浙江专用2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入考点规范练24平面向量的数量积201901184114.docx

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1、1考点规范练 24 平面向量的数量积基础巩固组1.已知向量 a,b满足 |a|=1,ab=-1,则 a(2a-b)=( )A.4 B.3 C.2 D.0答案 B解析 a(2a-b)=2a2-ab=2|a|2-(-1)=2+1=3,故选 B.2.已知向量 ,则 ABC=( )BA=(12,32),BC=(32,12)A.30 B.45 C.60 D.120答案 A解析 由题意得 cos ABC= ,所以 ABC=30,故选 A.BABC |BA|BC|=1232+ 321211 = 323.设 a,b均为单位向量,则“ |a-3b|=|3a+b|”是“ab”的 ( )A.充分而不必要条件 B.必

2、要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C解析 |a-3b|=|3a+b|a-3b|2=|3a+b|2a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b2,因为 a,b均为单位向量,所以a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b2ab=0ab,即“ |a-3b|=|3a+b|”是“ab”的充分必要条件 .故选 C.4.若 |a|=1,|b|=2,且(a +b)a,则 a与 b的夹角是( )A B C D.6 .3 .56 .23答案 D解析 (a+b)a(a+b)a =0a2+ab=0,即 |a|2+|a|b|cos= 0(其中 为 a与 b的夹角),即 12+12cos= 0cos

3、=- ,由于 0 ,解得 = ,故选 D.12 235.(2017浙江绍兴二模)已知点 A(0,1),B(-2,3),C(-1,2),D(1,5),则向量 方向上的投影为( )AC在 BDA B.- C D.-.21313 21313 .1313 1313答案 D解析 =(-1,1), =(3,2), 方向上的投影为 | |cos= AC BD AC在 BD AC AC,BD=- 故选 D.ACBD|BD|= -13+1232+22 = -113 1313.26.(2017浙江温州瑞安检测)已知 a,b,c是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2),|b|=1,且 a+b与a-2b垂直,则向

4、量 ab= ;a与 b的夹角 的余弦值为 . 答案 3 355解析 (a+b)(a-2b), (a+b)(a-2b)=0,即|a| 2-ab-2|b|2=0, 5-ab-2=0, ab=3, cos=ab|a|b|=355.7.已知非零向量 m,n满足 4|m|=3|n|,cos= 若 n( tm+n),则实数 t的值为 . 13.答案 -4解析 由 4|m|=3|n|,可设|m |=3k,|n|=4k(k0),又 n( tm+n),所以 n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos+|n|2=t3k4k +(4k)132=4tk2+16k2=0,所以 t=-4.8.在 ABC中,已知 =

5、4,| |=3,M,N分别是 BC边上的三等分点,则 的值是 .ABAC BC AMAN答案 6解析 记 BC中点为 D,则由 ( )2-( )2= (2 )2- = =4,得ABAC=14 AB+AC AB-AC 14 AD CB2 AD2-94AD2=254.所以 ( )2-( )2= (2 )2- =6.AMAN=14 AM+AN AM-AN 14 AD 14MN2=AD2-14=254-14能力提升组9.设 a,b,c均为非零向量,若 |(a+b)c|=|(a-b)c|,则( )A.ab B.abC.ac 或 bc D.ac 或 bc答案 D解析 因为 a,b,c均为非零向量,若|(a

6、+b)c|=|(a-b)c|,所以(a+b)c=(a-b)c,或者(a+b)c=-(a-b)c,展开整理得到 bc=0,或者 ac=0,所以 bc 或 ac .故选 D.310.如图,在平面四边形 ABCD中, AB BC,AD CD, BAD=120,AB=AD=1.若点 E为边 CD上的动点,则 的最小值为( )AEBEA B.2116 .32C D.3.2516答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则 A ,B ,C ,D ,(0,-12) (32,0) (0,32) (- 32,0) 点 E在 CD上,则 = (0 1),设 E(x,y),DE DC则 = ,即 由此可得 E ,

