1、工程硕士(GCT)数学-15 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.已知数列 ln(an-1)是等差数列，且 a1=3，a 2=5，则 = ( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.平面中 4个点 P1,P2,P3,P4，在某个球面上，且 P1P2=P2P3=P3P4=P4P1=3，已知球心到该平面的距离是该球半径的一半，则该球的体积是( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.如图，将边长分别为 的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为 A1,A2,A3，若摆放前
2、 n(n2)个正方形纸片，则图中被遮盖的线段(虚线部分)长度之和为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.5.如题 14图所示，A 是半径为 1的圆 O外的一点，OA=2，AB 是圆 O的切线，B 是切点，弦 BCOA，连接AC则阴影部分的面积等于 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.若实数 a,b满足|a+b|a-b|，则( )（分数：4.00）A.ab0B.b0aC.0baD.ab07.计算(2+1)(2 2+1)(24+1)(264+1)+1=( )（分数：4.00）A.2128-1B.2128C.2128+1D.2128+28.若 ，则 =( )（分数：4.00）A.B.C.
3、D.9.对任意实数 x，恒有( )（分数：4.00）A.B.C.D.10.某篮球联赛总决赛在甲、乙两队之间进行，比赛采用五局三胜制已知在每场比赛中甲队获胜的概率都是 ，那么甲队以 3:1获胜的概率是( )（分数：4.00）A.B.C.D.11.设三阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.12.若 x3+p2x2+2px+1被 x+1整除，则 p的值是( )（分数：4.00）A.0B.1C.2D.0或 213.如果一组数据 5,-2,0,6,4,x的平均数为 3，那么 x等于( )（分数：4.00）A.3B.4C.5D.614.从甲地到乙地，水路比公路近 40km上午 10点，一艘轮船从甲地驶
4、往乙地，下午 1点，一辆汽车从甲地开往乙地，最后船、车同时到达乙地若汽车速度是 40km/h，轮船速度是汽车的 （分数：4.00）A.B.C.D.15.在下列定积分中，积分值等于零的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.16.三元线性方程组 Ax=6的系数矩阵 A的秩 r(A)=2，且 x1=(4,1,-2)T，x 2=(2,2,-1)T，x 3 =(0,3,a)T均为Ax=b的解向量，则 A=( )（分数：4.00）A.-1B.0C.1D.217.O为坐标原点，P 为抛物线 y2=4x上的一点，F 为抛物线的焦点，已知 与 x轴正方向的夹角为60，则 =( )（分数：4.00）A.B.C
5、.D.18.下列函数中，既是奇函数又在-1,1上单调递减的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.19.设f(x)在(-,+)内连续，则 a=( )（分数：4.00）A.B.C.D.20.设 f(x)在 x=0处可导， （分数：4.00）A.B.C.D.21.在坐标平面内，与点 A(-1,2)距离为 ，且与点 B(4,-3)距离为 （分数：4.00）A.B.C.D.22.设 1=(1,2,-1,2)T， 2=(2,0,0) T， 3=(1,-2,4,) T，则 3 是向量组 1 2 3线性无关的( )（分数：4.00）A.充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必
6、要条件23.设 A是三阶不可逆矩阵，, 是线性无关的两个三维列向量，且满足 A=，A=，则 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.24.已知 x0，y0，则 的最小值是( )（分数：4.00）A.B.C.D.25.如下图所示，连续函数 y=f(x)在-,)上的图形是 sinx的图形，在-2,-)和 ,2上的图形是底边长为 ，高为 的等腰三角形的两腰，设 ，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-15 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.已知数列 ln(an-1)是等差数列，且 a1
7、=3，a 2=5，则 = ( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：数列的公差d=ln(a2-1)-ln(a1-1)=ln4-ln2=ln2数列的通项ln(an-1)=ln(a1-1)+(n-1)d=ln2+(n-1)ln2=nln2所以有an=1+2n，an+1-an=2n+1+1-(2n+1)=2n，*当 n时其极限为 1故选 B2.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：令 f(x)=x 3(x-1)2=0，得 x=0和 x=1f(x)在 x=0两侧的符号改变，在 x=1两侧符号没有改变，因此 x=0是 f(x)的极值点但 x=1不是 f(x)的极值点，故应选 B3.平面中
