2019届高考数学二轮复习第二篇考点三立体几何考查角度2立体几何中的翻折问题与探索性问题突破训练文.docx

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1、1考查角度 2 立体几何中的翻折问题与探索性问题分类透析一 翻折问题例 1 如图,在边长为 4的菱形 ABCD中, DAB=60,点 E,F分别是边 CD,CB的中点,AC EF=O,以 EF为折痕将 CEF折起,使点 C运动到点 P的位置,连接 PA,PB,PD,得到如图所示的五棱锥 P-ABFED,且 PB= .10(1)求证: BD PA.(2)求四棱锥 P-BFED的体积 .分析 (1)抓住 EF与 BD的平行关系,结合菱形的性质,利用翻折前后的垂直关系可证EF平面 PAO,问题得以解决;(2)分别计算 PO的长度和四边形 BFED的面积,再利用公式计算体积 .解析 (1) 点 E,F

2、分别是边 CD,CB的中点,BD EF. 菱形 ABCD的对角线互相垂直,BD AC,EF AC,EF AO,EF PO.AO 平面 POA,PO平面 POA,AO PO=O,EF 平面 POA,BD 平面 POA,BD PA.(2)设 AO BD=H,连接 BO, DAB=60, ABD为等边三角形, BD= 4,BH=2,HA=2 ,HO=PO= .3 3 在 Rt BHO中, BO= = .BH2+HO2 72 在 PBO中, BO2+PO2=10=PB2,PO BO.又 PO EF,EF BO=O,EF平面 BFED,BO平面 BFED,PO 平面 BFED. 梯形 BFED的面积 S

3、= (EF+BD)HO=3 ,12 3 四棱锥 P-BFED的体积 V= SPO= 3 =3.13 13 3 3方法技巧 1.画好两个图 翻折前的平面图和翻折后的立体图;2 .分析好两个关系翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了改变,哪些没有改变 .一般地,在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的,在两个半平面内的几何元素之间的关系是变化的,分别位于两个半平面内但垂直于翻折棱的直线翻折后仍然垂直于翻折棱 .分类透析二 空间线面关系的探索性问题例 2 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1的各棱长均为 2,AA1平面 ABC,E,F分别为棱 A1B1,BC的中点 .(1)求证:直线 BE平面 A1

4、FC1.(2)若平面 A1FC1与直线 AB交于点 M,请指出点 M的位置,说明理由,并求三棱锥 B-EFM的体积 .分析 (1)取 A1C1的中点 G,连接 EG,FG,利用线线平行得到线面平行;(2)采用分析法进行求解 .解析 (1)取 A1C1的中点 G,连接 EG,FG,则 EG B1C1,12又 BF B1C1,所以 BF EG.12所以四边形 BFGE是平行四边形,所以 BE FG.而 BE平面 A1FC1,FG平面 A1FC1,所以直线 BE平面 A1FC1.3(2)M为棱 AB的中点 .理由如下:因为 AC A1C1,AC平面 A1FC1,A1C1平面 A1FC1,所以直线 A

5、C平面 A1FC1.又平面 A1FC1平面 ABC=FM,所以 AC FM.又 F为棱 BC的中点,所以 M为棱 AB的中点 .所以 S BFM= S ABC= 22sin 60= ,14 14 12 34所以 VB-EFM=VE-BFM= 2= .13 34 36方法技巧 探索性问题的处理思路:先假设存在,再通过推理,进行验证 .探索空间中的线面平行与垂直关系,可以利用空间线面关系的判定与性质定理进行推理探索 .分类透析三 条件追溯型例 3 如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面 ABC是等边三角形,且 AA1底面 ABC,M为AA1的中点,点 N在线段 AB上,且 AN=2NB,点

6、P在线段 CC1上 .(1)证明:平面 BMC1平面 BCC1B1.(2)当 为何值时, PN平面 BMC1?CPPC1分析 (1)取 BC1的中点 O,BC的中点 Q,连接 MO,OQ得 MO AQ.由 AQ平面 BCC1B1得MO平面 BCC1B1,再利用线面垂直得到面面垂直 .(2)采用分析法求解 .解析 (1)设 BC1的中点为 O,BC的中点为 Q,连接 MO,OQ,AQ,则 OQ CC1 AM,12 四边形 AQOM是平行四边形,AQ MO.AA 1 CC1,AA1平面 ABC,4CC 1平面 ABC.AQ 平面 ABC,CC 1 AQ.又 AB=AC ,AQ BC.CC 1平面

