2019_2020学年高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点课件新人教A版必修1.pptx

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1、3.1.1 方程的根与函数的零点,一,二,三,一、函数的零点 1.已知函数f(x)=2x+6. (1)求方程f(x)=0的解; 提示:由2x+6=0,解得x=-3. (2)求函数f(x)的图象与x轴的交点坐标. 提示:交点坐标A(-3,0). (3)方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关系? 提示:相等.,一,二,三,2.填空: 函数的零点 (1)定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)几何意义:函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y=f(x)的零点. 3.函数y=f(x)的零点是点吗?为什么? 提示:不是.函数的零

2、点的本质是方程f(x)=0的实数根,因此,函数的零点不是点,而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数值为零. 4.你能说出函数y=lg x;y=lg(x+1);y=2x;y=2x-2的零点吗? 提示:y=lg x的零点是x=1;y=lg (x+1)的零点是x=0;y=2x没有零点;y=2x-2的零点是x=1.,一,二,三,5.做一做: 函数f(x)=x2-1的零点是( ) A.(1,0) B.(1,0) C.0 D.1 解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=1,因此函数f(x)=x2-1的零点是1. 答案:D,一,二,三,二、方程、函数、图象之间的关系 1.考察下列一元二次方程与对应

3、的二次函数: 方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3; 方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1; 方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3. (1)你能够画出关于上述方程的根,函数图象与x轴的交点及函数的零点的表格吗?,一,二,三,提示:,一,二,三,(2)从你所列的表格中,你能得出什么结论? 提示:方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.,一,二,三,三、函数零点存在性定理 1.观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象,发现这个二次函数在区间-2,1上有零点x=-1,而f(-2)0,f(1)0,即f(2)f(4)0.由以上两步

4、探索,你可以得出什么样的结论? 提示:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点. 2.填空: 函数零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.,一,二,三,3.如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是间断的,上述定理成立吗? 提示:不一定成立,由下图可知.4.反过来,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲

5、线,函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点,f(a)f(b)0是否一定成立? 提示:不一定成立,由二次函数f(x)=x2-2x+1的图象可知.,一,二,三,5.判断正误: 函数y=f(x)的图象是在闭区间a,b上连续的曲线,若f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点. ( ) 答案: 6.做一做: 函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上( ) A.-2,-1 B.-1,0 C.0,1 D.1,2 解析:因为f(-2)=-110,f(1)=40,f(2)=130, 所以f(-1)f(0)0. 所以f(x)的零点在区间-1,0上. 答案:B,探究一,探究二,探

6、究三,思想方法,当堂检测,探究一求函数的零点 例1 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点. (1)f(x)=-8x2+7x+1; (2)f(x)=1+log3x; (3)f(x)=4x-16;,分析:可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2. 所以函数的零点为2. (4)当x0时,由f(x)=0,即x2+3x-4=0,也就是(x-1)(x+4)=0,解得x=1或x=-4.因为x0,所以x=-4. 当x0时,由f(x)=0,即-1+ln x=0,解得x=e,满足x0. 所以函数的零点为-4和e

7、.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的根求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点. 解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的实

8、根.,所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1). 令log2(-2x+1)=0,得x=0. 所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究二判断函数零点的个数 例2判断函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,解:(方法一)f(0)=1+0-2=-10,f(x)在区间(0,2)内必定存在实根. 又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点. (方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标

9、系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示.由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟 判断函数零点个数的常用方法 1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数. 2.直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数. 3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象交点的个数就是函数y=f(x)零点的个数. 4.若

10、证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练 2(1)若abc0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.1或2 (2)判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数. (1)解析:b2=ac, 方程ax2+bx+c=0的判别式=b2-4ac=b2-4b2=-3b2. abc0,b0.因此0. 故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0. 答案:A,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,(2)解:(方法一)令f(x)=x-3+ln

11、x=0,则ln x=3-x. 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示.由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点. (方法二)因为f(3)=ln 30,f(2)=-1+ln 2=ln 0,所以f(3)f(2)0,说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+)上是增函数,所以原函数只有一个零点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究三判断函数的零点所在的大致区间 例3 (1)方程log3x+x=3的解所在的区间为 ( ) A.(0