8、4个点 P1,P2,P3,P4，在某个球面上，且 P1P2=P2P3=P3P4=P4P1=3，已知球心到该平面的距离是该球半径的一半，则该球的体积是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由题意可知平面截球面截线为一圆，点几，P 1,P2,P3,P4在此圆上，由题意，故四边形 P1P2P3P4为该圆的内接正方形设其中心点为 C(如题 15图所示)，由球心 O引该平面的垂线，它与该平面的交点必为正方形的中心 C 点即|OC|为球心到该平面的距离*P1C的长度为正方形对角线长|P 1P3|的一半，故|P 1C|=*在直角三角形 OP1C中，|OP 1|为球的半径，设为 R，据题意*据勾股定
9、理：*则该球的体积*故选 D4.如图，将边长分别为 的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为 A1,A2,A3，若摆放前 n(n2)个正方形纸片，则图中被遮盖的线段(虚线部分)长度之和为( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：根据对称性，后一个正方形遮盖的线段长恰好是前一个正方形周长的*，即其边长摆放前 n 个正方形纸片所遮盖的线段长度之和为*故选 B5.如题 14图所示，A 是半径为 1的圆 O外的一点，OA=2，AB 是圆 O的切线，B 是切点，弦 BCOA，连接AC则阴影部分的面积等于 ( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：如题 14图所示，在OBC
10、与ABC 中，因 BCOA，故 O到 BC的距离与 A到 BC的距离相等而这两个三角形共底 BC，故SOBC =SABC *因此所求阴影部分的面积即为圆 O中扇形 OBC的面积在直角OBA 中(因 B为切点，故 OBAB)OB=1，OA=2，故 COSBOA=*，即BOA=*，而 CBOA，故CBO=BOA=*所以OBC 为等边三角形，故COB=*所以扇形 OBC的面积=*圆 O面积=*?1 2=*=所求阴影部分面积故正确的选择应为 B6.若实数 a,b满足|a+b|a-b|，则( )（分数：4.00）A.ab0B.b0aC.0baD.ab0 解析：由|a+b|a-b|，可知(a+b) 2(a
11、-b) 2，a2+2ab+b2a 2-2ab+b2，即 ab0故应选 D7.计算(2+1)(2 2+1)(24+1)(264+1)+1=( )（分数：4.00）A.2128-1B.2128 C.2128+1D.2128+2解析：(2+1)(2 2+1)(24+1)(264+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(264+1)=(24-1)(24+1)(264+1)=2128-1。可得(2+1)(22+1)(264+1)=2128-1，(2+1)(22+1)(264+1)+1=2128故应选 B8.若 ，则 =( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：利用三角函数诱导公式及倍角公式得*
12、故选 A9.对任意实数 x，恒有( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：取 x=1代入 A和 D中，分别得出错误结论*，因此不选 A和 D。取 x=-1代入 B中，得出错误结论 e0，因此不选 B；由排除法，选 C。事实上可以证明 C是正确的设f(x)=e-x-1+x，x(-,+)令 f(x)=-e -x+1=0，得 x=0而 f(x)=e -x，故 f(0)=10所以 x=0是惟一的极小值点，因此也是最小值点最小值为 f(0)=0，于是对一切 x，有 f(x)=ex-1+xf(0)=0，故选 C10.某篮球联赛总决赛在甲、乙两队之间进行，比赛采用五局三胜制已知在每场比赛中甲队获胜的概
13、率都是 ，那么甲队以 3:1获胜的概率是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：甲队以 3:1获胜的情形是：共比 4局，第 4局甲队胜，且在前 3局中甲队只输掉第 1局、第 2 局或第 3局第 4局甲胜，前 3局中甲输掉任一局的概率是*因而所求概率*故应选 C11.设三阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：此题是通过矩阵运算和行列式乘法公式求解由题意 BA=B+2E 3得到 BA-B=2E3，提取 B，得 B(A-E)=2E两边取行列式：*因此正确的答案是 C12.若 x3+p2x2+2px+1被 x+1整除，则 p的值是( )（分数：4.00）A.0B.1C.2D.0或
14、2 解析：设 f(x)=x3+p2x2+2px+1，它能被 x+1整除，即 f(x)含有因子 x+1，f(x)=(x+1)(x 2+bx+c)由 f(-1)=0得-1+p 2-2p+1=0，即 p2-2p=0，解出 p=0或 p=2，故选 D13.如果一组数据 5,-2,0,6,4,x的平均数为 3，那么 x等于( )（分数：4.00）A.3B.4C.5 D.6解析：由*，可得 x=5故应选 C14.从甲地到乙地，水路比公路近 40km上午 10点，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午 1点，一辆汽车从甲地开往乙地，最后船、车同时到达乙地若汽车速度是 40km/h，轮船速度是汽车的 （分数：4.00）
