（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习课时102.8函数与方程课件.pptx

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1、 2.8 函数与方程,1.函数零点的定义,教材研读,2.函数零点的判定(零点存在性定理),3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,4.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)零点的分布,考点突破,考点一 函数零点所在区间的判断,考点二 函数零点个数的判断,考点三 函数零点应用,1.函数零点的定义 (1)对于函数y=f(x),把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与 x轴 有交点函数y=f (x)有 零点 .,教材研读,2.函数零点的判定(零点存在性定理) 一般地,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象

2、是连续不断的一条曲线,并 且有 f(a)f(b)0 ,那么函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点,即存 在c(a,b),使得 f(c)=0 ,这个 c 也就是方程f(x)=0的根.我们 把这一结论称为零点存在性定理.,3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,4.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)零点的分布,说明 f(x)在(m,n)上一定只有一个零点,除了“f(m)f(n)0”这个情形以外,还得考虑三种可能的特殊情况(这里是说可能,而不是一定):(1)=0;(2)f(m)=0;(3)f(n)=0.对这三种情况的处理办法:先依上述条件求出参数,然后求出具体零点,

3、再检验是否符合题意,决定取舍.,1.函数f(x)在0,4上的图象是连续不断的曲线,则函数f(x)在(0,4)上有且 仅有一个零点是 f(0)f(4)0的 ( D ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件,2.设函数f(x)=log3 -a在区间(1,2)内有零点,则实数a的取值范围是 ( C ) A.(-1,-log32) B.(0,log32) C.(log32,1) D.(1,log34),3.若关于x的方程 =kx+2只有一个实数根,则k的取值范围是 ( D ) A.k=0 B.k=0或k1 C.k1或k1或k-1,4.若方程|x2+4x|=m有

4、实数根,则所有实数根的和可能是 ( D ) A.-2,-4,-6 B.-4,-5,-6 C.-3,-4,-5 D.-4,-6,-8,解析 函数y=|x2+4x|的图象如图所示.易知函数y=|x2+4x|的图象关于直线x=-2对称. 当m0时,方程|x2+4x|=m无实根;,当m=0或m4时,方程|x2+4x|=m有两个实根,它们的和为-4; 当0m4时,方程|x2+4x|=m有四个实根,它们的和为-8; 当m=4时,方程|x2+4x|=m有三个实根,它们的和为-6.,函数零点所在区间的判断 典例1 (1)已知函数f(x)=ln x- 的零点为x0,则x0所在的区间是 ( C ) A.(0,1)

5、 B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) (2)若x0是方程 = 的解,则x0属于区间 ( C ) A. B.,C. D.,考点突破,解析 (1)易知f(x)=ln x- 在(0,+)上是增函数,又f(1)=ln 1- =ln 1-20,x0(2,3),故选C. (2)令g(x)= , f(x)= , 则g(0)=1f(0)=0,g = f = ,所以由图象关系可得 x0 .,方法技巧 判断函数零点所在区间的三种常用方法 (1)方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落 在给定区间上. (2)定义法:利用零点存在性定理,首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图

6、象是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (3)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.,1-1 函数f(x)=ln x- 的零点所在的区间是 ( B ) A.(1,2) B.(2,3) C. 和(3,4) D.(e,+),解析 易知f(x)为增函数,由f(2)=ln 2-10,得f(2)f(3)0.故 选B.,典例2 已知函数f(x)=|ln x|,g(x)= 则方程|f(x)-g(x)|=2的实 根个数为( D ) A.1 B.2 C. 3 D.4,函数零点个数的判断,解析 |f(x)-g(x)|=2等价于f

7、(x)=g(x)2.由函数与方程的关系知,方程|f (x)-g(x)|=2的实根个数等价于函数y=f(x)和y=g(x)+2的图象的公共点个 数与函数y=f(x)和函数y=g(x)-2的图象的公共点个数之和. 在同一坐标系中作出函数y=f(x),y=g(x)+2和y=g(x)-2的图 象(如图所示),由图象可知,共有4个公共点,所以方程|f(x)- g(x)|=2有4个实根,故选D.,方法指导 函数零点个数的判断方法 (1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数图象在区间a,b上是 连续不断的曲线,且f(a)f(b)0

8、,还必须结合函数的图象与性质(如单调 性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点. (3)数形结合法:将原问题转化为求两个函数的图象的交点个数问题.先 画出两个函数的图象,再看其交点的个数,交点的个数就是函数零点的个数.,2-1 (2019效实中学月考)已知定义在R上的奇函数 f(x)满足f(x+3)+f(x) +f(2)=0,则y=f(x)在-3,3上的零点至少有 ( D ) A.1个 B.3个 C.5个 D.7个,解析 因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.因为f(x+3)+f(x)+f(2)=0,所以f (x+6)+f(x+3)+f(2)=0,所以f(x+6)=f(x)