7、BCC1B1,BC平面 BCC1B1,BC CC1=C,AQ 平面 BCC1B1,MO 平面 BCC1B1.MO 平面 BMC1, 平面 BMC1平面 BCC1B1.(2)取 AE=2EM,则 NE BM.NE 平面 BMC1,BM平面 BMC1,NE 平面 BMC1.若 PN平面 BMC1,则平面 NEP平面 BMC1.EP 平面 NEP,EP 平面 BMC1. 平面 BMC1平面 AA1C1C=MC1,EP MC1.又 EM PC1, 四边形 EMC1P是平行四边形,PC 1=EM= AM= AA1= CC1,13 16 16 当 =5时, PN平面 BMC1.CPPC1方法技巧 以空间几

8、何体为背景的探索存在性问题,涉及的点具有运动性和不确定性,比较简单的探索可以先猜后证,利用传统方法解决 .若用向量法处理,可以避免繁杂的画图、推理及验证过程,只需通过坐标运算进行判断,在解题过程中,往往把“是否存在问题”转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围的解问题”等,问题的解决简单、有效,且解法固定,操作方便 .51.(2018年全国 卷,文 18改编)如图,在平行四边形 ABCM中, AB=AC=3, ACM=90,以 AC为折痕将 ACM折起,使点 M到达点 D的位置,且 AB DA.(1)证明: CD平面 ABC.(2)Q为线段 AD上一点, P为线段 BC上一点,且 BP=DQ=

9、 DA,求三棱锥 Q-ABP的体积 .23解析 (1)由已知可得, BAC=90,所以 AB AC.又 AB AD,且 AC AD=A,所以 AB平面 ACD.所以 AB CD.又因为 ACM=90,所以 CD AC.因为 AB平面 ABC,AC平面 ABC,AB AC=A,所以 CD平面 ABC.(2)由已知可得, DC=CM=AB=3,DA=3 .2又 BP=DQ= DA,所以 BP=2 .23 2作 QE AC,垂足为 E,则 QE= DC=1.13结合(1),得 QE平面 ABC,因此,三棱锥 Q-ABP的体积 V= QES ABP= 1 32 sin 45=1.13 13 12 22

10、.(2016年全国 卷,文 19改编)如图,菱形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点 O,点 E,F分别在线段 AD,CD上,且 AE=CF,EF交 BD于点 H,将 DEF沿 EF折起到 DEF的位置 .(1)证明: AC平面 HBD.(2)若 AB=5,AC=6,AE= ,OD=2 ,求点 O到平面 DEF的距离 .54 26解析 (1)由已知得, AC BH,AD=CD.又由 AE=CF得 = ,故 AC EF.AEADCFCD所以 EF HD,EF HD,所以 AC HD.又因为 BH平面 HBD,HD平面 HBD,BH HD=H,所以 AC平面 HBD.(2)由 EF AC,得 =

11、 = .OHDOAEAD14由 AB=5,AC=6,得 DO=BO= =4.AB2-AO2所以 OH=1,DH=DH=3.所以( OD)2+OH2=(2 )2+12=9=DH2,2故 OD OH.由(1)知 AC平面 BHD,所以 AC OD.又 AC平面 ABC,OH平面 ABC,AC OH=O,所以 OD平面 ABC.由 = ,得 EF= .EFACDEAD 92所以 VD-OEF= S OEFDO= 12 = ,13 13 12 92 2322设点 O到平面 DEF的距离为 h,则 VO-DEF= S DEFh= 3h= ,13 13 12 92 322解得 h= ,223所以点 O到平

12、面 DEF的距离为 .2231.(黑龙江省齐齐哈尔市第八中学 2018届高三第二次模拟考试)如图, E是边长为 2的正方形 ABCD的边 AB的中点,将 AED与 BEC分别沿 ED,EC折起,使得点 A与点 B重合,记为点P,得到三棱锥 P-CDE.(1)求证:平面 PED平面 PCD.7(2)求点 P到平面 CDE的距离 .解析 (1) A= B=90,PE PD,PE PC. 又 PC平面 PCD,PD平面 PCD,PC PD=P,PE 平面 PCD.PE 平面 PED, 平面 PED平面 PCD.(2)设点 P到平面 CDE的距离为 h,依题意可知,三角形 CDE是底边长为 2,高为