12、,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) (2)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实根所在的区间为(k,k+1)(kN),则k的值为 . 分析:(1)构造函数f(x)=log3x+x-3,转化为确定函数f(x)的零点所在的区间;(2)构造与方程对应的函数,然后根据表格判断函数值的符号,从而确定零点所在的区间,再求k值.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,解析:(1)令f(x)=log3x+x-3,则f(1)=log31+1-3=-20,f(4)=log34+4-3=log3120,则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3),所以方程log3x+x=3的

13、解所在的区间为(2,3). (2)记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实根.由题表可知f(-1)=0.37-10,f(3)=20.09-50.由零点存在性定理可得f(1)f(2)0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1. 答案:(1)C (2)1,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟 1.依据函数零点存在性定理判断函数y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点,关键看两点:一是曲线是否连续不断;二是f(a)与f(b)是否异号,就是说这种方法只能判断变号零点(即在零点左右两侧附近函数值的符号发生改变的零点). 2.判断函数零点所在区间的三个步

14、骤: (1)代.将区间端点代入函数求出函数的值. (2)判.把所得函数值相乘,并进行符号判断. (3)结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则函数在该区间内无零点,若符号为负且函数图象连续,则函数在该区间内至少有一个零点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,答案:(1)B (2)A,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,函数与方程思想在一元二次方程根的分布问题中的应用 典例 关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时: (1)方程有一个正根和一个负根; (2)方程的两个根都大于1. 【审题视角】 题意画草图转换为

15、数量关系求解,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,解:令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1. (1)当方程有一个正根和一个负根时,f(x)对应的草图可能如图,所示.,解得0a1. 所以当0a1时,方程有一个正根和一个负根.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,(2)当方程的两个根都大于1时,f(x)对应的草图可能如图,所示.,解得a. 所以不存在实数a,使方程的两个根都大于1.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,方法点睛 解决有关根的分布问题应注意以下几点: (1)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题. (2)结合草图考虑四个方面:开口方向;与0的大小关系;对

16、称轴与所给端点值的关系;端点的函数值与零的关系. (3)写出由题意得到的不等式(组). (4)由得到的不等式(组)的解去验证图象是否符合题意. 这类问题充分体现了函数与方程的思想,也体现了方程的根就是函数的零点.在写不等式(组)时要注意条件的完备性.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练本例已知条件不变,求a为何值时: (1)方程有唯一实数根; (2)方程的一个根大于1,一个根小于1.,解:(1)令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,(2)因为方程的一个根大于1,一个根小于1. f(x)的草图可能如图,所示.,所以当a0时,方

17、程的一个根大于1,一个根小于1.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,1.函数f(x)=log5(x-1)的零点是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:令log5(x-1)=0,解得x=2,所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2,故选C. 答案:C 2.若x0是方程ln x+x=4的解,则x0所在的区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:设f(x)=ln x+x-4,则f(1)=-30, f(4)=ln 40,则x0(2,3). 答案:C,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,3.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点

18、,则实数a的值为 . 解析:当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点. 当a0时,函数y=ax2-x-1为二次函数. 函数y=ax2-x-1只有一个零点, 方程ax2-x-1=0有两个相等的实数根.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,4.函数y=2|x|+x-2的零点的个数为 . 解析:令2|x|+x-2=0,得2|x|=2-x. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2|x|与函数y=2-x的图象,如图,图象有2个交点,即方程2|x|+x-2=0有2个实数根,也就是函数有2个零点.答案:2,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,5.判断下列函数在给定区间上是否存在零点: (1)f(x)=x2-3x-18,x-4,7;(2)f(x)=x2+2x+1- ,x(0,+). 解:(1)令x2-3x-18=0, 解得x=-3或x=6. 又-3-4,7,6-4,7, f(x)=x2-3x-18在-4,7上有两个零点.所以函数f(x)在(0,+)上存在零点,且仅有一个零点.,