[专升本类试卷]湖北省专升本（高等数学）模拟试卷8及答案与解析.doc

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1、湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y=ln(2-x)+arcsin( -1)的定义域为( )（A）x0（B） 0x1（C） 0x2（D）0x42 已知 f(x-2)=x2-4x-7，则 f(x)的奇偶性是( )（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既奇又偶的函数3 设 x0 时，无穷小量 1-cosxax b，则( )（A）a=2 ，b=1（B） a=1，b=2（C） a=12，b=2（D）a=2 ，b=124 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=( )（A）0（B） 1（C） 1e（D）e5

2、 设函数 f(x)在 x=1 处可导，且 =2，则 f(1)=( )（A）2（B） -2（C） -1（D）16 设函数 y=y(x)是由方程 2xy=x+y 所确定，则 Yy|x=0=( )（A）ln2（B） ln2-1（C） ln2+1（D）27 曲线 在点(0，1)处的法线方程为( )（A）2x+y-1=0（B） x-2y+1=0（C） 2x+y+1=0（D）x-2y-1=08 设 y=e2arcosx，则 dy=( )9 设 y=arctan ，则 y“=( )10 曲线 y=1+ ( )（A）有水平渐近线，无垂直渐近线（B）无水平渐近线，有垂直渐近线（C）有水平渐近线，有垂直渐近线（D

3、）无水平渐近线，无垂直渐近线11 设 f(x)=x-ln(1+x)，则在区间 (0，+)内( )（A）f(x)单调减少，曲线 y=f(x)为凸的（B） f(x)单调增加，曲线 y=f(x)为凸的（C） f(x)单调增加，曲线 y=f(x)为凹的（D）f(x)单调减少，曲线 y=f(x)为凹的12 下列函数中，在给定区间上满足罗尔定理条件的是( )（A）f(x)= ，-1 ，1（B） f(x)=xe-x，1，1（C） f(x)= ，-1，1（D）f(x)=|x| ，-1 ，113 设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a 处取得极大值，则函数 F(x)=f(x)g(x)在 x=a 处( )（A

4、）必取得极大值（B）必取得极小值（C）不可能取得极值（D）是否取得极值不能确定14 设 dx=x2+C，则 f(x)=( )（A）2x（B） e2x（C） ln2x（D）x 215 定积分 cos5xdx=( )（A）815（B） 415（C） 415（D）016 曲线 y=0x(t-1)(t-2)dt 在点(0，0)处的切线方程是( )（A）x=0（B） y=2x（C） y=0（D）y=x+117 设 f(x)在0，1上连续，且 01f(x)dx=2，则 f(cos2x)sin2xdx=( )（A）2（B） 3（C） 4（D）118 下列广义积分收敛的是( )19 下列四组角中，可以作为一条

5、有向直线的方向角的是( )（A）30，45，60（B） 45，60 ，60（C） 30，90 ，30（D）0，30，15020 设直线 l 为 ，平面 为 4x-2y+z-2=0，则( )（A）直线 l 平行于平面 （B）直线 l 在平面 上（C）直线 l 垂直于平面 （D）直线 l 与平面 斜交21 设 z=xy2+ |(0，1) =( )（A）-1（B） 0（C） 1（D）222 设 z=arctan ，则 dz=( )23 函数 z=x3-y3+3x2+3y2-9x 的极小值点为( )（A）(1 ，0)（B） (1，2)（C） (-3，0)（D）(-3，2)24 交换二次积分的积分次序，

6、则 -10dy1-y2f(x，y)dx=( )（A） 12dx1=x0f(x，y)dy（B） -10dx1-x2f(x，y)dy（C） 12dx01-xf(x，y)dy（D） -10dx21-xf(x，y)dy25 设 D 是圆周 x2+y2=2ax，(a0) 与直线 y=x 在第一象限内围成的闭区域，则f(x，y)d=( )26 设曲线积分 L(x4+4xyp)dx+(6xp-1y2-5y4)dy 与路径无关，则 p=( )（A）3（B） 2（C） 1（D）-127 数项级数 是( )（A）绝对收敛级数（B）条件收敛级数（C）发散级数（D）敛散性不定的级数28 设幂级数 an(x-1)n 在

