[考研类试卷]考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编11及答案与解析.doc

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1、考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则PX2Y 21（A）（B）（C）（D）2 设 X1，X 2，X 3 是随机变量，且 X1N(0，1)，X 2N(0，2 2)，X 3N(5，3 2)，piP 2X i2(i1，2，3)，则（A）p 1P 2p 3（B） p2p 1p 3（C） P3p 1p 2（D）p 1P 3p 23 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 和 Y 的概率分布分别为则 PXY2（A）（B）（C）（D）4 设

2、随机变量 X 的概率密度 f()满足 f(1)f(1 )，且 01f()d06，则PX0（A）02（B） 03（C） 04（D）055 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 N(，) 的简单随机样本， 是样本均值，记 则服从自由度为n1的 t 分布的随机变量是（A）（B）（C）（D）6 设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则（A）XY 服从正态分布（B） X2Y 2 服从 2 分布（C） X2 和 Y2 都服从 2 分布（D）X 2Y 2 服从分布7 设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n(n2)为来自该总体的简单随机样本则对于统计量 T1 和 T2 ，有

3、（A）ET 1ET 2，DT 1DT 2（B） ET1ET 2，DT 1DT 2（C） ET1ET 2，DT 1DT 2（D）ET 1ET 2，DT 1DT 28 设 X1，X 2，X 3，X 4 为来自总体 N(1，02)(0)的简单随机样本，则统计量的分布为（A）N(0 ，1)（B） t(1)（C） 2(1)（D）F(1，1)9 设 X1，X 2，X 3 为来自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，则统计量 S的分布为（A）F(1，1)（B） F(2，1)（C） t(1)（D）t(2)10 设总体 XB(m，)，X 1，X 2，X n 为来自该总体的简单随机样本， 为样本均值，则 E （

4、A）(m 1)n(1)（B） m(n1)(1 一 )（C） (m1)(n 1)(1 )（D）mn(1) 11 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(，1)的简单随机样本，记则下列结论中不正确的是（A） (Xi 2)2 服从 2 分布（B） 2(Xn 一 X1)2 服从 2 分布（C） 服从 2 分布（D）n( ) 2 服从 2 分布12 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(， 2)(0)的简单随机样本 令，则（A） t(n) （B） t(n1)（C） t(n)（D） t(n1)二、填空题13 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N(0，3 2)，而 X1，X

5、 2，X 9和 Y1，Y 2，Y 9 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本则统计量 U服从_分布，参数为_14 设 X1，X 2，X 3，X 4 是来自正态总体 N(0，2 2)的简单随机样本， Xa(X 12X 2)2b(3X 34X 4)2则当 a_，b_时，统计量 X 服从 2 分布，其自由度为_15 设总体 XN(0，2 2)，而 X1，X 2，X 16 是来自总体 X 的简单随机样本，则随机变量服从_分布，参数为_16 设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时，Y n 依概率收敛于_17 设 X1，X 2，X m

6、 埘为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本， 和 S2 分别为样本均值和样本方差记统计量 T S 2，则 ET_18 设 X1，X 2，X n 是来自总体 N(， 2)(0)的简单随机样本记统计量 T则 ET_19 设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数，X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本若 E(c X12) 2，则c_20 设总体 X 服从正态分布 N(1， 2)，总体 Y 服从正态分布 N(2， 2)，X1，X 2， 和 Y1，Y 2， 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设随机变量 X 的概

7、率密度为 F()是 X 的分布函数求随机变量 YF(X)的分布函数22 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 UXY 的概率密度 g(u)23 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求：()(X，Y) 的边缘概率密度fX()，f Y(y)； ( )Z 2XY 的概率密度 fZ(z)； () 24 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为()求 PX2Y； ()求ZX Y 的概率密度 fZ(z)25 设随机变量 x 与 y 相互独立，X 的概率分布 PXi (i1，0，1)，Y 的概率密度为 fY(y) ，记 ZXY ()求 PZ X0； (

8、)求 Z 的概率密度 fZ(z)26 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 ()求条件概率密度 fYX (y)； ()求条件概率 PX1Y127 袋中有 1 个红球、2 个黑球与 3 个白球现有放回地从袋中取两次，每次取一个球以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数()求 PX1Z 0 ；()求二维随机变量 (X，Y) 的概率分布28 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(，y)A ， ， y， 求常数 A 及条件概率密度fY X(y)29 设二维随机变量(X，Y)服从区域 G 上的均匀分布，其中 G 是由y0，y2 与 y 0 所围成的三角形区域 ()求 X 的概率

9、密度 fx()； ()求条件概率密度 fXY ( y)30 是二维随机变量，X 的边缘概率密度为 在给定 X(0 1) 的条件下 Y 的条件概率密度为()求(X，Y) 的概率密度 f(，y)； ()求Y 的边缘概率密度 fY()； () 求 PX2Y31 设二维随机变量(X，Y)在区域 D(，y) 0 1， 2y 上服从均匀分布，令 ()写出(X，y) 的概率密度； ()问 U 与 X 是否相互独立?并说明理由； ( )求 ZUX 的分布函数 F(z)32 设 X1，X 2，X 9 是来自正态总体 X 的简单随机样本， Y 1 (X1X 6)，Y2 (X7X 8X 9) 证明统计量 Z 服从自