15、A.B. C.D.解析：设甲、乙两地的公路长是 x(km)，则水路长为 x-40(km)汽车以 40(km/h)的速度从甲地到乙地需用*(h)，轮船以 40*(km/h)=24(km/h)的速度从甲地到乙地需用*(h)依题意，可知*求得 x=280(km)故应选 B15.在下列定积分中，积分值等于零的是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：*由于 D中被积函数 sin5x在,2上有 sin2x0，所以*由排除法，选 C*故正确选项为 C注 本题解答中运用了下面的性质：(1) 若 f(x)是连续函数，则*(2) 如果 f(x)在a,b)上连续，f(x)0，但不恒为零，则*(3) 如果
16、f(x)是以 T为周期的连续函数，则*16.三元线性方程组 Ax=6的系数矩阵 A的秩 r(A)=2，且 x1=(4,1,-2)T，x 2=(2,2,-1)T，x 3 =(0,3,a)T均为Ax=b的解向量，则 A=( )（分数：4.00）A.-1B.0 C.1D.2解析：由已知条件 x1,x2,x3均为非齐次线性方程组 Ax=b的解，故 x1-x2,x2-x3为 Ax=b对应的齐次方程组Ax=0的解又已知 r(A)=2，故三元方程组 Ax=0的基础解系只包括 n-r(A)=3-2=1个解向量故 x1-x2与x1-x3是线性相关的它们的对应分量应成比例从而能确定系数 a：由 x1-x2=(2,
17、-1,-1)T, x2-x3=(2,-1,-1-a)T，得*，从而 a=0故正确的选择应为 B17.O为坐标原点，P 为抛物线 y2=4x上的一点，F 为抛物线的焦点，已知 与 x轴正方向的夹角为60，则 =( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：焦点 F(1,0)，FP 所在直线方程：*设 P(x,y)，解方程组*18.下列函数中，既是奇函数又在-1,1上单调递减的是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：先考查奇函数的条件，熟知 A项为奇函数，B 项非奇非偶函数，而 C项为偶函数最后看 D项：*所以为奇函数的有 A项和 D项*19.设f(x)在(-,+)内连续，则 a=(
18、)（分数：4.00）A.B. C.D.解析：因 f(x)在 x0 处是连续函数，只需考虑在 x=0处的情形*要使 f(x)在 x=0处连续，需要求*，故应选 B20.设 f(x)在 x=0处可导， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：因 f(x)在 x=0处可导，所以 f(x)在 x=0处连续，因此*由题设 f(0)存在，因而有*故应选 A21.在坐标平面内，与点 A(-1,2)距离为 ，且与点 B(4,-3)距离为 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：如题 12图所示，分别以 A(-1,2)为中心，半径为*以及以 B(4,-3)为中心，半径为*作两圆因为*即两圆半径之和所以两圆相
19、切于点(1,0)，在该点有一条两圆的内公切线 l1通过两圆还有两条外公切线 l2和 l3这三条切线都是满足题设条件的直线，而且没有其他直线满足题设条件故选 C22.设 1=(1,2,-1,2)T， 2=(2,0,0) T， 3=(1,-2,4,) T，则 3 是向量组 1 2 3线性无关的( )（分数：4.00）A.充分而非必要条件 B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件解析：此题是判断带有参数的三个向量的线性无关性只要 r( 1, 2, 3)=3，即有 1, 2, 3线性无关为避免带参数的矩阵消阶梯形求秩，根据题意先设 a3，如可取 a=1(特殊值)，则有*得到 r(
20、1, 2, 3)=3，说明 a3 是 1, 2, 3线性无关的充分条件再设 a=3，得*从而得到 r( 1, 2, 3)=3说明 a=3时， 1, 2, 3仍然线性无关，因此 a3 不是 1, 2, 3线性无关的必要条件故正确的选择应为 A23.设 A是三阶不可逆矩阵，, 是线性无关的两个三维列向量，且满足 A=，A=，则 ( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：由已知得A=， A= 由+得 A+A=+，即 A(+)=1?(+)又已知 , 线性无关，故 +0所以 1=1是 A的一个特征值由-得 A-A=-，即 A(-)=-1?(-)同理 -0，所以 2=-1是 A的第 2个特征值又已知
21、 A是不可逆矩阵，故|A|=0，则 3=0是 A的第 3个特征值由于三阶矩阵具有 3个不同的特征值 1=1, 2=-1, 3=0，故 A可对角化，且*故正确的选择应为 B24.已知 x0，y0，则 的最小值是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：把原式改写就可以用平均值定理：*25.如下图所示，连续函数 y=f(x)在-,)上的图形是 sinx的图形，在-2,-)和 ,2上的图形是底边长为 ，高为 的等腰三角形的两腰，设 ，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：*由定积分的几何意义，F(2)等于曲线 g(x)=sinx与 x轴(0x)所围面积减去等腰三角形面积，即*又从 f(x)的图形可知，f(x)在-2,2上是奇函数，因此，*是偶函数，所以 F(2)=F(-2)F()=F(-)，从而 F(2)= *故正确选项为 C
