2019高考数学二轮复习专题六函数与导数、不等式第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题课件.ppt

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1、第4讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题,高考定位 利用导数研究函数的性质，能进行简单的定积分计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.,1.(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为( ),A.y2x B.yx C.y2x D.yx 解析 因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(x)f(x)，可得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx. 答案 D,真 题 感 悟,2.(

2、2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为( ),A.1 B.2e3 C.5e3 D.1 解析 f(x)x2(a2)xa1ex1， 则f(2)42(a2)a1e30a1， 则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1， 令f(x)0，得x2或x1， 当x1时，f(x)0；当2x1时，f(x)0. 则f(x)极小值为f(1)1. 答案 A,3.(2018天津卷)已知函数f(x)exln x，f(x)为f(x)的导函数，则f(1)的值为_.,答案 e,()若a2，则f(x)0， 当且仅当a2，x1时f(x)0， 所以f(x)在(0，)上单调递

3、减.,(1)试讨论函数f(x)的单调性； (2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，且x2x1，设tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2)，试证明t0.,(2)证明 由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a2. 由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10， 所以x1x21. 又x2x10，所以x21.,又tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2),1.导数的几何意义,函数f(x) 在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0). 易错提醒 求曲线的切线方程时，要

4、注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.,考 点 整 合,2.四个易误导数公式,3.利用导数研究函数的单调性,(1)导数与函数单调性的关系. f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0. f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常数函数. (2)利用导数研究函数单调性的方法. 若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0. 若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解

5、.,4.利用导数研究函数的极值、最值,(1)若在x0附近左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. 易错提醒 若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件.,热点一 导数与定积分的几何意义 【例1】 (1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_.,解析 (1)令x0，则x0，f(x)ln x3x， 又f(x)为偶函数，即f(x)f(x)，,

6、在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即2xy10.,探究提高 1.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标. 2.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 (1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值. (2)根据图形的特征，选择合适的积分变量.在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.,又该切线与直线xay10垂直， 所以k1k21，解得a1.,热点二 利用导数研究函数的单调性 考法1 确定函数

7、的单调性(区间) 【例21】 (2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0.,(1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)0，求a的取值范围. 解 (1)函数f(x)的定义域为(，)，且a0. f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa). 若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.,综上所述，当a0时，f(x)在R上单调递增；,(2)当a0时，f(x)e2x0恒成立.,所以f(1)0，即2b10. 解得b3，经检验，适合题意，所以b3.,令f(x)0，得0x1. 所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1).,因为函数g(x)在1，2上单调递增， 所以g(

8、x)0在1，2上恒成立，,所以a2x2x在1，2上恒成立， 所以a(2x2x)max，x1，2. 因为在1，2上，(2x2x)max3，所以a3. 所以a的取值范围是3，).,探究提高 1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f(x)0或f(x)0. 2.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围. (2)若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解.,【训练2】 已知aR，函数f(x)(

9、x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数).,(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在(1，1)上单调递增，求a的取值范围. 解 (1)当a2时，f(x)(x22x)ex， 所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，,(2)因为函数f(x)在(1，1)上单调递增，所以f(x)0对x(1，1)都成立. 因为f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex， 所以x2(a2)xaex0对x(1，1)都成立.,因为ex0，所以x2(a2)xa0，,热点三 利用导数研究函数的极值和最值 考法1 求函数的极值、最值

10、 【例31】 (2018北京卷)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.,(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a； (2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围. 解 (1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex， 所以f(x)ax2(2a1)x2ex.f(1)(1a)e. 由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1. 此时f(1)3e0. 所以a的值为1.,(2)f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.,当x(2，)时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值.,所以f(x)0.所以2不是f(x)的极小值点.,探究提高 1.本题利用导

11、数的几何意义曲线在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a值，切记，需检验切线是否与x轴重合. 2.(1)可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点. (2)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.,【训练3】 已知函数f(x)excos xx.,解 (1)f(x)excos xx，f(0)1， f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0， yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为y10(x0)，即y1.,(2)f(x)ex(c

12、os xsin x)1，令g(x)f(x)，,g(x)g(0)0，f(x)0且仅在x0处等号成立，,令f(x)0，即x2ax10，其中a24. 当a240时，即2a2时，x2ax10恒成立. f(x)0，则f(x)在(0，)上递增，函数无极值点.,若a2，则x10， 当x(x1，x2)时，f(x)0， 故x1是f(x)的极大值点，x2是f(x)的极小值点. 综上：当a2时，f(x)有两个极值点， 当a2时，f(x)无极值点.,当x(0，1)时，ex(x1)ln xx210， 即h(x)0，h(x)单调递增. 因此x1为h(x)的极小值点，即h(x)h(1)e1，故ae1.,探究提高 1.求函数

13、f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右附近函数值的符号. 2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解.,【训练4】 已知函数f(x)ax1ln x(aR).,(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数； (2)若函数f(x)在x1处取得极值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的最大值.,当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递减. f(x)在(0，)上没有极值点.,综上，当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点； 当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点. (2)函数f(x)在x1

14、处取得极值， f(1)a10，则a1，从而f(x)x1ln x.,则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，,1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“”连接，而只能用逗号或“和”字隔开. 2.可导函数在闭区间a，b上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值.,3.可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x0)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.,4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论. 5.求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维直接求函数的极值或最值；也有逆向思维已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想.,