7、 x=-1 处条件收敛，则级数 an( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不能确定29 微分方程 dy=x(2ydx-xdy)的通解为( )（A）x 2+y2=Cx（B） y=C(1+x2)（C） y2=C(1+x2)（D）y 2=Cx2+xy30 微分方程 y“-4y+4y=(2x+1)ex 的特解可设为( )（A）y *=(ax+b)ex（B） y*=x(ax+b)ex（C） y*=ax2ex（D）y *=x2(ax+b)ex二、填空题31 设函数 f(x)= ，则 fff(x)=_32 函数 y=logx-1(16-x2)的定义域为_33 34 函数 f(x)= 在 x

8、=0 处连续，则 a=_35 函数 f(x)=x 在0，3上满足罗尔定理条件的 =_36 函数 y=y(x)由方程 ln(x2+y)=x3y+sinx 确定，则 dydx| x=0=_37 y= (a0)，是 y=_38 曲线 y=xlnx 平行于直线 y=x+2 的切线方程为_39 f(x)=x3-3x2-9x 在-3，6上的最大值为_40 曲线 y=3x2-x2 的凸区间为_41 定积分 (cos4x+sin3x)dx=_42 点(2 ，3，1) 在直线 上的投影为_43 xyz=x+y+z，则 dz=_44 改变积分次序 01dx f(x，y)dy+ 13dx f(x，y)dy=_45

9、微分方程 y“+y+y=0 的通解为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 47 已知函数 y=x+xsinx，求 y48 求不定积分xtan 2xdx49 计算定积分50 设 x=xyf(yx)x ，其中 f(u)可导，求 x51 计算二重积分52 求幂级数 xn+1 州的和函数53 已知连续函数 f(x)满足 f(x)=03xf(t3)dt+e 2x，求 f(x)四、综合题54 一商店按批发价 3 元购进一批商品零售，若零售价定为每件 5 元，估计可售出100 件，若每件售价降低 02 元，则可多售出 20 件若需求函数(即售出量与价格间关系)是一次函数，请问该店应批发进多少件每件售

10、价多少才可获最大利润，量大利润是多少?55 过曲线=x 2(x0)上某点 A 作切线若过点 A 作的切线，曲线 y=x2 及 x 轴围成的图形面积为 112，求该图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积 V五、证明题56 设 In=tannxdx(n2)，证明：I n= tann-1x-In-2湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 因 ln(2-x)存在的条件为：2-x0；arcsin( -1)存在的条件为：-1 -11，求解以上两个不等式，可得：0x2，选项 C 正确2 【正确答案】 B【试题解

11、析】 因 f(x-2)=x2-4x-7，所以 f(x)=x2-11，故 f(x)为偶函数3 【正确答案】 C【试题解析】 因 x0 时，1-cosx x2，又 1-coosxax b，故 x2ax b，于是比较得：a=1 2，b=2，选项 C 正确4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 =-2f(1)，由已知，-2f(1)=2，故 f(1)=-1选项 C 正确6 【正确答案】 B【试题解析】 对方程两边同时微分，得：2 xyln2(ydx+xdy)=dx+dy ，于是 y(x)= ，注意到 x=0 时，y=1 ，故 y|x=0=(ln2-1)选项 B 正确7 【正确

12、答案】 A【试题解析】 ，于是点(0，1)处即 t=0 时，切线的斜率 k1=12，进而法线的斜率为 k2=- =-2，故所求法线方程为 y-1=(-2)(x-0)，即 2x+y-1=08 【正确答案】 C【试题解析】 因 y=e2arcosx e2arcosx，故选项 C 正确9 【正确答案】 B【试题解析】 选项 B 正确。10 【正确答案】 C【试题解析】 故曲线有垂直渐近线 x=-1，选项 C 正确11 【正确答案】 C【试题解析】 因 y=1- 0，x(0，+)，故 f(x)单调递增；又 y“=0，故曲线 y=f(x)为凹的曲线弧12 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A，由其定义

13、域知，f(x)在-1 ，13 上连续，又 f(x)= ，于是 f(x)在 (-1，1)内可导，且 f(-1)=1=f(1)，故选项 A 正确B 选项中，f(-1)f(1)；C 选项中，f(x) 在 x=1 处不在连续；D 选项中，f(x) 在 x=0 处不可导13 【正确答案】 D【试题解析】 如果取 f(x)=g(x)=-x2，则两者在 x=0 处皆取得极大值，而 f(x)g(x)=x4 在 x=0 处却取得极小值，于是选项 A、C 不正确；又若取 f(x)=-x2，g(x)=1-x 2，则 f(x)g(x) 在 x=0 处皆取得极大值，而 F(x)=f(x)g(x)=-x 2(1-x2)=

