2015年浙江省宁波市中考真题数学.docx

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1、2015 年浙江省宁波市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分 ) 1. -13的绝对值为 ( ) A.13B.3 C.-13D.-3 解析： 根据当 a 是负有理数时， a 的绝对值是它的相反数 -a 可得答 .-13的绝对值等于 13. 答案： A 2.下列计算正确的是 ( ) A.(a2)3=a5 B.2a-a=2 C.(2a)2=4a D.a a3=a4 解析： A、 (a2)3=a6，故错误； B、 2a-a=a，故错误； C、 (2a)2=4a2，故错误； D、正确 . 答案： D 3. 2015 年中国高端装备制造业销售收入将超 6 万亿元，其

2、中 6 万亿元用科学记数法可表示为 ( ) A.0.6 1013元 B.60 1011元 C.6 1012元 D.6 1013元 解析： 将 6 万亿用科学记数法表示为： 6 1012. 答案： C 4.在端午节到来之前，学校食堂推荐了 A， B， C 三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购，下面的统计量中最值得关注的是 ( ) A.方差 B.平均数 C.中位数 D.众数 解析： 由于众数是数据中出现次数最多的数，故学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数 . 答案： D 5.如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是 ( ) A. B. C.

3、 D. 解析： 从上面看易得上面一层有 3 个正方形，下面中间有一个正方形 . 答案： A 6.如图，直线 a b，直线 c 分别与 a， b 相交， 1=50，则 2 的度数为 ( ) A.150 B.130 C.100 D.50 解析： 如图所示， a b， 1=50， 3= 1=50， 2+ 3=180， 2=130 . 答案： B 7.如图， ABCD 中， E， F 是对角线 BD 上的两点，如果添加一个条件，使 ABE CDF，则添加的条件不能为 ( ) A.BE=DF B.BF=DE C.AE=CF D. 1= 2 解析： A、当 BE=FD，平行四边形 ABCD 中， AB=C

4、D， ABE= CDF， 在 ABE 和 CDF 中 ， A B C DA B E C D FB E D F ， ABE CDF(SAS)，故此选项错误； C、当 AE=CF 无法得出 ABE CDF，故此选项符合题意； B、当 BF=ED， BE=DF，平行四边形 ABCD 中， AB=CD， ABE= CDF， 在 ABE 和 CDF 中 ， A B C DA B E C D FB E D F ， ABE CDF(SAS)，故此选项错误； D、当 1= 2，平行四边形 ABCD 中， AB=CD， ABE= CDF， 在 ABE 和 CDF 中 12A B C DA B E C D F ，

5、 ABE CDF(ASA)，故此选项错误 . 答案： C 8.如图， O 为 ABC 的外接圆， A=72，则 BCO 的度数为 ( ) A.15 B.18 C.20 D.28 解析： 连结 OB，如图， BOC=2 A=2 72 =144， OB=OC， CBO= BCO， BCO=12(180 - BOC)=12 (180 -144 )=18 . 答案： B 9.如图，用一个半径为 30cm，面积为 300 cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥 (不计损耗 )，则圆锥的底面半径 r 为 ( ) A.5cm B.10cm C.20cm D.5 cm 解析： 设铁皮扇形的半径和弧长分别为 R、

6、 l，圆锥形容器底面半径为 r， 则由题意得 R=30，由 12Rl=300得 l=20； 由 2 r=l 得 r=10cm. 答案： B 10.如图，将 ABC 沿着过 AB 中点 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的 A2处，称为第 1 次操作，折痕 DE 到 BC 的距离记为 h1；还原纸片后，再将 ADE 沿着过 AD 中点 D1的直线折叠，使点 A 落在 DE 边上的 A2处，称为第 2 次操作，折痕 D1E1到 BC 的距离记为 h2；按上述方法不断操作下去，经过第 2015 次操作后得到的折痕 D2014E2014到 BC 的距离记为 h2015，到 BC 的距离记为 h

7、2015.若 h1=1，则 h2015的值为 ( ) A.201512 B.201412 C.1-201512 D.2-201412 解析： 连接 AA1， 由折叠的性质可得： AA1 DE， DA=DA1， 又 D 是 AB 中点， DA=DB， DB=DA1， BA1D= B， ADA1=2 B， 又 ADA1=2 ADE， ADE= B， DE BC， AA1 BC， AA1=2， h1=2-1=1， 同理， h2=2-12， h3=2-12 12=2-212 ， 经过第 n 次操作后得到的折痕 Dn-1En-1到 BC的距离 hn=2-112n， h2015=2-201412 ， 答案

