VDI 4008 Blatt 8-1984 Renewal processes.pdf

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1、DK 62-192:62-50.004.69658.589:519.21 (083.132) VDI-RICHTLINIEN Mrz 1984VEREINDEUTSCHERINGENIEUREErneuerungsprozesse VDI 4008Blatt 8Renewal ProcessesInhalt Seite1 Einleitung 21.1 Vorwort 21.2 Querverweise auf andere Bltter 21.3 Notation 32 Der gewhnliche Erneuerungsproze . . 42.1 Grundlagen 42.2 Zeit

2、 bis zur i-ten Erneuerung 42.3 Anzahl der Erneuerungen in einem Zeitintervall 52.4 Erneuerungsfunktion 52.5 Erneuerungstze 62.6 Restlebensdauer (Vorwrtsrekurrenzzeit) 83 Der allgemeine Erneuerungsproze und der Begriffder Stationaritt 103.1 Grundlegende Eigenschaften 103.2 Folgerungen fr die Bestimmu

3、ng typischer Kenngren undKennfunktionen 103.3 Stationaritt 124 Alternierende Erneuerungsprozesse 124.1 Begriffliche Grundlagen 124.2 Kentgren und Kennfunktionen 134.3 Der allgemeine alternierende Erneuerungsproze und Stationaritt 145 Anwendungen der nicht alternierenden Erneuerungsprozesse . . 175.1

4、 Kalte Reserve mit kritischem Umschalter 175.2 Funktionsprfungen zu zuflligen Zeitpunkten 186 Anwendungen der alternierenden Erneuerjngsprozesse 196.1 Wahrscheinlichkeit des gewnschten der beiden Zustnde . 196.2 Ununterbrochene Funktionstchtigkeit whrend einesvorgegebenen Zeitintervals 206.3 Summe a

5、ller Ausfalldauern zwischen 0 und t 21Schrifttum 22VDI-Ausschu Technische ZuverlssigkeitVDI-Handbuch Technische Zuverlssigkeit Register-Nr. 3Preisgr. 12B974908A824A6748CAAAA99BAB349F63B2C88DD9B0D2BF8368C461B1CCB65CD15BE74F0686BD19CFC1FA2DEF1929BEST BeuthStandardsCollection - Stand 2016-11-2- VDI 400

6、8 Blatt 81 Einleitung1.1 VorwortAnmerkung: Unter Erneuerungsproze wird hier nicht der technische Vorgang (Proze) des Erneuerns defekter Komponentenverstanden, sondern stets der im folgenden eingefhrte “mathematische“ Erneuerungsproze, d.h. ein spezieller stochastischerProze.Erneuerungsprozesse sind

7、eine verhltnismig einfache und doch praktisch hoch bedeutsame Klassevon stochastischen Punktprozessen. StochastischePunktprozesse handeln von zuflligen Punkten immeist eindimensionalen Raum. Hier wird es sichnur um Zeitpunkte handeln. (Genaueres ber stochastische Punktprozesse und ihre Eingliederung

8、 indie Zufallsprozesse in 8, Kapitel 8.)Der Name Erneuerungsproze 2 leitet sich in derTat von der Vorstellung her, da eine Komponentez.B. eine Glhlampe, so lange wie mglich betriebenwird, dann bei Ausfall sofort ersetzt (erneuert) wirdusw. Demgem sind Erneuerungsprozesse solchePunktprozesse, bei den

9、en die Abstnde zwischenNachbarpunkten gleichartig verteilte stochastischunabhngige Zufallsgren (z.B. Lebensdauern) sind.Wird der Nullpunkt der Zeitzhlung zu einemPunkt“ des betrachteten Erneuerungsprozesses gemacht, so liegt ein gewhnlicher Erneuerungsprozevor.(Wenn es nicht nur einen, sondern zwei

10、Typen vonIntervallen zwischen benachbarten Punkten gibt,und zwar so, da beide Typen sich gegenseitig abwechseln, spricht man von einem alternierenden Erneuerungsproze; vgl. Abschnitte 4 und 6.)Die Ergebnisse dieses Blattes ber Erneuerungstheorie wurden ganz berwiegend fr einzelneKomponenten eines Te