14、x4-x2，F(x)=4x3-2x=2x(2x2-1)=4(x2- ，F(x)0；故 F(x)=f(x)g(x)在 x=0 处取得极大值，选项 B 不正确，综上所述，选项 D正确14 【正确答案】 B【试题解析】 因 dx=f(lnx)d(lnx)=f(lnx)+C=x2+C，故f(lnx) =2x，f(lnx)=2x 2；令 lnx=t，则 f(t)=2e2t，故 f(x)=e2x+C15 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A 正确。16 【正确答案】 B【试题解析】 因 y=(x-1)(x-2)，于是 y|x=0=2，由导数的几何意义知，点(0，0)处的切线斜率为 k=2，进而切线方程为

15、：y=2x 选项 B 正确17 【正确答案】 A【试题解析】 10f(u)du=01f(u)du=01f(x)dx=2选项 A 正确18 【正确答案】 D【试题解析】 19 【正确答案】 B【试题解析】 任一有向直线的方向角 、 、 满足： cos2+cos2+cos2=1，经验证知，选项 B 正确20 【正确答案】 C【试题解析】 直线 l 的方向向量为：s= =-28i+14j-7k；平面 的法向量 n=4， -2，1=4i-2j+k故 sn，即直线 l 垂直于平面 选项 C 正确21 【正确答案】 D【试题解析】 因 z=xy2+ ，于是 f(x，1)=x+e x， |(0，1) =22

16、2 【正确答案】 C【试题解析】 从而，dz= (ydx-xdy)，选项 C 正确23 【正确答案】 A【试题解析】 因 z=x3-y3+3x2+3y2-9x，于是， =-3y2+6y，令=0，求解得驻点(1，0)、(1，2)，(-3 ，0)、(-3，2)，又=-6y+6；故对于点(1，0)：B 2-AC=0-126=-720，又 A=120，故(1，0)点为 f(x)的一个极小值点；对于点(1，2)：A=12，B=0 ，C=-6，B 2-AC=720，该点不为极值点；对于点(-3，0)：A=-12，B=0，C=6，B 2-AC=720，该点不为极值点；对于点(一 3，2)：A=-12，B=0

17、，C=-6，则 B2-AC=-720，而 A=-120，点(-3，2)为函数的极大值点综上所述，选项 A 正确24 【正确答案】 A【试题解析】 因已知积分的积分区域 D 为： ，如图积分区域 D 又可表示为：选项 A 正确25 【正确答案】 C【试题解析】 因积分区域 D 如图所示， 区域 D 可表示为：d02arcosf(rcosrsin)rdr，选项 C 正确26 【正确答案】 A【试题解析】 因 P(x，y)=x 4+4xyp，Q(x ，y)=6x p-1y2-5y4，由于积分与路径无关，于是有： ，即：4pxy p-1=6(p-1)xp-2y2，比较两边，得：p=3故选项 A 正确2

18、7 【正确答案】 A【试题解析】 因级数的绝对值级数为： 是p=21 的 p-级数，收敛；故由比较判别法知，绝对值级数收敛，即原级数绝对收敛28 【正确答案】 B【试题解析】 由于级数 an(x-1)n 在 x=-1 处条件收敛，根据幂级数的绝对收敛定理得知，级数 an(x-1)n 的收敛区间为：(-1，3) ：又 x=2 点在此区间内，故由 x=2得到的数项级数绝对收敛，即：级数 an 绝对收敛，选项 B 正确29 【正确答案】 B【试题解析】 原方程可化为： y，故原方程的通解为y= =C(1+x2)30 【正确答案】 A【试题解析】 因微分方程对应的特征方程为：r 2-4r+4=0，故有

19、特征根：r 1，2 =2，又自由项 f(x)=(2x+1)ex，=1 ， 不是特征根，故特解应设为：y *=(ax+b)ex，(a，b为待定常数)，选项 A 正确二、填空题31 【正确答案】 【试题解析】 32 【正确答案】 (1，2) (2，4)【试题解析】 y=log x-1(16-x2)，x-10 且 x-12；16-x 20整理 x1，x2；-4x4，取交集得(1，2)(2，4)33 【正确答案】 e 6【试题解析】 34 【正确答案】 0【试题解析】 35 【正确答案】 2【试题解析】 f(x)=x 在0，3 上满足罗尔定理条件，故至少存在一点(0， 3)使得 f()=0f(x)=

