拉格朗日定理证明与辅助函数的应用.pdf

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1、拉格朗日定理证明与辅助函数的应用 一、引言 在高等数学中，罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称为微分中值定理。现行教科书中，对于拉格朗日定理的证明又普遍采用引入一个辅助函数，把适合拉格朗日定理条件的函数，转换成适合罗尔定理的函数的办法。但是各种教科书所采用的辅助函数往往又有所不同。三、辅助函数的应用 辅助函数在拉格朗日定理的证明中起到了十分关键的作用，可以毫不夸张地说，当我们找到了证明中引用的辅助函数，问题的解决就有了保障。 在拉格朗日定理的证明中，如何构造辅助函数 ?构造辅助函数的依据是什么 ?在上述的辅助函数一般形式的说明中有所涉及，但是这种方法是否可以推广，成为一种通法呢 ?显然这种想法

2、是好的，具体在各种问题中又是办不到的。如何解决这辅助函数构造的问题就成为值得我们深入研究的问题。只要我们面对不同的问题，探求辅助函数构造的带有内部规律性的东西，还是可以有章可循的。 1.构造辅助函数，转换为满足罗尔定理的函数 例 1 ： 假 设 函 数 f （ x ） 和 g （ x ） 在 a ， b 上 存 在 二 阶 导 数 ， （ a） =g（ b） =0试证 ： 四、后记 微积分中的辅助函数的引入，往往为使问题的求解提供十分有效的手段。辅助函数的构造，除了具有很强的针对性外，还必须依据微积分相关的定理。因此，只有不断地分析典型的题目，找出内在规律，对辅助函数的构造方法才能逐步掌握。