[考研类试卷]考研数学一（高等数学）模拟试卷62及答案与解析.doc

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1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 62 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（A）可导（B）不可导（C）不一定可导（D）不连续2 设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 等于( )（A）一 f“(a)（B） f“(a)（C） 2f“(a)（D） f“(a)3 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 =2，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值 （B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值

2、，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4 设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（A）一定可导（B）一定不可导（C）不一定连续（D）连续5 f(x)g(x)在 x0 处可导，则下列说法正确的是 ( )（A）f(x)，g(x) 在 x0 处都可导（B） f(x)在 x0 处可导，g(x)在 x0 处不可导（C） f(x)在 x0 处不可导，g(x) 在 x0 处可导（D）f(x)，g(x) 在 x0 处都可能不可导6 f(x)在 x0 处可导，则f(x)在 x0 处( )（A）可导（B）不可导（C）连续但不一定可导（D）不连续7 设 f(x)为二阶可

3、导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，则当 x0 时有( )（A）f“(x)0，f(x)0（B） f“(x)0，f(x)0（C） f“(x)0，f(x)0（D）f“(x)0，f(x)0二、填空题8 设 为 f(x)=arctanx 在0，a 上使用微分中值定理的中值，则 为_9 设两曲线 y=x2+ax+b 与一 2y=一 1+xy3 在点(一 1，1)处相切，则a=_，b=_。10 设函数 y= =_11 设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f(1)=一 2，则=_。12 设 f(x)=x2 ，则 f(x)=_13 设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=

4、0，又在(一 1，1)内 f(x)=x，则 f( )=_14 若 f(x)=2nx(1 一 x)n，记 Mn= =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 y= ，求 y16 设 x=x(t)由 sint 17 设 x3 一 3xy+y3=3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点18 设 f(x)= 求 f(x)的极值19 求 的最大项20 设 f(x)连续，(x)= 01f(xt)dt，且 =A，求 (x)，并讨论 (x)在 x=0 处的连续性21 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足 f(x)一 2ex(x 一 1)2，研究函数 f(x

5、)在 x=1 处的可导性22 设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导， =2，求曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的曲率23 设 f(x)= 且 f“(0)存在，求 a，b，c 24 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0)=0，f( )=1，f(1)=0 证明： (1)存在 ( ，1)，使得 f()=； (2)对任意的 k(， +)，存在 (0，)，使得 f()一 kf()一 =125 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且f(x)dx，证明：存在 (0，2)，使得 f()+f“()=026 设 f(x)在0，1上可导， f(0)=0，f(x)

6、f(x)证明：f(x)=0，x0 ，127 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ， (a，b)，使得2e2=(ea+eb)f()+f()28 设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 =一 1证明：存在 (0，1)，使得f“(829 一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于430 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)1(x 0，1)，又 f(0)=f(1)，证明： f(x) (x0，1)31 设 f(x)在( 一 1，1)内二阶连续可

7、导，且 f“(x)0证明： (1)对(一 1，1)内任一点x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf(x)x； (2) 32 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0证明：存在 (a，b)，使得 f“() f(b)一 f(a)33 f(x)在_一 1，1上三阶连续可导，且 f(一 1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：存在(一 1，1)，使得 f“()=3考研数学一（高等数学）模拟试卷 62 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 x=a 处可导

8、，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当xa 时，有 f(x)0，于是=f(a)，即f(x)在 x=a 处可导，同理当f(a)0 时，f(x)在 x=a 处也可导，选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 f“(0)=20，故 f(0)为 f(x)的极小值，选(B)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以=f(a)，即 f(x)在 x=a 处右连续，同理由 f(x)在x=a 处左可导，得 f(x)在 x=a 处左连续，故 f(x)在 x=a 处连续，

9、由于左右导数不一定相等，选(D) 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)= 显然 f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但 f(x)g(x)一 1 在任何一点都可导，选(D) 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)在 x0 处可导得f(x) 在 x0 处连续，但f(x) 在 x0 处不一定可导，如 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x) = x在 x=0 处不可导，选(C)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(一 x)=一 f(x)，f(一 x)=f(x)，

10、f(一 x)=一 f“(x)，即 f(x)为偶函数，f“(x)为奇函数，故由 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，得当 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，选(A)【知识模块】 高等数学二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 3，3【试题解析】 因为两曲线过点(一 1，1)，所以 b 一 a=0，又由 y=x2+ax+b 得，且两曲线在点(一 1，1)处相切，则 a 一 2=1，解得 a=b=3【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】

11、2x(1+4x)e 8x【试题解析】 得 f(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 因为在(一 1，1)内 f(x)=x，【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 x 3 一 3xy+y3=3 两边对 x 求导得【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 当x(0，e)时，f(x)0；当 x(e，

12、+) 时，f(x) 0，则 x=e 为 f(x)的最大点，【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e 当 x1 时，不等式两边同除以x 一 1，得【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 (1)令 (x)=f(x)x，(x)在0，1上连续， 0，(1)=一 10， 由零点定理，存在 ( ，1)，使得 ()=0，即 f()= (2)设 F(x)=e-kx(x)，显然 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 F(0)=F()=

13、0， 由罗尔定理，存在 (0，)，使得 F()=0，整理得 f()一 kf()一 =1【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由罗尔定理，存在 x0(c， 2) (1，2)，使得 f(x0)=0 令 (x)=exf(x)，则 (1)=(x0)=0， 由罗尔定理，存在 (1，x 0) (0，2)，使得 ()=0， 而 (x)=exf(x)+f“(x)且 e0，所以f()+f“()=0【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而f(x)在0， 1上连续，故 f(x)在0，1上取到最大值 M，即存在 x00，1，使得f(x 0)=M

14、当 x0=0 时，则 M=0，所以 f(x)0，x0，1； 当 x00 时，M=f(x 0)=f(x 0)一 f(0)=f()x 0f() ， 其中(0， x0)，故 M=0，于是 f(x)0，x0 ，1【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得即 2e2=(ea+eb)ef()+f()，或 2e2=(ea+eb)f()+f()【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0)=f(1)=0， =一 1，由闭区间上连续函数最值定理知， f(x)在0，1取到最小值且

15、最小值在(0，1) 内达到，即存在 c(0，1)，使得 f(c)=一 1，再由费马定理知f(c)=0，根据泰勒公式所以存在(0， 1)，使得 f“()8【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)=0，S(0)=0，S(1)=1，S(1)=0由泰勒公式两式相减，得 S“(2)一 S“(1)=一 8S“( 2)+S“( 2)8 当S“( 1)S“( 2)时，S“( 1)4；当S“( 1)S“( 2)时，S“( 2)4【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 由泰勒公式得【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 (1)对任意 x(一 1，1)，根据微分中值定

16、理，得 f(x)=f(0)+xf(x)x，其中 0(x)1 因为 f“(x)C(一 1，1) 且 f“(x)0，所以 f“(x)在(一 1，1)内保号，不妨设 f“(x)0， 则 f(x)在(一 1，1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的 (2)由泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ ，其中 介于 0 与 x 之间， 而f(x)=f(0)+xf(x)x，所以有【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 由泰勒公式得【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 由泰勒公式得两式相减得 f“(1)+f“(2)=6 因为 f(x)在 一 1，1 上三阶连续可导，所以 f“(z)在1， 2上连续，由连续函数最值定理，f“(x)在 1， 2上取到最小值 m 和最大值M，故 2mf“(1)+f“(2)2M，即 m3M由闭区间上连续函数介值定理，存在1， 2 (一 1，1)，使得 f“()=3【知识模块】 高等数学