11、chnischen Systems vorgestellt. Sie haben aber groenteils eine weit umfassendere Gltigkeit. Zustandswahrscheinlichkeitendrfen z.B. (bei stochastisch unabhngigen Kompo-nentenzustnden) nach Magabe der Redundanzstruktur (Fehlerbaum) eines Systems beliebig berlagert“ werden. Vorsicht ist jedoch geboten,

12、wennauch der berlagerungsproze noch ein Erneuerungsproze sein soll, denn das ist hufig nichtder Fall.Vom Leser dieser Richtlinie werden Grundkenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der La-place-Transformation vorausgesetzt. Ansonsten reichen die Mathematikkenntnisse, die die Fachhochschulen v

13、ermitteln, aus, denn es wird weder auf denBegriff des Lebesgue-Integrals noch auf andereKonvergenz-, Stetigkeits- usw. -Probleme eingegangen. So werden besonders auer bei diskretenZufallsgren Verteilungsfunktionen durchwegals berall differenzierbar angenommen. Der mathematisch nicht besonders gut au

14、sgebdete Leser sollte also im Zweifelsfalle vor der Weitergabe eigenertheoretischer Resultate, die aus den Ergebnissendieser Richtlinie abgeleitet wurden, einen Spezialisten zu Rate ziehen.1.2 Querverweise auf andere BltterDas vorliegende Blatt 8 der RichtlinienreiheVDI 4008 hat enge Beziehungen zu

15、den untengenannten Blttern, in denen alternative bzw. ergnzende Lsungsmethoden fr Zuverlssigkeitsprobleme abgehandelt werden:VDI 4008 Blatt 2 Boolesches ModellVDI 4008 Blatt 3 Markoff-Zustandsnderungs-modelle mit endlich vielenZustndenVDI 4008 Blatt 5 ZustandsflugraphenVDI 4008 Blatt 7 Strukturfunkt

16、ion und ihreAnwendung (Fehlerbume)B974908A824A6748CAAAA99BAB349F63B2C88DD9B0D2BF8368C461B1CCB65CD15BE74F0686BD19CFC1FA2DEF1929BEST BeuthStandardsCollection - Stand 2016-11VDI 4008 Blatt 8 -3-1.3 NotationA, B zufllige EreignisseAnB Durschnitt (Schnittmenge) von Aund B(x- = , = oc OL wird durch erklrt

17、 (definiert)EZ) Erwartungswert (Mittelwert) derZufallsgre Zexp(x) = e Exponentialfunktion an der StelleXF2t)- = PZt Verteilungsfunktion der Zufallsgre Z : Die Beschreibung von Zwird in folgenden Fllen gekrzt:F(t):=PTStF(t):=PTStFm: = PS,StNoch strker gekrzt, weil fter gebraucht, istF(t): = Fty, i =

18、2,3,.fzity-=m-=dtAFt)(Wahrscheinlichkeits-)Dichte von Z; m- = dFit) ; m- = dmdtdt dt2)* =1 5 Z2 2(gemeinsame) Verteilungsfunktionvon Z und Z2 bei t2fzzi, 2) = 07 Fzuzi, h)(gemeinsame) (Wahrscheinlichkeits-)Dichte von Z und Z2 bei t2(pt),(pt),(p2t) Hilfsfunktion mit wechselnder BedeutungGj(?): = P7td

19、abei ist i der Wert der Indikatorvariable X zum alternierenden Erneuerungsproze ; n = 2, 3, . . .dG,(0giity- dtHt) = E Ar(t) ErneuerungsfunktiondH(t)ht) : = - Erneuerungsdichtedij, /c, n laufende Indizes)m = (7;.); i = 2,3,.mQ = ETQj), 7 = 2,3,. mittlerer Erneuerungsabstand vom 0-Typusm=ETj), j = 2,

20、 3, . mittlerer Erneuerungsabstand vom 1 -TypusNt) Anzahl der Erneuerungen zwischen 0 und t bzw. bei Stationa-ritt in einem Intervall der Lnge tP(A) Wahrscheinlichkeit des (Zufalls-)Ereignisses ASiehe auch 12Bei alternierenden Erneuerungsprozessen bezeichnen die Indizes i und j Zustnde. Sie nehmen d

