浙江专用2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入考点规范练26数系的扩充与复数的引入201901184116.docx

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1、1考点规范练 26 数系的扩充与复数的引入基础巩固组1.已知复数 z=(1+i)(1-ai)是实数,则实数 a的值为( )A.1 B.0 C.-1 D.1答案 A解析 z= (1+i)(1-ai)=(1+a)+(1-a)i是实数, 1-a=0,即 a=1,故选 A.2.已知 i是虚数单位,则 z= 在复平面内对应的点位于 ( )i1-2iA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案 B解析 z= =- i,i1-2i= i(1+2i)(1-2i)(1+2i)= -2+i5 25+15z= 在复平面内对应的点为 ,位于第二象限,故选 B.i1-2i (-25,15)3.(2017浙江

2、高考样卷)已知复数 z= ,其中 i为虚数单位,则 |z|=( )1+iiA B C D.2.12 .22 . 2答案 C解析 由题意得 z=1-i,|z|= ,故选 C.24.(2017山东高考)已知 aR,i 是虚数单位,若 z=a+ i,z =4,则 a=( )3 zA.1或 -1 B 或 -. 7 7C.- D3 . 3答案 A解析 由 z=a+ i,z =4得 a2+3=4,所以 a=1,故选 A.3 z5.(2018全国 3)(1+i)(2-i)=( )A.-3-i B.-3+iC.3-i D.3+i答案 D解析 (1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.6.设复数 z= (其中

3、 i为虚数单位),则复数 z的实部为 ,虚部为 . 52-i答案 2 1解析 z= =2+i,52-i= 5(2+i)(2-i)(2+i)2 复数 z的实部为 2,虚部为 1.7.(2017浙江嘉兴一模改编)设复数 z=1-i(i是虚数单位),则 +z等于 .2z答案 2解析 +z= +1-i= +1-i=1+i+1-i=2.2z 21-i 2(1+i)(1-i)(1+i)8.已知 i为虚数单位, aR,如果复数 2i- 是实数,则 a的值为 . ai1-i答案 4解析 依题意,2i - =2i- 是实数,因此 4-a=0,a=4.ai1-i ai(1+i)(1+i)(1-i)=a+(4-a)

4、i2能力提升组9.(2017课标 高考)设有下面四个命题p1:若复数 z满足 R,则 zR;1zp2:若复数 z满足 z2R,则 zR;p3:若复数 z1,z2满足 z1z2R,则 z1= ;z2p4:若复数 zR,则 R.z其中的真命题为( )A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4答案 B解析 令 z=a+bi(a,bR),则由 R得 b=0,所以 zR,故 p1正确;当 z=i时,因为1z= 1a+bi=a-bia2+b2z2=i2=-1R,而 z=iR 知, p2不正确;当 z1=z2=i时,满足 z1z2=-1R,但 z1 ,知 p3不正确;对于 z2p4,因为

5、实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故 p4正确,故选 B.10.在复平面中,满足等式 |z+i|=|4-3i|的复数 z所对应点的轨迹是( )A.一条直线 B.两条直线C.圆 D.椭圆答案 C解析 设 z=x+yi(x,yR),代入 |z+i|=|4-3i|,得 |x+(y+1)i|=|4-3i|,即,x2+(y+1)2= 42+(-3)2x 2+(y+1)2=5. 复数 z所对应点的轨迹是圆 .故选 C.11.已知复数 z=1+ ,则 1+z+z2+z2 019=( )2i1-iA.1+i B.1-i C.i D.0答案 D解析 z= 1+ =1+ =i, 1+z+z2+z

6、2019= =0.2i1-i 2i(1+i)2 1(1-z2020)1-z =1-i20201-i =1-i45051-i312.已知( -1+3i)(2-i)=4+3i(其中 i是虚数单位, 是 z的共轭复数),则 z的虚部为( )z zA.1 B.-1 C.i D.-i答案 A解析 因为( -1+3i)(2-i)=4+3i,z所以 +1-3i= +1-3i=1+2i+1-3i=2-i.所以 z=2+i,虚部为 1,故选 A.z=4+3i2-i (4+3i)(2+i)513.已知 i是虚数单位,若复数 z满足 =1-i,则复数 z在复平面上对应的点的坐标是 41+z,z = . z答案 (1

7、,2) 5解析 由 =1-i,得 z= -1=1+2i,则复数 z对应的点为(1,2), z =|z|2=5.41+z 41-i z14.(2017浙江丽水质测)若 =a+bi(a,b为实数,i 为虚数单位),则 a= ,b= .3+bi1-i答案 0 3解析 (3-b)+(3+b)i= i 解得3+bi1-i=(3+bi)(1+i)2 =12 3-b2 +3+b2 . a=3-b2,b=3+b2, a=0,b=3.15.已知 i是虚数单位, aR,复数 z1=3-ai,z2=1+2i,若 z1z2是纯虚数,则 a= . 答案 -32解析 复数 z1=3-ai,z2=1+2i,z 1z2=(3

8、-ai)(1+2i)=3+2a+(6-a)i是纯虚数,解得 a=- 3+2a=0,6-a 0, 32.16.复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点 .(1)求 所对应的复数;DC(2)这个正方形的第四个顶点对应的复数 .解 (1)如图, z1,z2,z3分别对应点 A,B,C., AB=OB-OA4所对应的复数为 z2-z1=(-2+i)-(1+2i)=-3-i. AB在正方形 ABCD中, ,DC=AB所对应的复数为 -3-i. DC(2) , DC=OC-OD所对应的复数为 z3-(-3-i)=(-1-2i)-(-3-i)=2-

9、i. OD=OC-DC 第四个顶点对应的复数为 2-i.17.设复数 z满足 4z+2 =3 +i,= sin - icos .z 3(1)求 z的值;(2)求 |z-| 的取值范围 .解 (1)设 z=a+bi(a,bR),则 =a-bi.z代入 4z+2 =3 +i,得 4(a+bi)+2(a-bi)=3 +i,z 3 3即 6a+2bi=3 +i z= i.3. a= 32,b=12. 32+12(2)|z-|= |32+12i-(sin -icos )|= (32-sin )2+(12+cos )2= 2-2sin( -6).- 1sin 1,( -6) 02 -2sin 4. 0 |z-| 2 .( -6)