7、且(x+32,y) (32,32) x+32= 32 ,y=32 , (32 - 32,32 ),由数量积的坐标运算法则可得,AE=(32 - 32,32 +12),BE=(32 - 3,32 ),整理可得 (4 2-2+ 2)AEBE=(32 - 32)(32 - 3)+32 (32 +12) AEBE=34(0 1),结合二次函数的性质可知,当 = 时, 取得最小值 故选 A.14 AEBE 2116.411.在梯形 ABCD中, AB DC,AB AD,AD=DC=1,AB=2,若 ,则 | +t |(tR)的取值范AP=16AD+56AB BCPB围是( )A B. ,+ ).55,+

8、 ) 2C D.1,+ ).55,1答案 A解析 , 点 P的位置在线段 BD的六等分点(最靠近点 B的分点) .而 AP=16AD+56AB| +t |(tR) =| -t |(tR),即为点 C与直线 BD上的动点 Q所连线段的长度 .当点 Q在直线BCPB BCBPBD上,且 CQ BD时,长度最小为 |CQ|= 又点 Q在直线 BD上运动,故长度可无限增大,没有上界 .故55.选 A.12.已知 a,b,e是平面向量,e 是单位向量 .若非零向量 a与 e的夹角为 ,向量 b满足 b2-4eb+3=0,则3|a-b|的最小值是( )A -1 B +1 C.2 D.2-. 3 . 3 3

9、答案 A解析 设 a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n),则由 = 得 ae=|a|e|cos ,x= ,y= x,由3 3 12 x2+y2 3b2-4eb+3=0得 m2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,因此 |a-b|的最小值为圆心(2,0)到直线 y= x的距3离 减去半径 1,为 -1,故选 A.232 = 3 313.记 M的最大值和最小值分别为 Mmax和 Mmin.若平面向量 a,b,c满足 |a|=|b|=ab=c(a+2b-2c)=2,则( )A.|a-c|max= B.|a+c|max=3+ 72 3- 72C.|a-c|min= D.|a+c|min

10、=3+ 72 3- 72答案 A解析 由已知可得,ab =|a|b|cos= 2,则 cos= ,=12 3.建立平面直角坐标系,a = =(2,0),b= =(1, ),c= =(x,y),由 c(a+2b-2c)=2,OA OB 3 OC可得( x,y)(4-2x,2 -2y)=2,35即 4x-2x2+2 y-2y2=2,3化简得点 C轨迹,( x-1)2+(y-32)2=34.则 |a-c|= ,(x-2)2+y2转化为圆上点( x,y)与(2,0)的距离|a-c|max= 12+(32)2+ 32= 3+ 72 .故选 A.14.已知向量 =(3,-4), =(6,-3), =(5-

11、m,-3-m),若 ABC为锐角,实数 m的取值范围是 ;若OA OB OC ABC为钝角时,实数 m的取值范围是 . 答案 (-34,12) (12,+ ) (- ,-34)解析 由已知得 =(3,1), =(2-m,1-m).AB=OB-OA AC=OC-OA若 ,则有 3(1-m)=2-m,解得 m=AB AC12.由题设知, =(-3,-1), =(-1-m,-m).BA BC若 ABC为锐角,则由 =3+3m+m0,可得 m- ;若 ABC为钝角,则 m 0时, ,故当 = 1时, 取最小值为1x= 4 2-8 +5= (2 -2)2+1 1x1,即 1,则 0=- 因为 0,所以

12、= ,即 a+b与 a-b的夹(-2,6)(4,-2)4020 = -204020 22. 34角为34 .(2)因为 a(a + b),所以 a(a+ b)=0.又 a+ b=(1-3 ,2+4 ),所以 1-3+ 4+8= 0,解得 =- 1.18.在 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,向量 m=(cos(A-B),sin(A-B),n=(cos B,-sin B),且 mn=-35.7(1)求 sin A的值;(2)若 a=4 ,b=5,求角 B的大小及向量 方向上的投影 .2 BA在 BC解 (1)由 mn=- ,35得 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=- ,35所以 cosA=- 因为 0b,所以 AB,且 B是 ABC的内角,则 B=4.由余弦定理得(4 )2=52+c2-25c ,2 (-35)解得 c=1,c=-7,舍去负值,故向量 方向上的投影为 | |cosB=ccosB=1BA在 BC BA 22= 22.