21、ann die Werte 0 oder 1 an.Der Index n durchluft, beginnend bei 1 oder 2, die natrlichenZahlen.P(A|B) bedingte Wahrscheinlichkeit von Aunter BFt) Wahrscheinlichkeit des Zustands izum Zeitpunkt teinerseits i-ter Punkt eines stocha-stischen Punktprozesses (rechtsvom Nullpunkt), insbesondere derz-te Ern

22、euerungspunkt; andererseits der Abstand dieses Punktesvom Nullpunkt.5 = S fr allgemeine ErneuerungsprozesseSq Nullpunkt t = 0t, t“, T, t Zeitpunkte bzw. ZeitdauernT,=S,f,=S,= ! = 2,3,.Abstand zwischen Nachbarpunkten (Punktabstand)T. Zeitdauer des Zustands X = i,(i = 0, 1); d.h. Punktabstand beimalte

23、rnierenden Punktproze n= (1),2,3,.AusfalldauerTl LebensdauerVorwrtsrekurrenzzeit zum Zeitpunkt t(Abstand des nchsten Punktes“nach t von t)Summe aller Ausfalldauern zwischen 0 und tSumme aller Lebensdauern zwischen 0 und tlaufende (Zeit-)VariableUnverfgbarkeit (Nichtverfgbarkeit)Vt) Verfgbarkeit (nac

24、h DIN 40042)W,t):=PNt) = iWi(t) bzw. Wi(t)Wit) des nur aus den T. bzw. denTl. gebdeten Erneuerungsprozesses1 whrend eines 1 -Zustands der DauerVit)Ta)W, VUt)X = 0 whrend eines 0-Zustands der DauerIndikatorvariableX, y laufende (Zeit-)Variable* Faltungsoperator gem= (pt)(P2t-x)dT(p“t)-. = (p“-*(pt),

25、n = 2, 3, . Laplace-Transformations-Operatorgem00(p(s): = l(p-s): = (pt):= (pit)QXp-St)dt0f, f + i bezeichnet ein Intervall, das seinenrechten Endpunkt t + z aber nichtseinen linken Endpunkt t enthlt.B974908A824A6748CAAAA99BAB349F63B2C88DD9B0D2BF8368C461B1CCB65CD15BE74F0686BD19CFC1FA2DEF1929BEST Beu

26、thStandardsCollection - Stand 2016-11-4- VDI 4008 Blatt 82 Der gewhnliche Erneuerungsproze2.1 GrundlagenFr die Verteilungsdichte der Summe zweier (reeller) Zufallsgren und gilt00/z, + z2(“)= 1 0000= 1 /z.,z2(“-f.i)di. (2.1-1) 00Sind speziell Z und stochastisch unabhngigvoneinander, d.h. giltsind sie

27、 nicht negativ, etwa Lebensdauern, so wirddarausfz, + z2u) = fz(v) f2jyU-v)Av, uO, (2.1-2)0oder0Mit dem Operator * fr die Faltung erhlt man/z. + Z2 (“) = /z. */z2 (“) = /Z2 */z, () (2- 1 -4)und allgemein fr unabhngige Zufallsgren/Zi + Z2+ . + Zn() /zi */z2* /znM (2- 1-5)Speziell fr gleiche Verteilun

28、gsdichten / aller Z-wird mit der im Abschnitt 1.3 angegebenen Notation/z. + Z2+.+z (“)=/*“(“), 1- (2.1-5a)Ganz entsprechend lautet die Verteungsfunktionder Summe von zwei stochastisch unabhngigen,nicht negativen Zufallsgren Z und Z2Zi + Z2M Zi */z2 W z2*/zi M (2.1-6)und allgemein fr n unabhngige, ni

29、chtnegative Zufallsgren Z, .,Z-Zi+Z2 + . + Zn()Zi*/z2* */zn()- (2.1-7)Da die Verteungsfunktion und die Dichtefunktionvon nicht negativen Zufallsgren trivialerweise frnegative Argumente null sind, lassen sich beideFunktionstypen im allgemeinen Laplace-transfor-mieren. Mit dem Faltungssatz der Laplace

30、-Trans-formation 3 erhlt man aus (2.1-4)fz,zAs) = f,(s)f,s), (2.1-8)aus (2.1 -5 a)=/z. + . + z(s) = /(s)“ (2.1-9)und aus (2.1-6)= F,s)fz,s). (2.1-10)Bemerkung zur zuverlssigkeitstechnischen AnwendungIn der Zuverlssigkeitstechnik wird Z- hufig dieLebensdauer T. der Komponente i sein. Dann isti= 1U.a.

