【考研类试卷】工程硕士(GCT)数学-15及答案解析.doc
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1、工程硕士(GCT)数学-15 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、单项选择题(总题数:25,分数:100.00)1.已知数列 ln(an-1)是等差数列,且 a1=3,a 2=5,则 = ( )(分数:4.00)A.B.C.D.2.设 (分数:4.00)A.B.C.D.3.平面中 4个点 P1,P2,P3,P4,在某个球面上,且 P1P2=P2P3=P3P4=P4P1=3,已知球心到该平面的距离是该球半径的一半,则该球的体积是( )(分数:4.00)A.B.C.D.4.如图,将边长分别为 的正方形纸片从左到右顺次摆放,其对应的正方形的中心依次为 A1,A2,A3,若摆放前
2、 n(n2)个正方形纸片,则图中被遮盖的线段(虚线部分)长度之和为( )。(分数:4.00)A.B.C.D.5.如题 14图所示,A 是半径为 1的圆 O外的一点,OA=2,AB 是圆 O的切线,B 是切点,弦 BCOA,连接AC则阴影部分的面积等于 ( )(分数:4.00)A.B.C.D.6.若实数 a,b满足|a+b|a-b|,则( )(分数:4.00)A.ab0B.b0aC.0baD.ab07.计算(2+1)(2 2+1)(24+1)(264+1)+1=( )(分数:4.00)A.2128-1B.2128C.2128+1D.2128+28.若 ,则 =( )(分数:4.00)A.B.C.
3、D.9.对任意实数 x,恒有( )(分数:4.00)A.B.C.D.10.某篮球联赛总决赛在甲、乙两队之间进行,比赛采用五局三胜制已知在每场比赛中甲队获胜的概率都是 ,那么甲队以 3:1获胜的概率是( )(分数:4.00)A.B.C.D.11.设三阶矩阵 (分数:4.00)A.B.C.D.12.若 x3+p2x2+2px+1被 x+1整除,则 p的值是( )(分数:4.00)A.0B.1C.2D.0或 213.如果一组数据 5,-2,0,6,4,x的平均数为 3,那么 x等于( )(分数:4.00)A.3B.4C.5D.614.从甲地到乙地,水路比公路近 40km上午 10点,一艘轮船从甲地驶
4、往乙地,下午 1点,一辆汽车从甲地开往乙地,最后船、车同时到达乙地若汽车速度是 40km/h,轮船速度是汽车的 (分数:4.00)A.B.C.D.15.在下列定积分中,积分值等于零的是( )(分数:4.00)A.B.C.D.16.三元线性方程组 Ax=6的系数矩阵 A的秩 r(A)=2,且 x1=(4,1,-2)T,x 2=(2,2,-1)T,x 3 =(0,3,a)T均为Ax=b的解向量,则 A=( )(分数:4.00)A.-1B.0C.1D.217.O为坐标原点,P 为抛物线 y2=4x上的一点,F 为抛物线的焦点,已知 与 x轴正方向的夹角为60,则 =( )(分数:4.00)A.B.C
5、.D.18.下列函数中,既是奇函数又在-1,1上单调递减的是( )(分数:4.00)A.B.C.D.19.设f(x)在(-,+)内连续,则 a=( )(分数:4.00)A.B.C.D.20.设 f(x)在 x=0处可导, (分数:4.00)A.B.C.D.21.在坐标平面内,与点 A(-1,2)距离为 ,且与点 B(4,-3)距离为 (分数:4.00)A.B.C.D.22.设 1=(1,2,-1,2)T, 2=(2,0,0) T, 3=(1,-2,4,) T,则 3 是向量组 1 2 3线性无关的( )(分数:4.00)A.充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必
6、要条件23.设 A是三阶不可逆矩阵,, 是线性无关的两个三维列向量,且满足 A=,A=,则 ( )(分数:4.00)A.B.C.D.24.已知 x0,y0,则 的最小值是( )(分数:4.00)A.B.C.D.25.如下图所示,连续函数 y=f(x)在-,)上的图形是 sinx的图形,在-2,-)和 ,2上的图形是底边长为 ,高为 的等腰三角形的两腰,设 ,则下列结论正确的是( )(分数:4.00)A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-15 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、单项选择题(总题数:25,分数:100.00)1.已知数列 ln(an-1)是等差数列,且 a1
7、=3,a 2=5,则 = ( )(分数:4.00)A.B. C.D.解析:数列的公差d=ln(a2-1)-ln(a1-1)=ln4-ln2=ln2数列的通项ln(an-1)=ln(a1-1)+(n-1)d=ln2+(n-1)ln2=nln2所以有an=1+2n,an+1-an=2n+1+1-(2n+1)=2n,*当 n时其极限为 1故选 B2.设 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:令 f(x)=x 3(x-1)2=0,得 x=0和 x=1f(x)在 x=0两侧的符号改变,在 x=1两侧符号没有改变,因此 x=0是 f(x)的极值点但 x=1不是 f(x)的极值点,故应选 B3.平面中
8、4个点 P1,P2,P3,P4,在某个球面上,且 P1P2=P2P3=P3P4=P4P1=3,已知球心到该平面的距离是该球半径的一半,则该球的体积是( )(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:由题意可知平面截球面截线为一圆,点几,P 1,P2,P3,P4在此圆上,由题意,故四边形 P1P2P3P4为该圆的内接正方形设其中心点为 C(如题 15图所示),由球心 O引该平面的垂线,它与该平面的交点必为正方形的中心 C 点即|OC|为球心到该平面的距离*P1C的长度为正方形对角线长|P 1P3|的一半,故|P 1C|=*在直角三角形 OP1C中,|OP 1|为球的半径,设为 R,据题意*据勾股定
9、理:*则该球的体积*故选 D4.如图,将边长分别为 的正方形纸片从左到右顺次摆放,其对应的正方形的中心依次为 A1,A2,A3,若摆放前 n(n2)个正方形纸片,则图中被遮盖的线段(虚线部分)长度之和为( )。(分数:4.00)A.B. C.D.解析:根据对称性,后一个正方形遮盖的线段长恰好是前一个正方形周长的*,即其边长摆放前 n 个正方形纸片所遮盖的线段长度之和为*故选 B5.如题 14图所示,A 是半径为 1的圆 O外的一点,OA=2,AB 是圆 O的切线,B 是切点,弦 BCOA,连接AC则阴影部分的面积等于 ( )(分数:4.00)A.B. C.D.解析:如题 14图所示,在OBC
10、与ABC 中,因 BCOA,故 O到 BC的距离与 A到 BC的距离相等而这两个三角形共底 BC,故SOBC =SABC *因此所求阴影部分的面积即为圆 O中扇形 OBC的面积在直角OBA 中(因 B为切点,故 OBAB)OB=1,OA=2,故 COSBOA=*,即BOA=*,而 CBOA,故CBO=BOA=*所以OBC 为等边三角形,故COB=*所以扇形 OBC的面积=*圆 O面积=*?1 2=*=所求阴影部分面积故正确的选择应为 B6.若实数 a,b满足|a+b|a-b|,则( )(分数:4.00)A.ab0B.b0aC.0baD.ab0 解析:由|a+b|a-b|,可知(a+b) 2(a
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