2019高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法课件新人教A版选修1_2.ppt

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1、2.2.1 综合法和分析法,1.综合法,2.分析法,【做一做1】 下列表述:综合法是由因导果法;综合法是顺推法;分析法是执果索因法;分析法是间接证明法;分析法是逆推法.其中正确的表述有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解析:结合综合法和分析法的定义可知均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故不正确. 答案:C 【做一做2】 要证明 ,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是( ) A.综合法 B.分析法 C.类比法 D.归纳法 解析:因为我们很难想到从“2125”入手,所以用综合法证明比较困难,最合理的是分析法,故选B. 答案:B,3.综合法和分析法的综合应用 (1)在解决问题时,

2、我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,即可证明结论成立. (2)用P表示已知条件、定义、定理、公理等,用Q表示要证明的结论,则上述过程可用框图表示为: PP1P1P2PnP QQmQ2Q1Q1Q,名师点拨综合法和分析法的区别与联系 区别:,联系:分析法便于我们去寻找证明思路,综合法便于证明过程的叙述,两种方法各有所长,因而在解决问题时,常先用分析法寻求解题思路,再用综合法有条理地表达证明过程,两种方法结合运用效果会更好.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,

3、错误的打“”. (1)综合法的证明过程是合情推理的过程. ( ) (2)分析法的证明过程是演绎推理的过程. ( ) (3)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其推理过程实际上是逐步寻求使结论成立的充分条件. ( ) (4)综合法的特点是从“已知”看“未知”,其推理过程实际上是逐步寻求已知条件的必要条件. ( ) (5)分析法与综合法证明同一个问题时,一般思路相反,过程相逆. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,规范解答,综合法的应用 【例1】 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin

4、 C+cos 2B=1.求证:a,b,c成等差数列. 思路分析:从已知条件中的等式出发,寻求sin A,sin B,sin C之间的关系,然后结合正弦定理证明结论. 证明:因为sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1, 所以sin B(sin A+sin C)+(cos 2B-1)=0, 即sin B(sin A+sin C)-2sin2B=0, 所以sin B(sin A+sin C-2sin B)=0, 由于在ABC中,sin B0, 因此sin A+sin C-2sin B=0, 由正弦定理可得 , 于是a+c=2b,故a,b,c成等差数列.,探究一,探究二,探究三,

5、规范解答,反思感悟1.综合法的证明步骤 (1)分析条件,选择方向:确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、定理、公理等; (2)转化条件,组织过程:将条件合理转化,书写出严密的证明过程. 2.综合法的适用范围 (1)定义明确的题型,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式问题等; (2)已知条件明确,且容易寻求已知条件的必要条件获得结论的题型. 3.在利用综合法证明不等式的过程中,要注意不等式性质以及基本不等式的应用,在利用综合法证明三角恒等式的过程中,要注意三角函数基本公式和正余弦定理的应用.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练1已知a,b,c是不全相等的正数,求证

6、: a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc. 证明:因为a,b,c是正数,所以b2+c22bc, 所以a(b2+c2)2abc. 同理可得b(c2+a2)2abc, c(a2+b2)2abc. 又因为a,b,c不全相等,所以三式中不能同时取到“=”, 故三式相加得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.,探究一,探究二,探究三,规范解答,分析法的应用 【例2】 已知函数f(x)=x2-2x+2,若mn1,求证:,思路分析:已知条件较少,且很难和要证明的不等式直接联系起来,故可考虑从要证明的不等式出发,采用分析法证明.,即证2m2+2n2m2+2mn+

7、n2, 只需证m2+n22mn, 即证(m-n)20, 因为mn1,所以(m-n)20显然成立, 故原不等式成立.,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟分析法的证明过程、书写形式及适用范围 (1)证明过程:确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理、公理对结论进行转化,直到获得一个明显成立的条件即可. (2)书写形式:要证,只需证,即证,然后得到一个明显成立的条件,所以结论成立. (3)适用范围:已知条件不明确,或已知条件较少而结论式子较复杂的问题.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练2如图,SA平面ABC,ABBC,过点A作SB的垂线,垂足为E,过点E作SC的垂线,垂足

8、为F.求证:AFSC. 证明:已知EFSC,要证AFSC, 只需证SC平面AEF, 只需证AESC, 而AESB,故只需证AE平面SBC, 只需证AEBC, 而ABBC,故只需证BC平面SAB,只需证BCSA, 由SA平面ABC,可知SABC,即上式显然成立, 所以AFSC成立.,探究一,探究二,探究三,规范解答,综合法与分析法的综合应用 【例3】已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且三个内角A,B,C构成等差数列.求证: 思路分析:本题条件较为简单,但结论中的等式较为复杂,故可首先用分析法,将要证明的等式进行转化,转化为一个较为简单的式子,然后再从已知条件入手,结合余弦定

9、理,推导出这个式子,即可得证.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟1.有些数学问题的证明,需要把综合法与分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立,这种边分析边综合的证明方法,称为分析综合法,或者称“两头凑法”. 2.在证明过程中,分析法能够发现证明的思路,但解题的表述过程较为繁琐,而综合法表述证明过程则显得简洁,因此在实际解题过程中,常常将分析法和综合法结合起来运用,先利用分析法探求得到解题思路,再利用综合法有条理地表述解题过程.,探究一,探

10、究二,探究三,规范解答,变式训练3设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项,证明: .,探究一,探究二,探究三,规范解答,分析法的证明过程及步骤 【典例】 设函数f(x)=ax2+bx+c(a0),若函数y=f(x+1)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,求证: 为偶函数. 审题策略:由于已知条件较为复杂,且不易与要证明的结论联系,故可从要证明的结论出发,利用分析法,从函数图象的对称轴找到证明的突破口.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,答题模板第1步:将证明函数为偶函数的问题转化为证明其对称轴为y轴的问题. 第2步:将对称轴用

11、系数a,b表示,从而得到系数a,b应满足的条件. 第3步:将已知条件中对称轴满足的条件用系数a,b表示,得到系数a,b之间的关系. 第4步:对照第2步中的条件,由分析法证明问题得证. 第5步:结论成立.,探究一,探究二,探究三,规范解答,失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下: (1)不能将所要证明的问题转化为对称轴的问题; (2)不能将对称轴正确地用系数a,b表示; (3)不能将已知中的条件转化为a,b之间的关系式; (4)证明过程中的文字叙述不规范.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,1.用分析法证明:要使AB,只需使C0,sin A=1,又A(0,),A= , ABC是直角三角形,故选C. 答案:C,3.命题“函数f(x)=x-xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)=x-xln x求导,得f(x)=-ln x,当x(0,1)时,f(x)=-ln x0,故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”,应用了 的证明方法. 解析:本命题的证明,利用题设条件和导数与函数单调性的关系,经推理论证得到了结论,所以应用的是综合法的证明方法. 答案:综合法,