8、： D 11.二次函数 y=a(x-4)2-4(a 0)的图象在 2 x 3 这一段位于 x 轴的下方，在 6 x 7 这一段位于 x 轴的上方，则 a 的值为 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析： 抛物线 y=a(x-4)2-4(a 0)的对称轴为直线 x=4， 而抛物线在 6 x 7 这一段位于 x 轴的上方， 抛物线在 1 x 2 这一段位于 x 轴的上方， 抛物线在 2 x 3 这一段位于 x 轴的下方， 抛物线过点 (2， 0)，把 (2， 0)代入 y=a(x-4)2-4(a 0)得 4a-4=0，解得 a=1. 答案： A 12.如图，小明家的住房平面图呈长方形，被

9、分割成 3 个正方形和 2 个长方形后仍是中心对称图形 .若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为 ( ) A. B. C. D. 解析： 如图， 长方形被分割成 3 个正方形和 2 个长方形后仍是中心对称图形， A 的对应点是 A， B 的对应点是 B， AB=A B， 的长和的边长的和等于原长方形的长，的宽和的边长的和等于原长方形的宽， 的周长和等于原长方形的周长， 分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为，其余的图形的周长不用测量无法判断 . 答案： A 二、填空题 (共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 ) 13.实数 8 的立方根是 . 解

10、析 ： 23=8， 8 的立方根是 2. 答案： 2 14.分解因式： x2-9= . 解析 ： x2-9=(x+3)(x-3). 答案： (x+3)(x-3) 15.命题“对角线相等的四边形是矩形”是 命题 (填“真”或“假” ). 解析 ： 等腰梯形的对角线也相等， “对角线相等的四边形是矩形”是假命题 . 答案： 假 16.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆 AB 的高度 .站在教学楼的 C 处测得旗杆底端 B 的俯角为 45，测得旗杆顶端 A 的仰角为 30 .若旗杆与教学楼的距离为 9m，则旗杆 AB 的高度是 m(结果保留根号 ) 解析 ： 在 Rt ACD 中， tan

11、 ACD=ADCD， tan30 =9AD， AD9= 33， AD=3 3 m， 在 Rt BCD 中， BCD=45， BD=CD=9m， AB=AD+BD=3 3 +9(m). 答案： 3 3 +9 17.如图，在矩形 ABCD 中， AB=8， AD=12，过 A， D 两点的 O 与 BC 边相切于点 E，则 O 的半径为 . 解析 ： 连接 OE，并反向延长交 AD 于点 F，连接 OA， BC 是切线， OE BC， OEC=90， 四边形 ABCD 是矩形， C= D=90，四边形 CDFE 是矩形， EF=CD=AB=8， OF AD， AF=12AD=12 12=6， 设

12、O 的半径为 x，则 OE=EF-OE=8-x， 在 Rt OAF 中， OF2+AF2=OA2，则 (8-x)2+36=x2，解得： x=6.25， O 的半径为： 6.25. 答案： 6.25 18.如图，已知点 A， C 在反比例函数 y=ax(a 0)的图象上，点 B， D 在反比例函数 y=bx(b 0)的图象上， AB CD x 轴， AB， CD 在 x 轴的两侧， AB=3， CD=2， AB 与 CD 的距离为 5，则 a-b 的值是 . 解析 ： 如图，由题意知： a-b=2 OE， a-b=3 OF， 又 OE+OF=5， OE=3， OF=2， a-b=6. 答案： 6

13、 三、解答题 (共 8 小题，满分 78 分 ) 19.解一元一次不等式组 122113xx ，并把解在数轴上表示出来 . 解析 ： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可 . 答案： 122113xx ，由得， x -3， 由得， x 2，故此不等式组的解集为： -3 x 2. 在数轴上表示为： 20.一个不透明的布袋里装有 2 个白球， 1 个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出 1 个球，是白球的概率为 12. (1)布袋里红球有多少个？ (2)先从布袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白

14、球的概率 . 解析： (1)设红球的个数为 x，根据白球的概率可得关于 x 的方程，解方程即可； (2)画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率 . 答案： (1)设红球的个数为 x，由题意可得： 212 1 2x ，解得： x=1，即红球的个数为 1个 . (2)画树状图如下： P(摸得两白 )= 2112 6. 21.某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图 (部分信息未给出 ). (1)求本次被调查的学生人数； (2)补全条形统计图； (3)该校共有 120