10、由度为 2 的 t分布33 设总体 X 的概率密度为 其中 (0，)为未知参数，X 1，X 2，X 3 为来自总体 X 的简单随机样本，令 TmaxX 1，X 2，X 3 ()求 T 的概率密度； ()确定 a，使得 E(aT)考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 X，Y 的概率密度分别为又由 X 与 Y 独立，知(X ， Y)的概率密度为 f(，y)f X().fY(y) 则PX2Y 21 (D 件下图所示)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试

11、题解析】 P 1P2X 12(2)( 2) 2(2)1 p 2P2X 22(1)( 1)2(1)1 p 3P(2X 32)(1)( )( )(1) 这儿 ()，是服从 N(0，1)分布的随机变量的分布函数， (2)(1)，故 p1p 2； 又 (1)08413，而 ( )1，可得 p2p 3，故选 A【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 P(X Y2) P(X 1，Y1)P(X2，Y0)P(X3，Y1) P(X1)P(Y1) P(X2)P(Y 0)P(X3)P(Y1) 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(1)f(1 )对于任意 ，可

12、知 yf() 的图形关于直线 1 对称，于是有：对于任意 a，有 1-a1f()d 11+af()d， 取 a1，得 01f()d 12f()d； 令 a，得 1f()d 1 f()d 于是：06 02f()d 01f()d 12f()d2 01f()d， 01f()d03又 1 f()d 1f()d 1 f()d2 1f()d 1f()d05 故 P(X0) 0f()d 1f()d 01f()d050 302【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 由已知知： 又由 2(n1)，且 S22 与 独立，故由 t 分布的构成知：故选 B【知识模块】 概率论与数理统计6 【正

13、确答案】 C【试题解析】 XN(01)，YN(0 1) X 2 2(1)，Y 2 2(1)，故洗 C【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 X1，X 2，X n 独立同分布，EXiDX i，i1，2，n故：可见ET1ET 2，DT 1DT 2，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 由题意得：E(X 1X 2)EX 1EX 2110，D(X 1X 2)DX 1DX 2 2 22 2， X 1X 2N(0，2 2) 同理，E(X 3E 4)EX 3EX 4112，D(X 3X 4)DX 3DX 4 22， X 3X 4N(2 ，2

14、 2)又X 1X 2 与 X3X 4 独立，故【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 由题意可知：X 1X 2N(0，2 2)， N(0 ，1) 又：N(0 ，1)， 2(1)且 X3 与 X1X 2 独立，故 即 St(1)，故选C【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 B【试题解析】 由题意，X nX 1N(0 ，2)，所以 N(0 ，1) 得 (XnX 1)2 2(1)，可见选项 B 结论“不正确”，就选 B【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 B【试题解析】 又： 2(n1)，且 与 S2

15、 独立， t(n1)， 即 t(n 1)，故选 B【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题13 【正确答案】 t；9【试题解析】 9981 N(0，1)(由正态分布的线性不变性得 ) 又Y jN(0，3) 2， N(0 ，3)j1， ，9 且相互独立， 故由 2 分布的构成得： 2(9) 而相互独立，由 t 分布的构成得： 即Ut(9)【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 ；2【试题解析】 E(X 12X 2)EX 12EX 20 D(X 12X 2)DX 14DX 244420 E(3X 34X 4)3EX 34EX 430 400 D(3X34X 4)9DX 316DX 494

16、164100 得，且相互独立， 由 2 分布的构成知：与题目的 X 比较即得结果【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 F ；(10 ，5)【试题解析】 由题意知 XiN(0 ，2 2)， N(0 ，1)，i 1，2，15且都相互独立则由 2 分布的构成知： 且二者独立 故由 F 分布的构成得： 即YF(10，5)【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 由题意，X 1，X 2，X n 独立且均服从参数为 2 的指数分布，因此有 EXi ， DXi ， E(X i)2DX i(EX i)2 ，i1，2，n 并且 X12，X 22；，X n2 是独立同分布的，故由

17、辛钦大数定律知： e0，有 即(n) 故填 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 np 2【试题解析】 设总体为 X，则知 XB(n，p)，且 EXnp，DXnp(1p) Enp，ES 2np(1p)， 故 ETE ES 2npnp(1p)np 2【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 2 2【试题解析】 由题意知 EXi，DX i 2， EX i2DX i(EX i)2 2 2，i1，2，n 故 ET EXi2 2 2【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 由题意得：9 故 c 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 2【知识模块】 概