20、所以 f()= =0，得 =236 【正确答案】 1【试题解析】 令 F=ln(x2+y)-x3y-sinx，由方程可得 x=0，则 y=137 【正确答案】 【试题解析】 38 【正确答案】 y=x-1【试题解析】 设切点坐标为(x，y)，则 y=(xlnx)=lnx+1=1，得 x=1，代入曲线方程 y=xlnx；得 y=0故切线方程为 y=x-139 【正确答案】 54【试题解析】 f(x)=x 3-3x2-9x，x-3，6 f(x)=x 3-3x2-9=3(x-3)(x+1)，令 f(x)=0， x=3，x=-1 而 f(-1)=5，f(3)=-2 ，f(-3)=-27 ，f(6)=5

21、4 故最大值为 5440 【正确答案】 (1，+)【试题解析】 y=3x 2-x3，y=6x-3x 2，y“=6-6x，令 y“=0，得 x=1，当-x1 时，y“ 0，当 1x+时，y“0，故 f(x)的凸区间为 (1，+)41 【正确答案】 【试题解析】 42 【正确答案】 (-5，2，4)【试题解析】 过点(2，3，1)且与直线 垂直的平面方程为(x-2)+2(y-3)+3(z-1)=0，即 x+2y+3z-11=0，将直线的参数方程代入平面方程，有-7+t+2(-2+2t)+3(-2+3t)-11=0解得 t=2，再将之代入直线参数方程，得(-5，2，4)43 【正确答案】 (1-yz

22、)dx+(1-xz)dy【试题解析】 xyz=x+y+z，则 d(xyz)=d(x+y+z)，由全微分法则，yzdx+xzdy+xydz=dx+dy+dz，整理得：dz= (1-xz)dy44 【正确答案】 01dy f(x，y)dx【试题解析】 根据二次积分画画出积分区域图 D 原来是把 D 看做 X 型，现在我们把 D 看做 Y 型，再写出二次积分就改变了积分次序45 【正确答案】 【试题解析】 y“+y+y=0 对应的特征方程为 r2+r+1=0，其特征根为 r=- i，故微分方程通解为 y=三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 47 【正确答案】 y-x=x sin

23、x，ln(y-x)=sinxlnx ，方程两端 y 对 x 求导得48 【正确答案】 49 【正确答案】 令 x=-u，dx=-du ，x=-2 ，u=2 ，x=-250 【正确答案】 51 【正确答案】 由被积函数可知：该题必须先积 x52 【正确答案】 因 1 n，所以幂级数收敛半径为R=1，在端点 x=1 处，级数 都收敛，所以该级数收敛域为-1，1，设在收敛域内级数收敛于和 f(x)，即：=0xdx0x(1+x+x2+xn+1+)dx= 0xdx0x dx=-0xln(1-x)dx=0xln(1-xd(1-x)=(1-x)ln(1-x)|0x-0x(-1)dx=(1-x)ln(1-x)

24、+x，x(-1，1)53 【正确答案】 方程两端对 x 求导 f(x)=3f(x)+2e2x， 即：y=3y+2e 2x，为常系数一阶线性非齐次微分方程因特征根 r=3，所以齐次方程 y=3y 的通解为 Y=Ce3x，设y*=Ae2x 为原方程的特解，则 y*=2Ae2x，将 y*，y *代入方程 y=3y+2e2x，比较系数可得 A=-2，所以 y*=-2e2x，故原方程的通解为：y=Ce 3x-2e2x，当 x=0 f(x)=1，所以C=3，所以所求函数为 f(x)=3e3x-2e2x四、综合题54 【正确答案】 由已知，商品售出数 Q 与价格 p 之间的关系是一次函数，设Q=a+bp，p

25、=5 元时，Q=100 件；P=48 元时，Q=120 件，代入函数得 a=600，b=-100，所以需求函数 Q=600-100p，利润为 L=pQ-3Q=(P-3)(600-100p)L=900-200p 令 L=0 得唯一驻点 p=45故当零售价p=45 元，批进 Q|p=45 =150 件时，可获最大利润 225 元55 【正确答案】 设 A 点坐标(x 0，x 02)由 y=2x，得切线方程为 y-x02=2x0(x-x0)或x= 所以 x0=1，A(1，1)，切线方程为 2x-y-1=0 切线与 x 轴交点为 x=12于是五、证明题56 【正确答案】 I n=tann-2x( -1)dx=tann-2xdtanx-In-2= tann-1x-In-2