15、0 名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？ 解析： (1)用喜欢跳绳的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数； (2)用总人数乘以足球所占的百分比即可求得喜欢足球的人数，用总数减去其他各小组的人数即可求得喜欢跑步的人数，从而补全条形统计图； (3)用样本估计总体即可确定最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少 . 答案： (1)观察条形统计图与扇形统计图知：喜欢跳绳的有 10 人，占 25%， 故总人数有 10 25%=40 人； (2)喜欢足球的有 40 30%=12 人， 喜欢跑步的有 40-10-15-12=3 人， 故条形统计图补充为： (3)全校最喜爱篮球

16、的人数比最喜爱足球的人数多 1 5 1 21 2 0 0 9 040人 . 22.宁波火车站北广场将于 2015 年底投入使用，计划在广场内种植 A， B 两种花木共 6600棵，若 A 花木数量是 B 花木数量的 2 倍少 600棵 (1)A， B 两种花木的数量分别是多少棵？ (2)如果园林处安排 26 人同时种植这两种花木，每人每天能种植 A 花木 60 棵或 B 花木 40棵，应分别安排多少人种植 A 花木和 B 花木，才能确保同时完成各自的任务？ 解析： (1)首先设 B 花木数量为 x 棵，则 A 花木数量是 (2x-600)棵，由题意得等量关系：种植 A， B 两种花木共 660

17、0 棵，根据等量关系列出方程，再解即可； (2)首先设安排 a 人种植 A 花木，由题意得等量关系： a 人种植 A 花木所用时间 =(26-a)人种植 B 花木所用时间，根据等量关系列出方程，再解即可 . 答案： (1)设 B 花木数量为 x 棵，则 A 花木数量是 (2x-600)棵，由题意得： x+2x-600=6600， 解得： x=2400， 2x-600=4200， 答： B 花木数量为 2400 棵，则 A 花木数量是 4200 棵； (2)设安排 a 人种植 A 花木，由题意得： 4 2 0 0 2 4 0 06 0 4 0 2 6aa ，解得： a=14， 经检验： a=14

18、 是原分式方程的解， 26-a=26-14=12， 答：安排 14 人种植 A 花木， 12 人种植 B 花木 . 23.已知抛物线 y=(x-m)2-(x-m)，其中 m 是常数 . (1)求证：不论 m 为何值，该抛物线与 x 轴一定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为直线 x=52. 求该抛物线的函数解析式； 把该抛物线沿 y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点 . 解析： (1)先把抛物线解析式化为一般式，再计算的值，得到 =1 0，于是根据 =b2-4ac决定抛物线与 x 轴的交点个数即可判断不论 m 为何值，该抛物线与 x 轴一定有两个公共点；

19、(2)根据对称轴方程得到 = 212m =52，然后解出 m 的值即可得到抛物线解析式； 根据抛物线的平移规律，设抛物线沿 y 轴向上平移 k 个单位长度后，得到的抛物线与 x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为 y=x2-5x+6+k，再利用抛物线与 x 轴的交点问题得到 =52-4(6+k)=0，然后解关于 k 的方程即可 . 答案： (1)y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m， =(2m+1)2-4(m2+m)=1 0，不论 m 为何值，该抛物线与 x 轴一定有两个公共点 . (2) x= 212m =52， m=2，抛物线解析式为 y=x2-5x+6； 设抛

20、物线沿 y 轴向上平移 k 个单位长度后，得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为 y=x2-5x+6+k， 抛物线 y=x2-5x+6+k 与 x 轴只有一个公共点， =52-4(6+k)=0， k=14， 即把该抛物线沿 y 轴向上平移 14个单位长度后，得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点 . 24.在边长为 1 的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点 (横竖格子线的交错点 )上，这样的多边形称为格点多边形 .记格点多边形内的格点数为 a，边界上的格点数为 b，则格点多边形的面积可表示为 S=ma+nb-1，其中 m， n 为常数 . (1)在下面

