陕西省周至县高中数学第一章推理与证明1.4数学归纳法（1）教案北师大版选修2_2.doc

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1、1数学归纳法(第一课时)【教学目标】知识与技能：（1）初步理解数学归纳法的原理；（2）掌握用数学归纳法证明数学命题的两个步骤；（3）会用数学证明一些与正整数相关的简单恒等式。过程与方法亲历知识的构建过程-发现问题、提出问题、分析问题、解决问题；体会类比的数学思想；感受无限的问题用有限的步骤来解决的思想方法。情感目标体会数学源于实际，高于实际的科学价值与文化价值；培养学生大胆猜想，小心求证的思维素质和科学精神；通过发现问题、提出问题、解决问题、合作交流等环节培养数学交流能力和合作精神。【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式，特别

2、要注意递推步骤中归纳假设的运用。【教学难点】（1）理解数学归纳法整体的严密性和有效性。（2）递推步骤中如何利用归纳假设，即如何利用假设证明当 n=k+1 时结论正确。【教学过程设计】教学环 节教学内容 设计意图提出问题，激发兴趣 情境 1 如何证明盒中的球都是黄色的？（逐一验证）情境 2 数列an,已知)(1,1 Nnaan，猜想其通项公式.从提出问题，到分析问题、解决问题，感受数学自然发生、发展的过程。从实例中感受数学归纳法产生的必要性，我们需要将无限步骤的问题转化为有限2情境 2 中的猜想无法逐一验证，则提出问题：如何证明这类有关正整数的命题呢？步骤来解决。创设情境，启动思维1. 多媒体演

3、示一排自行车的图片和多米诺骨牌游戏的视频。引导学生探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：（1）第一块要倒下;（2）当前面一块倒下时，后面一块必须被第一块砸倒;强调条件（2）的作用：是一种递推关系（第 k 块倒下，使第 k+1 块倒下） 。类比联想，形成概念(引导学生分组讨论后，由小组代表归纳)证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下(1) 证明当 n 取第一个值 0时结论正确；（归纳奠基）(2) 假设当 n k (k *N， k 0n) 时结论正确, 证明当 n k1 时结论也正确 （归纳递推）完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从 0开始的所有正整数 n 都正确这种证明方法叫做数学归纳法播放视频活

4、跃课堂氛围，激发学生的兴趣。通过对生活实例的分析，使抽象的原理寓于简单的事例当中，通俗易懂，为深刻理解数学归纳法原理打好基础。通过探讨骨牌全部倒下的条件，为类比得出数学归纳法做铺垫 。培养学生合作交流和归纳抽象的能力。辩证说理，理解升华思考：为什么这两个步骤可以证明原命题对所有正整数 n 成立？让学生对以上逻辑推理进行充分置疑师生共同师生共同探讨数学归纳法的原理，理解他的严密性、合理性。从而由感性认识上升为理性认识。3探讨数学归纳法的合理性。实例分析，具体应用 试用数学归纳法证明问题 2 的猜想。体现“归纳-猜想-证明”的整个过程，教师可通过投影，纠正学生在证明过程中暴露出来的问题，最后板演证

5、明过程，帮助学生规范步骤。【慧眼识对错】1.下面的证明过程有没错？ .)()12531-,()2 )12(53- 53-)12531-22成 立（式 所 以 等时 命 题 也 成 立所 以 当 （那 么 ，（ 时 命 题 成 立 ， 即证 明 ： 假 设 当都 成 立 吗 ？ 对 任 意 的 正 整 数（） 等 式（ Nnkkknn(缺少归纳奠基) . 12)531.-:2对 一 切 正 整 数 都 成 立 （右 边 ， 所 以 等 式所 以 左 边 ， 右 边时 ， 左 边当分 析 吗 ？对 任 意 的 正 整 数 都 成 立（） 等 式（ nn(3)分析下列证明的过程是否正确？用数学归纳法

6、证明： )1221n13 N（其中第二步的过程如下：设 n=k 时等式成立，即 k1321 则当 n=k+1 时，有 1212k1321 k即 n=k+1 时等式也成立。（没用归纳假设）如果缺少归纳奠基或归纳递推，那么即使是错误的结论也能验证。让学生认识到数学归纳法的两个步骤缺一不可。学生易错点和理解上的难点，通过此题与多米诺骨牌的实例进行类比，让学生认识到：步骤（2）中必须用到归纳假设。4反馈练习，深化认识练习用数学归纳法证明 6)12(3212nn证明：（1）当 n=1 时，左边 ，右边 6)1()，等式成立。（2）假设当 n=k 时，等式成立，即 6)12(3212kk则当 n=k+1

7、时，左边= 22321)(2)1(667)1()2()16kkkk=右边由（1） 、 （2）可知， n *N时，等式成立。学生自主练习，个别同学板演 ,对出现的问题畅所欲言,最后由教师总结反馈，充分暴露学生的思维盲区,检验本节课难点是否突破。总结归纳，提炼思想学完本节课，你有哪些收获？知识上：数学归纳法：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。方法上：类比，归纳-猜想-证明其他：数学源于生活；严谨的科学精神锻炼学生归纳总结的能力，巩固学习效果，加深理解和记忆，激发成就感，体味探索的艰辛和成功的快乐。布置作业，及选做：平面内有 n 条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，设 f(n)为 n 条直线的交点个数，巩固本节课的学习效果，让不同层次的学生都学有即当n=k+1时等式也成立。5时检测求证：)1(2)(nf 所获，为下节课的内容作铺垫。附：板书设计4 数学归纳法引例 1数学归纳法 练习：（学生展示）小结