31、 deutbar als die Lebensdauer eines Systems mitkalter Reserve, genauer mit n1 Reserveeinheiten,die nach und nach eingesetzt und nicht repariertwerden.2.2 Zeit bis zur #-ten ErneuerungBild 1 mge in Form der Kreuze auf der Zeitachseeinen gewhnlichen Erneuerungsproze darstellen. 2 r* i+1*11 X X -x 1 “Xr

32、-Zeit0 Sq Sj S2 0. Mit derFestlegung1/m 0 fr m = 00gelten die folgendenErneuerungsstzeHt) 1t m fr tco.1Ht + T) Ht)-T fr tccmund jedes feste t0.(2.5-1)(2.5-2)ht) fr tco.mt 2 00 (pt f)ht)dt- j (pt)dt0 0fr tGo,(2.5-3)(2.5-4)falls (p(z) eine nichtnegative monoton nichtsteigendeFunktion mit00j (p(t) dt o

33、o.m 4Die Kurve y = Ht) hat also die Asymptotet 1(2.5-8)m 4Fr die in diesem Beispiel gewhlte Lebensdauerverteilung lt sich Ht) explizit berechnen. Es istnach dem Additionstheorem fr die Erlangverteilung. 2 ml _ltht)= e rn . (2.5-9) Zur Erinnerung; Fr la|t nach den Fllen Nt) = n, (n = 0, 1, 2, .),zerl

34、egt wird,= p(j SSt,t + xT = l-F(t + T) (2.6-2)+ Jl-F(t + T-t)0Die Verteungsfunktion der Vorwrtsrekurrenzzeitist alsoFv(,M) = Ft + T)t-|l-F(t + T-)/i(Odt (2.6-2a)0mit der Dichtefvd) = ft + T) + ft + T- f) hit)dt. (2.6-2 b)0BeispielFr F(r) = 1 ist aus (2.4-7) schon hf)=l/mbekannt. Damit wird nach (2.6

35、-2)PTy,T + - dt0 Q-it + T:)/m _|_ g - (r + T)/m Qt/m _ | j= e-“, (2.6-3)oderFy,(T:=PTy,Sx = l-C-“= P7T=f(T). (2.6-4)D.h. bei exponentialverteter Lebensdauer T- ist frjeden Zeitpunkt t die Vorwrtsrekurrenzzeit, d.h.die Restlebensdauer der zur Zeit t aktivenKomponente, genauso vertet wie die gesamte L

36、ebensdauer. Dieses Nichtaltern“ ist eine charakteristische Eigenschaft der Exponentialverteung undhebt sie von allen anderen Verteungen ab.Asymptotische Verteilung derVorwrts-RekurrenzzeitZumeist lt sich die rechte Seite von (2.6-2) nurmit groem Aufwand auswerten. Jedoch erhlt manasymptotisch fr tco

37、 ein gut auswertbaresErgebnis.Es wird mit dem “Key Renewal Theorem“ (2.5-4)hergeleitet:Man setzt fr fest gewhltes t 0cpt):=.l-Ft + T), tO. (2.6-5)B974908A824A6748CAAAA99BAB349F63B2C88DD9B0D2BF8368C461B1CCB65CD15BE74F0686BD19CFC1FA2DEF1929BEST BeuthStandardsCollection - Stand 2016-11VDI 4008 Blatt 8

38、-9-Dann wird aus (2.6-2)PTvit) - (pt) + (pt- 0 hf)dt. (2.6-6)0Die Funktion (pt) ist nichtnegativ und monotonnicht steigend. Weiter ist00 00I (p(t)dt = j l-f( + T)dt0 000= 1 ii-FitmT00l-f(t)df = m.000Es ist also j (pf)dt oo.m Wegen(pt) = lFt + T)-0 fr t-coergibt sich daher aus (2.6-6)1PT t- j 1-F(t)d