21、的方格中各画出一个面积为 6 的格点多边形，依次为三角形、平行四边形 (非菱形 )、菱形； (2)利用 (1)中的格点多边形确定 m， n 的值 . 解析： (1)利用格点图形的定义结合三角形以及平行四边形面积求法得出即可； (2)利用已知图形，结合 S=ma+nb-1 得出关于 m， n 的关系式，进而求出即可 . 答案： (1)如图所示： (2)格点多边形内的格点数为 a，边界上的格点数为 b，则格点多边形 的面积可表示为S=ma+nb-1，其中 m， n 为常数，三角形： S=3m+8n-1=6，平行四边形： S=3m+8n-1=6，菱形：S=5m+4n-1=6， 则 3 8 1 65

22、4 1 6mnmn ，解得： 11.2mn ， 25.如图 1，点 P 为 MON 的平分线上一点，以 P 为顶点的角的两边分别与射线 OM， ON 交于A， B 两点，如果 APB 绕点 P 旋转时始终满足 OA OB=OP2，我们就把 APB 叫做 MON 的智慧角 . (1)如图 2，已知 MON=90，点 P 为 MON 的平分线上一点，以 P 为顶点的角的两边分别与射线 OM， ON 交于 A， B 两点，且 APB=135 .求证： APB 是 MON 的智慧角 . (2)如图 1，已知 MON= (0 90 )， OP=2.若 APB 是 MON 的智慧角，连结 AB，用含的式子

23、分别表示 APB 的度数和 AOB 的面积 . (3)如图 3， C是函数 y=3x(x 0)图象上的一个动点，过 C的直线 CD分别交 x轴和 y轴于 A，B 两点，且满足 BC=2CA，请求出 AOB 的智慧角 APB 的顶点 P 的坐标 . 解析： (1)由角平分线求出 AOP= BOP=12 MON=45，再证出 OAP= OPB，证明 AOP POB，得出对应边成比例 OA OPOP OB，得出 OP2=OA OB，即可得出结论； (2)由 APB 是 MON 的智慧角，得出 OA OPOP OB，证出 AOP POB，得出对应角相等 OAP= OPB，即可得出 APB=180 -1

24、2；过点 A 作 AH OB 于 H，由三角形的面积公式得出： S AOB=12OB AH，即可得出 S AOB=2sin； (3)设点 C(a， b)，则 ab=3，过点 C 作 CH OA 于 H；分两种情况： 当点 B 在 y 轴正半轴上时；当点 A 在 x 轴的负半轴上时， BC=2CA 不可能；当得 A 在 x 轴的正半轴上时；先求出 13CAAB，由平行线得出 ACH ABO，得出比例式：13C H A H C AO B O A A B ，得出 OB=3b， OA=32a ，求出 OA OB=272 ，根据 APB 是 AOB 的智慧角，得出 OP，即可得出点 P 的坐标； 当点

25、B在 y轴的负半轴上时；由题意得出： AB=CA，由 AAS证明 ACH ABO，得出 OB=CH=b，OA=AH=12a，得出 OA OB=32，求出 OP，即可得出点 P 的坐标 . 答案： (1) MON=90， P 为 MON 的平分线上一点， AOP= BOP=12 MON=45， AOP+ OAP+ APO=180， OAP+ APO=135， APB=135， APO+ OPB=135， OAP= OPB， AOP POB， OA OPOP OB， OP2=OA OB， APB 是 MON 的智慧角 . (2) APB 是 MON 的智慧角， OA OB=OP2， OA OPOP

26、 OB， P 为 MON 的平分线上一点， AOP= BOP=12， AOP POB， OAP= OPB， APB= OPB+ OPA= OAP+ OPA=180 -12，即 APB=180 -12； 过点 A 作 AH OB 于 H，连接 AB；如图 1所示： 则 S AOB=12OB AH=12OB OAsin =12OP2 sin， OP=2， S AOB=2sin； (3)设点 C(a， b)，则 ab=3，过点 C 作 CH OA 于 H；分两种情况： 当点 B 在 y 轴正半轴上时；当点 A 在 x轴的负半轴上时，如图 2所示： BC=2CA 不可能； 当得 A 在 x 轴的正半轴

27、上时，如图 3 所示： BC=2CA， 13CAAB， CH OB， ACH ABO， 13C H A H C AO B O A A B ， OB=3b， OA=32a， OA OB=32a 3b=9 2722ab， APB 是 AOB 的智慧角， OP= OAOB = 27 3 622， AOB=90， OP 平分 AOB，点 P 的坐标为： (332， 332)； 当点 B 在 y 轴的负半轴上时，如图 4 所示： BC=2CA， AB=CA， 在 ACH 和 ABO 中， A H C A O BB A O C A HC A A B ， ACH ABO(AAS)， OB=CH=b， OA=

