2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲抛物线讲义理（含解析）.doc

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1、1第 7 讲 抛物线考纲解读 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)(重点)2.能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容预测 2020 年高考将会考查：抛物线的定义及其应用；抛物线的几何性质；直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度试题中等偏难.1抛物线的定义平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛

2、物线的 焦点，直线 l 叫做抛物线的 准线01 02 2抛物线的标准方程与几何性质23必记结论(1)抛物线 y22 px(p0)上一点 P(x0， y0)到焦点 F 的距离| PF| x0 ，也称为(p2， 0) p2抛物线的焦半径(2)y2 ax(a0)的焦点坐标为 ，准线方程为 x .(a4， 0) a4(3)直线 AB 过抛物线 y22 px(p0)的焦点，交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，如图3 y1y2 p2， x1x2 .p24| AB| x1 x2 p， x1 x22 p，即当 x1 x2时，弦长最短为 2p.x1x2 为定值 .1|AF| 1|BF| 2

3、p弦长 AB ( 为 AB 的倾斜角)2psin2以 AB 为直径的圆与准线相切焦点 F 对 A， B 在准线上射影的张角为 90.1概念辨析(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( )(2)方程 y ax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 ，(a4， 0)准线方程是 x .( )a4(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x22 ay(a0)的通径长为 2a.( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)若抛物线

4、 y4 x2上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( )A. B. 1716 1516C. D078答案 B解析 M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准线方程为 y ，设 M(x， y)，则116y 1， y .116 1516(2)已知抛物线 C 与双曲线 x2 y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程是( )A y22 x B y22 x2C y24 x D y24 x2答案 D解析 双曲线 x2 y21 的焦点坐标为( ，0)，2抛物线 C 的焦点坐标为( ，0)24设抛物线 C 的方程为 y22 px(p0)，则 .p2 2 p2 ，抛物线 C 的

5、方程是 y24 x.故选 D.2 2(3)若过抛物线 y28 x 的焦点作倾斜角为 45的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A8 B16 C32 D64答案 B解析 由抛物线 y28 x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为 y x2，代入 y28 x，得(x2) 28 x，即 x212 x40，所以 x1 x212，弦长为 x1 x2 p12416.故选 B.(4)抛物线 8x2 y0 的焦点坐标为_答案 (0， 132)解析 由 8x2 y0，得 x2 y.182 p ， p ，焦点坐标为 .18 116 (0， 132)题型 抛物线的定义及应用一(2016浙江高考)若抛物线 y24 x 上

6、的点 M 到焦点 F 的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_答案 9解析 设 M(x0， y0)，由抛物线的方程知焦点 F(1,0)根据抛物线的定义得|MF| x0110， x09，即点 M 到 y 轴的距离为 9.条件探究 1 将举例说明条件变为“过该抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点，若| AF|3” ，求 AOB 的面积解 焦点 F(1,0)，设 A， B 分别在第一、四象限，则点 A 到准线 l： x1 的距离为3，得点 A 的横坐标为 2，纵坐标为 2 ， AB 的方程为 y2 (x1)，与抛物线方程联立可2 2得 2x25 x20，所以点 B 的横坐标为 ，纵坐

7、标为 ，所以 S AOB 1(2 )12 2 12 2 2 .322条件探究 2 将举例说明条件变为“在抛物线上找一点 M，使| MA| MF|最小，其中A(3,2)”求点 M 的坐标及此时的最小值5解 如图，点 A 在抛物线 y24 x 的内部，由抛物线的定义可知，|MA| MF| MA| MH|，其中| MH|为点 M 到抛物线的准线的距离过 A 作抛物线准线的垂线交抛物线于 M1，垂足为 B，则| MA| MF| MA| MH| AB|4，当且仅当点 M 在 M1的位置时等号成立此时点 M 的坐标为(1,2)利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点

