2019高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广课件北师大版必修4.ppt

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1、2 角的概念的推广,一,二,三,一、角的概念 1.角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 2.角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类:,一,二,三,【做一做1】 用任意角表示下列各角: (1)顺时针拧螺丝1圈转过的角为 ; (2)将时钟拨慢2 h,分针转过的角为 . 答案:(1)-360 (2)720,一,二,三,二、象限角 在平面直角坐标系中研究角时,如果角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 【做一做2】 318角的终边所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.

2、第三象限 D.第四象限 解析:318角的终边所在的象限是第四象限. 答案:D,一,二,三,三、终边相同的角 所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=|=+360k ,kZ,即任何一个与角终边相同的角,都可以表示成角与周角的整数倍的和.,名师归纳 象限角与轴线角的集合表示方法 第一象限角的集合为 x|k360xk360+90,kZ; 第二象限角的集合为 x|k360+90xk360+180,kZ; 第三象限角的集合为 x|k360+180xk360+270,kZ; 第四象限角的集合为 x|k360+270xk360+360,kZ;,一,二,三,终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为 x

3、|x=k360,kZ; 终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为 x|x=k360+180,kZ; 终边落在x轴上的角的集合为 x|x=k180,kZ; 终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为 x|x=k360+90,kZ; 终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为 x|x=k360-90,kZ; 终边落在y轴上的角的集合为 x|x=k180+90,kZ.,一,二,三,【做一做3】 下列各角中,终边与330角终边相同的是 ( ) A.-630 B.-1 830 C.30 D.990 解析:终边与330角终边相同的角为=330+k360(kZ).令k=-6,得=-1 830.故选B. 答案:B,一,二,三

4、,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)直角是第一象限角. ( ) (2)第四象限角一定比第三象限角大. ( ) (3)终边落在直线y=x上的角的集合为|=45+k180,kZ. ( ) (4)若是第四象限角,则 一定是钝角. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,角的概念 【例1】 下列各种说法正确的是( ) A.经过2小时,钟表的时针转过的角度为60 B.第一象限角就是锐角 C.锐角是第一象限角 D.小于90的角都是锐角 解析:根据锐角的定义和第一象限角的范围来进行判定.锐角的集合是|090,第一

5、象限角的集合是|k360 k360+90,kZ,故当k=0时,角的范围就与锐角的范围相一致,故锐角是第一象限角,C正确.对于A,经过2小时,时针转过的角度为-60,故说法错误;对于B,390角是第一象限角,但它不是锐角,故说法错误;对于D,-30角是小于90的角,但它不是锐角,故说法错误. 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟对于概念辨析题,一是利用反例排除错误答案,只需举一个反例即可;二是利用定义直接判断.本题需要准确理解象限角、锐角、钝角、终边相同的角等基本概念才能作出正确的判断.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练1(1)下列说法正确的是( ) A

6、.三角形的内角一定是第一、二象限角 B.钝角不一定是第二象限角 C.终边与始边重合的角是零角 D.钟表的时针旋转而成的角是负角 (2)给出下列说法: 锐角都是第一象限角; 第一象限角一定不是负角; 第二象限角是钝角; 小于180的角是钝角、直角或锐角. 其中正确说法的序号为 . 答案:(1)D (2),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,【例2】 写出与75角终边相同的角的集合,并求在3601 080范围内与75角终边相同的角. 思路分析:根据与角终边相同的角的集合为S=|=k360+, kZ,写出与75角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出3601 080范围内的角.,探究一,探究

7、二,探究三,探究四,易错辨析,解:与75角终边相同的角的集合为 S=|=k360+75,kZ. 当3601 080时, 即360k360+751 080,又kZ, 所以k=1或k=2. 当k=1时,=435; 当k=2时,=795. 综上所述,与75角终边相同且在3601 080范围内的角为435角和795角.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟求与已知角终边相同的角时,要先将这样的角表示成k360+(kZ)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练2与-2 018终边相同的最小正角是 . 解析:-2

8、 018=142-6360, 与-2 018终边相同的最小正角是142. 答案:142,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,象限角 【例3】 (1)分别判断角=-130和=-940是第几象限角. (2)若角是第二象限角,试判断180-及2是第几象限角. 思路分析:(1)可通过终边相同的角将其转化为0,360)内的角后进行判断;(2)先确定的范围,再写出180-,2的范围,根据范围判断所在象限. 解:(1)由于=-130=-360+230,即角与230角终边相同,而230是第三象限角,故是第三象限角. 由于=-940=-3360+140,即角与140角终边相同,而140是第二象限角,故是第

9、二象限角.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,(2)由是第二象限角可得,90+k360180+k360(kZ),所以180-(180+k360)180-180-(90+k360)(kZ), 即-k360180-90-k360(kZ). 所以180-为第一象限角. 同理,180+2k3602360+2k360(kZ), 所以角2可能是第三、第四象限角或者终边落在y轴的非正半轴上.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟1.已知一个角的大小判断其所在象限时,可先根据终边相同的角的表示方法,找到在0,360)内与之终边相同的角,从而确定其象限. 2.已知角的终边所在的象限,求新角