28、AH=12a， OA OB=12a b=32， APB 是 AOB 的智慧角， OP= 3622O A O B ， AOB=90， OP 平分 AOB，点 P 的坐标为： ( 32， - 32)； 综上所述：点 P 的坐标为： (332， 332)，或 ( 32， - 32). 26.如图，在平面直角坐标系中，点 M 是第一象限内一点，过 M 的直线分别交 x 轴， y 轴的正半轴于 A， B 两点，且 M 是 AB 的中点 .以 OM 为直径的 P 分别交 x 轴， y 轴于 C， D 两点，交直线 AB 于点 E(位于点 M 右下方 )，连结 DE 交 OM 于点 K. (1)若点 M 的

29、坐标为 (3， 4)， 求 A， B 两点的坐标； 求 ME 的长 . (2)若 OKMK=3，求 OBA 的度数 . (3)设 tan OBA=x(0 x 1)， OKMK=y，直接写出 y 关于 x 的函数解析式 . 解析： (1)连接 DM、 MC，如图 1，易证四边形 OCMD 是矩形，从而得到 MD OA， MC OB，由点 M 是 AB 的中点即可得到 BD=DO， AC=OC，然后利用点 M 的坐标就可解决问题； 根据勾股定理可求出 AB 的长，从而得到 BM 的长，要求 ME 的长，只需求 BE 的长，只需证 OBM EBD，然后运用相似三角形的性质即可； (2)连接 DP、

30、PE，如图 2，由 OKMK=3 可得 OK=3MK，进而得到 OM=4MK， PM=2MK， PK=MK.易证 DPK EMK，则有 DK=EK.由 PD=PE 可得 PK DE，从而可得 cos DPK= 12PKPD，则有DPK=60，根据圆周角定理可得 DOM=30 .由 AOB=90， AM=BM 可得 OM=BM，即可得到OBA= DOM=30； (3)连接 PD、 OE，如图 3，设 MK=t，则有 OK=yt， OM=(y+1)t， BM=OM=(y+1)t， DP=PM= 12yt ，PK= 12yt .由 DP BM 可得 DKP EKM，则有 DP PKME MK，由此可

31、得 ME= 11y ty，从而可求得 OE= 21 21ytyyy ， BE= 11y yty，则有 x=tan OBA= 2 2yyOEB E y ，即 x2= 22221yy ，整理得 y=221 x . 答案： (1)连接 DM、 MC，如图 1. OM 是 P 的直径， MDO= MCO=90 . AOB=90，四边形 OCMD 是矩形， MD OA， MC OB， BD BMDO AM， AC AMOC BM. 点 M 是 AB 的中点，即 BM=AM， BD=DO， AC=OC. 点 M 的坐标为 (3， 4)， OB=2OD=8， OA=2OC=6， 点 B 的坐标为 (0， 8

32、)，点 A 的坐标为 (6， 0)； 在 Rt AOB 中， OA=6， OB=8， AB= 22OB OA =10. BM=12AB=5. OBM= EBD， BOM= BED， OBM EBD， BM BOBD BE， 584 BE， BE=325， ME=BE-BM=325-5=75. (2)连接 DP、 PE，如图 2. OKMK=3， OK=3MK， OM=4MK， PM=2MK， PK=MK. OD=BD， OP=MP， DP BM， PDK= MEK， DPK= EMK. 在 DPK 和 EMK 中， P D K M E KD P K E M KP K M K ， DPK EMK

33、， DK=EK. PD=PE， PK DE， cos DPK= 12PKPD， DPK=60， DOM=30 . AOB=90， AM=BM， OM=BM， OBA= DOM=30 . (3)y 关于 x 的函数解析式为 y=221 x .提示：连接 PD、 OE，如图 3. 设 MK=t，则有 OK=yt， OM=(y+1)t， BM=OM=(y+1)t， DP=PM= 12yt ， PK= 1122y t y tt . 由 DP BM 可得 DKP EKM，则有 DP PKME MK，可得 ME= 11y ty. OM 是 P 的直径， OEM=90， OE2=OM2-ME2=(y+1)t2- 11yyt2= 2 2211yty (y2-2y)，即 OE= 21 21ytyyy ， BE=BM+ME=(y+1)t+ 11yyt= 11y yty， x=tan OBA= 2 2OE y yBE y ， x2=22221yy ，整理得： y=221 x .