8、、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 1过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 作直线 l，交抛物线于 A， B 两点，且点 A 在第一象限，| AF|3| BF|，则直线 l 的斜率为( )A. B. 33 32C. D33答案 C解析 设抛物线的准线交 x 轴于 F，分别过 A， B 作准线的垂线，垂足分别为A， B，直线 l 交准线于 C，如图所示：6则|AA| AF|，| BB| BF|，| AF|3|

9、BF|，| AN|2| BF|，| AB|4| BF|，cos NAB12， NAB60，则直线 l 的斜率为 .32已知点 P 是抛物线 y22 x 上的一个动点，则点 P 到点 A(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B3 172C. D.592答案 A解析 如图所示， A(0,2)， F ，由抛物线的定义知(12， 0)|PP| PF|，| AP| PP| AP| PF| AF| .故选 A.14 4 172题型 抛物线的标准方程和几何性质二1顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(4，2)的抛物线的标准方程是( )7A y2 x B x28 yC y28

10、 x 或 x2 y D y2 x 或 x28 y答案 D解析 设抛物线为 y2 mx，代入点 P(4，2)，解得 m1，则抛物线方程为y2 x；设抛物线为 x2 ny，代入点 P(4，2)，解得 n8，则抛物线方程为x28 y.2已知抛物线 x22 py(p0)的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，若 FPM 为边长是 4 的等边三角形，则此抛物线的方程为_答案 x24 y解析 FPM 为等边三角形，则| PM| PF|，由抛物线的定义得 PM 垂直于抛物线的准线，设 P ，则点 M ，因为焦点 F ， FPM 是等边三角形，(m，m22p) (m， p2) (0，

11、 p2)所以Error! 解得Error!所以抛物线方程为 x24 y.1求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数 2p 的关系(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为 y2 mx或 x2 my(m0)2抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算 1已知双曲线 C1： 1( a0， b0)的离心率为 2.若抛物线 C2： x22 py(p0)的x2a2 y2b2焦点到双

12、曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为( )A x2 y B x2 y833 1633C x28 y D x216 y答案 D解析 双曲线的离心率 e 2，所以 ，双曲线 1 的渐近线方ca 1 b2a2 ba 3 x2a2 y2b2程为 y x 即 y x，抛物线的焦点为 ，焦点到渐近线的距离ba 3 (0， p2)8d 2，所以 p8，所以抛物线 C2的方程为 x216 y.|p2|1 3 2 p42(2018枣庄二模)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点已知抛物线 y2

13、4 x 的焦点为 F，一平行于 x 轴的光线从点 M(3,1)射出，经过抛物线上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则直线 AB 的斜率为( )A. B C D43 43 43 169答案 B解析 令 y1，代入 y24 x 可得 x ，即 A .由抛物线的光学性质可知，直线14 (14， 1)AB 经过焦点 F(1,0)，所以 k .故选 B.1 014 1 43题型 直线与抛物线的综合问题三角度 1 直线与抛物线的交点问题1(2018北京高考)已知直线 l 过点(1,0)且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 y24 ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_答案 (1,0

14、)解析 由已知，直线 l： x1，又因为 l 被抛物线截得的线段长为 4，抛物线的图象关于 x 轴对称，所以点(1,2)在抛物线上，即 224 a1，解得 a1.故抛物线的方程为y24 x，焦点坐标为(1,0)2(2018长郡中学新高三实验班选拔考试)已知抛物线 C： x22 py(p0)及点 D，动直线 l： y kx1 与抛物线 C 交于 A， B 两点，若直线 AD 与 BD 的倾斜角分别(0， p2)为 ， ，且 .9(1)求抛物线 C 的方程；(2)若 H 为抛物线 C 上不与原点 O 重合的一点，点 N 是线段 OH 上与点 O， H 不重合的任意一点，过点 N 作 x 轴的垂线依

15、次交抛物线 C 和 x 轴于点 P， M，求证：|MN|ON| MP|OH|.解 (1)把 y kx1 代入 x22 py 得 x22 pkx2 p0，设 A ， B ，则 x1 x22 pk， x1x22 p.(x1，x212p) (x2， x22p)由 可知，直线 AD 的斜率与直线 BD 的斜率之和为零，所以 0，x212p p2x1x22p p2x2去分母整理得( x1 x2)(x1x2 p2)0，即 2pk(p22 p)0，由该式对任意实数 k 恒成立，可得 p2，所以抛物线 C 的方程为x24 y.(2)证明：设过点 N 的垂线方程为 x t(t0)，由Error! 得Error!

