度函数*即 T=min(X1，X 2)服从参数为 2 的指数分布()由于 S=T+X3=min(X1，X 2)+X3，则 ES=ET+EX3=*)解析：