四川省成都市高中数学第三章导数及其应用第9课时生活中的优化问题举例同步测试新人教A版选修1_1.doc

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1、- 1 -第 9课时 生活中的优化问题举例基础达标(水平一)1.有一长为 16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为( ).A.4 m2 B.8 m2 C.12 m2 D.16 m2【解析】设矩形一边长为 x(00),275y= - x2,令 y=0,得 x=25,250 225当 x(0,25)时, y0;当 x(25, + )时, y0;当 300 时, y0.所以当 x= 时周长最小 . 【答案】 6.某商场从生产厂家以每件 20元购进一批商品,若该商品定价为 P元,则销售量 Q(单位:件)与定价 P(单位:元)有如下关系: Q=8300-170P-P2.则该商品定价为

2、 元时,毛利润 L最大 . 【解析】由题意得 L=PQ-20Q=-P3-150P2+11700P-166000(P0),L=- 3P2-300P+11700.令 L=0,得 P=30或 P=-130(舍去) .当 P(0,30)时, L0;当 P(30, + )时, L0,h(x)是增函数 .所以当 x=60时, h(x)min= 8 .7.263故当快艇以 60千米 /小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少,最少约为 8.7升 .拓展提升(水平二)8.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为 30千米/小时,当速度为 10千米 /小时时,它的燃料费是每小

3、时 25元,其余费用(无论速度如何)是每小时 400元 .如果甲、乙两地相距 800千米,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为( ).A.30千米 /小时 B.25千米 /小时- 3 -C.20千米 /小时 D.10千米 /小时【解析】设航速为 v(0 v30),每小时燃料费为 m,则 m=kv3,v= 10时, m=25,代入上式得 k= ,140 总费用 y= m+ 400=20v2+ ,800 800 320000y= 40v- .令 y=0,得 v=20.经判断知 v=20时, y最小,故选 C.3200002【答案】C9.某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存

4、款量与存款利率的平方成正比,比例系数为 k(k0),贷款的利率为 4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去 .若存款利率为x(x(0,0 .048),则银行获得最大收益的存款利率为( ).A.3.2% B.2.4% C.4% D.3.6%【解析】依题意知,存款量是 kx2,银行应支付的利息是 kx3,银行应获得的利息是 0.048kx2,所以银行的收益 y=0.048kx2-kx3,故 y=0.096kx-3kx2.令 y=0,得 x=0.032或 x=0(舍去) .因为k0,所以当 00;当0.032x0.048时, y0.因此,当 x=0.032时, y取得极大值,也是最大值,即当存款利

5、率定为 3.2%时,银行可获得最大收益 .【答案】A10.圆柱形饮料罐的容积一定时,它的高与底面直径之比是 时,所用材料最省 . 【解析】设底面半径为 r,高为 h,则表面积 S=2 rh+2 r2,由 V= r2h,所以 h= ,则 S=2+2 r2.令 S=- +4 r=0,得 r= ,所以 h= =2 =2r,此时,高与底面直径相等,表面积2 22 32 2 32取得极小值,也是最小值,用料最省 .【答案】1111.请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库(供融化高速公路上的积雪之用) .它的上部分是底面圆半径为 5 m的圆锥,下部分是底面圆半径为 5 m的圆柱,且该仓库的总高度为 5 m.经过预算,制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为 4百元 /m2、1 百元 /m2,设圆锥母线与底面所成的角为 ,且 ,问当 为多少时,该仓库的侧面总造价(单位:百元)(0,4)最少?并求出此时圆锥的高度 .【解析】设该仓库的侧面总造价为 y百元,则 y= 1+ 4=50 .255(1-tan) 1225 5cos (1+2-sincos)由 y=50 =0,得 sin = , ,(2sin-12) 12 (0,4)所以 = .6- 4 -列表如下: (0,6) 6 (6,4)y - 0 +y 极小值 所以当 = 时,侧面总造价 y最小,此时圆锥的高度为 m. 6 533