39、t (2.6-7)m fr t -oo und jedes feste tO, falls m = ET)0. (2.6-12)D.h. fr jedes t0 nimmt Ty mit grerer Wahrscheinlichkeit Werte unterhalb t an als die Lebensdauer T-. In diesem Sinne ist in diesem Beispiel dieVorwrtsrekurrenzzeit kleiner als die gesamteLebensdauer.Es sollen noch fr einige Werte von t

40、die WahrscheinlichkeitenPTyT=e-t (2.6-13)berechnet werden, da ein Intervall der Lnge tohne Erneuerungspunkt ist, wenn der Proze zumAnfang t dieses Intervalls schon lange genug luft(d.h., wenn t gro genug ist). Es ergibt sich (gerundet)m m m mT m 2 4 8 16PTyT 0,27 0,55 0,76 0,88 0,94Ein Intervall, de

41、ssen Lnge gleich der mittleren Lebensdauer m ist, bleibt also nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 27 % strungsfrei. Dagegen enthlt ein Intervall der Lnge m/16 mit einer Wahrscheinlichkeit von 94 % keine Strung (Erneuerung).B974908A824A6748CAAAA99BAB349F63B2C88DD9B0D2BF8368C461B1CCB65CD15BE74F0686BD

42、19CFC1FA2DEF1929BEST BeuthStandardsCollection - Stand 2016-11-10- VDI 4008 Blatt 8Auch die Momente von Ty lassen sich unter Verwendung der Dichte 1 von Ty berechnen.mSo ergibt sich durch partielle Integration00 (r)=|x._l_F(T)dT0 m1- f -m Q 2Mit der BeziehungEiT,) = Var(T,) + (7) = +wird darausEiTy)

43、= a + m2m (2.6-15)Anmerkung: Auf den ersten Blick wre zu vermuten, da derErwartungswert ETy) der Zeitspanne von einem Zeitpunkt t (beihinreichend groem t) bis zur nchsten Erneuerung nach t gleichdem Erwartungswert m/2 = ETJ2) des halben Abstandes zweierbenachbarter Erneuerungen sein wrde. Doch es is

44、t stetsm mDas liegt (qualitativ) daran, da ein willkrlich herausgegriffenerZeitpunkt t eher von einer langen als von einer kurzen Lebensdauer berdeckt wird.Die Darstellung0-2 _yyj2ETy) = m + - 2mzeigt, da fr am die Zeit Ty zur nchsten Erneuerung imMittel sogar lnger ist als die mittlere Lebensdauer

45、m = ET-).3 Der allgemeine Erneuerungsprozeund der Begriff der Stationaritt3.1 Grundlegende EigenschaftenBisher wurde davon ausgegangen, da der Erneuerungsproze zum Zeitpunkt 0 mit dem Einsatzeiner neuen Komponente startet. Die Zufallsgrewar damit gleich der Gesamtlebensdauer einerKomponente.Startete

46、 dagegen der Erneuerungsproze schon vordem zum Zeitpunkt 0 erfolgenden Beobachtungsbeginn, so wird die Zeitspanne bis zur ersten Erneuerung eine andere Verteilung haben als die ZeitenTj = Sj-Sj_ j2,zwischen den darauffolgenden Erneuerungen.Definition. sei eine Folge unabhngiger, nichtnegativer Zufal

47、lsgren.habe die Verteilungsfunktion F (Dichte /) undjede der Zufallsgren T2,T,. habe die Verteilungsfunktion F (Dichte /).Dann heit die Folge S,S2,S-, . mit= Sj = Sj_, + Tj (/ = 2,3,.)allgemeiner Erneuerungsproze (oder auchmodifizierter Erneuerungsproze).Anmerkung : Kennzeichnend fr einen allgemeinen Erneuerungsproze ist also, da die erste Lebensdauer eine andere Verteilung haben darf als die brigen Lebensdauern T2,T,. .Die Kenngren eines allgemeinen Erneuerungsprozesses bezeichnen wird durch eine bergesetzte Tilde.