9、,令x=-3,得f(-3)=f(3),又f(-3)=-f(3),故 f(3)=f(-3)=0.在f(x+3)+f(x)+f(2)=0中,取x=- ,则f +f +f(2)=0,所以f (2)=0,故f(-2)=0,再取x=-2,则f(1)+f(-2)+f(2)=0,所以f(1)=0,故f(-1)=0.综上,- 3,-2,-1,0,1,2,3都是y=f(x)的零点,所以y=f(x)在-3,3上的零点至少有7个, 故选D.,典例3 (2019浙江台州模拟)已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2 的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是 ( A ) A

10、.f(a)f(1)f(b) B.f(a)f(b)f(1) C.f(1)f(a)f(b) D.f(b)f(1)f(a),函数零点应用 命题方向一 利用函数零点比较大小,解析 由题意,知f (x)=ex+10恒成立,所以函数f(x)在R上是单调递增的, 而f(0)=e0+0-2=-10,所以函数f(x)的零点a(0,1);,由题意,知g(x)= +10,所以函数g(x)在(0,+)上是单调递增的,又g(1)= ln 1+1-2=-10,所以函数g(x)的零点b(1,2). 综上,可得0a1b2.因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)f(1)f(b). 故选A.,典例4 (2017浙江模拟)已

11、知函数f(x)满足f(x)=3f ,当x1,4时, f(x)= ln x,若在区间 内,函数g(x)=f(x)-mx有三个不同的零点,则实数m的取 值范围是 ( A ) A. B. C. D.,命题方向二 利用函数零点求参数的取值范围,解析 当 x1时,有1 4, 则f(x)=3f =3ln =-3ln x. f(x)= 令f(x)-mx=0,得m=,设h(x)= 当1x4时,h(x)= , 则h(x)在区间1,e)上为增函数,在区间e,4上为减函数. 当 x1时,h(x)= 0, 则h(x)在区间 上为减函数,作出函数y=h(x)的图象(图略),易求得h =12ln 4,h(1)=0,h(e

12、)= ,h(4)= 0,故要使函数g(x)=f(x)-mx有三个不同的零点,则 m .,方法指导 已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不 等式(组)确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的 图象,然后数形结合求解.,典例5 (1)(2017浙江镇海中学模拟)已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,h(x) =sin x+x的零点依次为x1,x2,x3,则下列正确的是 ( B ) A.x1x2x3

13、B.x1x3x2 C.x3x1x2 D.x2x3x1 (2)已知函数f(x)= g(x)= 则函数 fg(x)的所有零 点之和是 ( B ) A.- + B. +,命题方向三 函数零点性质,C.-1+ D.1+,解析 (1)易知三个函数都为单调递增函数,所以各自最多仅有一个零 点,显然x3=0.f(0)=1, f(-1)=- ,由零点存在性定理知,-1x10.同理x2,所以x1x3x2,故选B. (2)令t=g(x),fg(x)=0,f(t)=0. f(x)= t=2或t=-2. 若g(x)=2,则x=1+ ;,若g(x)=-2,则x=- . 函数fg(x)的所有零点之和是1+ - = + .

14、故选B.,方法提示 解决函数零点性质的问题,主要综合运用函数性质、零点存在性定理, 必要时需要正确求解方程的根.,同类练1 设函数f(x)=x2-x-1,若方程f(f(x)=t恰有三个根,则t= .,解析 令m=f(x),则原方程为f(m)=t. 设f(m)=t的两根分别为m1,m2(m1m2), 则必有m1=f =- ,即t=f(m1)=f ,得t= .,同类练2 (2017福建漳州八校联考)已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值范围是 .,解析 令g(x)=f(x)-m=0,得f(x)=m,则函数g(x)=f(x)-m有三个零点等价于 函数f(x)与y=

15、m的图象有三个不同的交点,作出函数f(x)的图象如图:当x0时, f(x)=x2+x= - - ,若函数f(x)与y=m的图象有三个不同,的交点,则- m0,即实数m的取值范围是 .,变式练 (2019天津模拟)已知函数f(x)= (a0,且 a1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数 解,则a的取值范围是 ( C ) A. B. C. D. ,解析 要使函数f(x)在R上单调递减,只需 解得 a ,因为 方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解, 所以直线y=2-x与函数y=|f(x)|的 图象有两个交点.如图所示.,易知y=|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为 -1,又 -12,故由图可 知,直线y=2-x与y=|f(x)|的图象在x0时有一个交点;当直线y=2-x与y=x2+ (4a-3)x+3a(x0)的图象相切时,设切点为(x0,y0),则 整理可得4a2-7a+3=0,解得a=1(舍)或a= .而当3 a2,即a 时,直线y=2-x与y=|f(x)|的图象在y轴左侧有一个交点,综上 可得a .,