10、的终边所在的位置时,通常首先根据所给角的范围,得到新角的范围,然后判断新角终边所在的位置.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练3在0360范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角: (1)-120;(2)660;(3)-95008. 解:(1)因为-120=240-360,所以在0360范围内,与-120角终边相同的角是240角,它是第三象限的角. (2)因为660=300+360,所以在0360范围内,与660角终边相同的角是300角,它是第四象限的角. (3)因为-95008=12952-3360,所以在0360范围内,与-95008终边相同的角是129

11、52,它是第二象限的角.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,区域角 【例4】 如图所示,写出顶点在原点,终边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,思路分析:(1)要注意角的起始边界与终止边界的书写; (2)注意角的终边所出现的规律性是每隔180就会重复出现. 解:(1)对于阴影部分,先取-60,75这一范围,再结合其规律性可得终边落在阴影部分内角的集合为|-60+k36075+k360,kZ. (2)对于阴影部分,先取60,90这一范围,再结合其出现的规律性可知集合为|60+k18090+k180,kZ.,探究一,探

12、究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步: (1)借助图形,在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界; (2)按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的-360360范围内的角和; (3)分别将起始边界,终止边界的对应角,加上360的整数倍,即可求得区域角.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练4如图,终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )A.|k360+30k360+45,kZ B.|k180+150k180+225,kZ C.|k360+150k360+225,kZ D.|k360+3

13、0k180+45,kZ 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练5若把变式训练4的图改为如图所示的图,应该选择下列选项中的哪一个呢?( )A.|-45120 B.|120315 C.|k360-45k360+120,kZ D.|k360+120360+315,kZ 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,因考虑不全而致误 【典例】 如果是第三象限角,那么 ,2是第几象限角? 错解因为是第三象限角, 所以k360+180k360+270,kZ, 所以k180+90 k180+135,kZ. 所以 是第二象限角. 由得k720+3602k720+540,kZ, 即(

14、2k+1)3602(2k+1)360+180,kZ. 所以2是第一或第二象限角.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,正解:因为是第三象限角, 所以k360+180k360+270,kZ,由得2k360+36022k360+540,kZ,即(2k+1)3602(2k+1)360+180,kZ. 所以2是第一或第二象限角或是终边落在y轴非负半轴上的角.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,纠错心得1.在讨论角的终边所在的象限时,一方面要注意象限角的表示方法必须是360的整数倍加上一个角,另一方面注意不能忽略角的终边在坐标轴上的情况. 2.错解错在两个方面:一个是没有注意到90和135

15、前面加的不是360的整数倍,盲目下结论,导致错误;另一个是忽略了满足(2k+1)360(2k+1)360+180,kZ的角的终边落在y轴非负半轴上的情况,导致错误.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练已知是第一象限角,则 所在的象限为 .,解析:因为是第一象限角,所以k360k360+90,kZ,1,2,3,4,5,6,1.已知A=第一象限角,B=锐角,C=小于90的角,则下列判断正确的是( ) A.B=AC B.BC=C C.AC=B D.A=B=C 答案:B,1,2,3,4,5,6,2.下列各组角中,终边相同的角是( ) A.390与690 B.-330与750 C.480

16、与-420 D.300与-840 解析:若与终边相同,则-=k360,kZ,-330-750=-3360. 答案:B,1,2,3,4,5,6,3.若是第四象限角,则270-是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:因为是第四象限角,所以-是第一象限角,因此270-是第四象限角. 答案:D,1,2,3,4,5,6,4.集合A=|=k90-36,kZ,B=|-180180,则AB=( ) A.-36,54 B.-126,144 C.-126,-36,54,144 D.-126,54 解析:由-180k90-36180(kZ)得-144k90216(kZ),AB

17、=-126,-36,54,144,故选C. 答案:C,1,2,3,4,5,6,5.已知角的终边落在图中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则角的集合是 . 解析:在0360范围内,阴影部分的边界射线所表示的角分别是45和150,因此,所求的范围是45+k360150+k360(kZ). 答案:|45+k360150+k360,kZ,1,2,3,4,5,6,6.已知集合A=|30+k18090+k180,kZ,集合B=|-45+k36045+k360,kZ,求AB. 解:30+k18090+k180,kZ, 当k为偶数,即k=2n(nZ)时,30+n36090+n360,nZ;当k为奇数,即k=2n+1(nZ)时,210+n360270+n360,nZ, 集合A中角的终边在图中阴影()区域内. 又集合B中角的终边在图中阴影()区域内,集合AB中角的终边在阴影()和()的公共部分内. AB=|30+k36045+k360,kZ.,