18、率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 X 的分布函数 F() f(t)dt 当 1 时，F()0；当 8 时，F() 1 当 18 时，F() 故 F() 则 YF(X)的分布函数为：G(y) PYyPF(X)y 注意到 0F()1， (，)，得： y0 时，G(y) 0；y1 时，G(y)1； 当 0y1 时，G(y) P 1yPX(1y) 3F(1y) 31y 即 G(y)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设 Y 的分布函数为 FY(y)，由全概率公式，知 U 的分布函数为 G(u)P(Uu) PX YuPX 1PXYu X1P

19、X 2PXYu X2 03P1 十 YuX107P2Yu X2 因为 X 与Y 相互独立，故 G(u) 03Pyu 1 07PYu2 03F Y(u1)07F Y(u2) 故 g(u)G(u)03F Y(u1)07F Y(u2)03f(u1)07f(u2)【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 ()f X() f(，y)dy 当 0 或 1 时，f X()0； 当 01 时，f () 021dy2 故 f() 同理，f Y(y) f(，y)d 当 y0或 y2 时，f Y(y)0； 当 0y2 时，f Y(y) 故 fY(y)(积分的讨论和定限可参考图(a) ()Z 的分布函数为：

20、FZ(z) PZzP2XYz f(，y)ddy 当 1 即 z2 时，F Z(z)1，f Z(z)F Z(z)0(参见图(b) 当 0 即 z 0 时，F Z(z)0，f Z(z)F Z(z)0(参见图 (c) 当 0 1 即 0z2 时， F Z(z)fZ(z)F Z(z)1 (参见图(d) 故 fZ(z)【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 ()P(X2Y) ()fZ f(，z)d ，而于是，f Z(z) 01f(，z)d z0 时，f Z(z)0；0z1 时，f Z(z) 0z(2z)d z(2 z) 1z2 时f Z(z) z-11(2z)d (2z) 2；z2 时，f Z

21、(z)0，故【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 ()PZ X0 PX Y X0 P0 Y X0 ()Y 的分布函数为：F Y(y)Z 的分布函数为 F Z(z)PZzPXyz PXYz XiPXi P1YzX 1. P0YzX0.P1Yz X1. PYz1PYzPYz 1 FY(z1)F Y(z)F Y(z1)故 fZ(z)F Z(z)【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 () 由题意，关于 X 的边缘概率密度为： fX() f(，y)dy 当 0 时，f X()0； 当 0 时，f X() 0e dye 即 fX()故当 0 时， f YX (y)(其中 G、D 区

22、域分别见图(a)，(b) 故 PX1Y1【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 () 由 P(Z0) ， P(X1，Z0)P(X1Z0) ()X 和 Y可能取得值均为：0，1，2得：【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 关于 X 的边缘概率密度为：得：1 fX()d A 故 A 当时， fY X(y) ，y【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 G 的面积 SG 211，故(X，Y) 的概率密度为：()f X() f(，y)dy 0 或 2 时，f X()0； 0 1 时，f X() 0dy ； 12 时，f X() 02 dy2()关于 Y 的边缘概率密度为：

23、f Y(y) f(，y)d y0 或 y1 时，f Y(y)0； 0y 1 时，f Y(y) y2-yd2(1y) fY(y) 故 0y1 时，【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 ()f(，y)f X()fYX (y)()f Y(y) f(，y)d y0或 y1 时，f Y(y)0； 0y1 时，f Y(y) y1 d9y 2lny【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 () 区域 D 如图(a)，面积为 SD ，由题意，(X，Y) 的概率密度为 ()由题意，P(U0)P(U0)P(XY) D1见图(b)G见图 C 而 P(U0，X )P(XY，X ) G1 见图(d)

24、 可见 P(U0，X)P(U0) ， 故 U 与 X 不独立 ()F(z)P(Zz)P(UXz)P(UXz ，U0)P(U Xz，U1)P(Xz，X Y)P(Xz1，Xy) 可见，z， G 2 见图(e) 故 F(z) z2z 3； 1z 2 时，P(Xz，XY) P(XY) ， 这时0z1 1，有 P(Xz1，XY) G3 见图(f) 所以 F(z)【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 由题意可设 XN(， 2)，得：故 E(Y1Y 2)0，D(Y 1Y 2)DY 1DY 2 Y1Y 2N(0， )，N(0，1) 而 S2 是由样本 X7，X 8，X 9 构成的样本方差，可知2 2(2)，且 S2 与 Y1 与 Y2 都独立，故与 Y1Y 2 独立， 于是由 t 分布的构成得：t(2) 即 Zt(2) 【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 () 先求总体 X 的分布函数 F() f(t；)dt 0 时，F()0； 时，F() 1； 0 时，F() ，所以再求 T 的分布函数 FT(t) FT(t)P(Tt)Pmax(X 1，X 2，X 3)t PX 1t，X 2t，X 3tPX 1t3于是，T 的概率密度为 f T(t)F T(t) ()由题意，E(T)ET tfT(t)dt可见 【知识模块】 概率论与数理统计