16、即点 P .(t，t24)令 ，则 N ，|MN|MP| (t， t24 )所以直线 ON 的方程为 y x， t4由Error! 且 x0 得Error! 即点 H ，( t， 2t24 )所以 ，所以 ，|OH|ON| xHxN tt |MN|MP| |OH|ON|即| MN|ON| MP|OH|.角度 2 与抛物线弦中点有关的问题3(2018郑州模拟)已知抛物线 C： y mx2(m0)，焦点为 F，直线 2x y20 交抛物线 C 于 A， B 两点， P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q.(1)求抛物线 C 的焦点坐标；(2)若抛物线 C 上有一点

17、 R(xR,2)到焦点 F 的距离为 3，求此时 m 的值；(3)是否存在实数 m，使 ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由解 (1)抛物线 C： x2 y，它的焦点 F .1m (0， 14m)(2)| RF| yR ，2 3，得 m .14m 14m 14(3)存在，联立方程Error!消去 y 得 mx22 x20，依题意，有 (2) 24 m(2)0 m .1210设 A(x1， mx )， B(x2， mx )，则Error!(*)21 2 P 是线段 AB 的中点， P ，即 P ，(x1 x22 ， mx21 mx22 ) (1m

18、， yP) Q .(1m， 1m)得 ， ，QA (x1 1m， mx21 1m) QB (x2 1m， mx2 1m)若存在实数 m，使 ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形，则 0，QA QB 即 0，(x11m) (x2 1m) (mx21 1m)(mx2 1m)结合(*)化简得 40，4m2 6m即 2m23 m20， m2 或 m ，12而 2 ， .(12， ) 12( 12， )存在实数 m2，使 ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形1直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量

19、法解决2解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求” “整体代入”等解法提醒：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程，见巩固迁移 2. 1已知直线 l 与抛物线 y24 x 交于 A， B 两点，且 l 经过抛物线的焦点 F， A 点的坐标为(4,4)，则线段 AB 的中点到准线的距离是_答案 258解析 抛物线 y24 x 的焦点 F 的坐标为(1,0)，准线方程为

20、x1，所以 kAF 4 04 1.4311所以直线 l 的方程为 y0 (x1)，43即 y (x1)43由Error! 消去 y，整理得 4x217 x40，所以线段 AB 的中点的横坐标为 .178所以线段 AB 的中点到准线的距离是 (1) .178 2582(2018衡水模拟)已知抛物线 C： y2 ax(a0)上一点 P 到焦点 F 的距离为 2t.(t，12)(1)求抛物线 C 的方程；(2)抛物线上一点 A 的纵坐标为 1，过点 Q(3，1)的直线与抛物线 C 交于 M， N 两个不同的点(均与点 A 不重合)，设直线 AM， AN 的斜率分别为 k1， k2，求证： k1k2为

21、定值解 (1)由抛物线的定义可知| PF| t 2 t，则 a4 t，由点 P 在抛物线上，a4 (t， 12)则 at .14所以 a ，则 a21，a4 14由 a0，则 a1，故抛物线的方程为 y2 x.(2)证明：因为 A 点在抛物线上，且 yA1.所以 xA1，所以 A(1,1)，设过点Q(3，1)的直线 l 的方程为 x3 m(y1)即 x my m3，代入 y2 x 得y2 my m30.设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 y1 y2 m， y1y2 m3，所以 k1k2 y1 1x1 1 y2 1x2 1y1y2 y1 y2 1m2y1y2 m m 2 y1 y2 m 2 2 ， m 3 m 1m2 m 3 m m 2 m m 2 2 12为定值12