13、2的等腰三角形, 其面积为 22=2.12易知 PCD是边长为 2的等边三角形, 其面积为 22= ,34 3由(1)知 PE平面 PCD,又 PE=1,V E-PCD= 1= .13 3 33V E-PCD=VP-ECD, 2h= ,h= .13 33 322.(四川省广元市 2018届高三第二次高考适应性统考)如图,菱形 ABCD的边长为6, BAD=60,AC BD=O.将菱形 ABCD沿对角线 AC折起,得到三棱锥 B-ACD,M是棱 BC的中点, DM=3 .2(1)求证: OM平面 ABD.(2)求证:平面 ABC平面 MDO.(3)求三棱锥 M-ABD的体积 .解析 (1)因为点

14、 O是菱形 ABCD的对角线的交点,所以 O是 AC的中点 .又 M是棱 BC的中点,所以 OM是 ABC的中位线,所以 OM AB.因为 OM平面 ABD,AB平面 ABD,所以 OM平面 ABD.(2)由题意知, OM=OD=3.8因为 DM=3 ,所以 OM2+OD2=DM2,2所以 DOM=90,OD OM.又四边形 ABCD为菱形,所以 OD AC.因为 OM平面 ABC,AC平面 ABC,OM AC=O,所以 OD平面 ABC.因为 OD平面 MDO,所以平面 ABC平面 MDO.(3)三棱锥 M-ABD的体积等于三棱锥 D-ABM的体积 .由(2)知, OD平面 ABC,所以 O

15、D为三棱锥 D-ABM的高 .因为 ABM的面积 = BABMsin 120= 63 = ,12 12 32 932所以三棱锥 M-ABD的体积 = S ABMOD= .13 9323.(2018年湖南东部六校联考)如图,在直角梯形 ABCD中, AB CD,AB BC,AB=2CD,DE AB,将 AED沿 DE折起到 A1ED的位置,连接 A1B,A1C,得到如图所示的四棱锥 A1-EBCD,M,N分别为 A1C,BE的中点 .(1)求证: DE A1B.(2)求证: MN平面 A1ED.(3)在棱 A1B上是否存在一点 G,使得 EG平面 A1BC?若存在,求出 的值;若不存在,请说明A

16、1GGB理由 .解析 (1)由题意知 DE A1E,DE BE.A 1E平面 A1BE,BE平面 A1BE,A1E BE=E,DE 平面 A1BE.A 1B平面 A1BE,DE A1B.(2)如图,取 CD的中点 F,连接 NF,MF.M ,N分别为 A1C,BE的中点,9MF A1D,NF DE.又 A 1D平面 A1DE,DE平面 A1DE,MF 平面 A1DE,NF平面 A1DE.MF 平面 MNF,NF平面 MNF,MF NF=F, 平面 A1DE平面 MNF,MN 平面 A1ED.(3)取 A1B的中点 G,连接 EG.A 1E=BE,EG A1B.由(1)知 DE平面 A1BE.D

17、E BC,BC 平面 A1BE,EG BC.又 A 1B平面 A1BC,BC平面 A1BC,A1B BC=B,EG 平面 A1BC.故棱 A1B上存在点 G,使得 EG平面 A1BC,此时 =1.A1GGB4.(2018年重庆巴蜀中学模拟)如图,在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD是边长为 2的正方形,PA=PB,PA PB,F为线段 PC上的点,且 BF平面 PAC.(1)求证:平面 PAB平面 ABCD.(2)求证: PC=PD.(3)在棱 PD上是否存在一点 G,使得 FG平面 PAB?若存在,求出 PG的长;若不存在,请说明理由 .解析 (1)BF 平面 PAC,BF PA.PA

18、PB,PB平面 PBC,BF平面 PBC,PB BF=B,10PA 平面 PBC,PA BC.AB BC,PA平面 PAB,AB平面 PAB,PA AB=A,BC 平面 PAB.BC 平面 ABCD, 平面 PAB平面 ABCD.(2)如图,作 PE AB,垂足为 E,连接 EC,ED.PA=PB ,PA PB,AB=2,PE=BE=AE= 1,PB= .2BC 平面 PAB,BC PB.在 Rt PBC中,由勾股定理得 PC= = .PB2+BC2 6 平面 PAB平面 ABCD,PE AB,PE 平面 ABCD,PE ED.DE= = ,AE2+AD2 5 在 Rt PED中, PD= = ,PE2+DE2 6PC=PD.(3)作 FG CD,交 PD于点 G.FG CD,AB CD,FG AB.FG 平面 PAB,AB平面 PAB,FG 平面 PAB.BF 平面 PAC,BF PC.BF= = ,PBBCPC23311PF= = .PB2-BF263FG CD, = ,PG=PF= ,PFPCPGPD 63故棱 PD上存在点 G,使得 FG平面 PAB,且 PG= .63