[考研类试卷]考研数学一（高等数学）模拟试卷28及答案与解析.doc

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1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y(x)是微分方程 y“(x 一 1)yx 2ye x 满足初始条件 y(0)0，y(0)1 的解，则 ( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在2 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 2y一 3y(2x1)e x 的特解形式为( )（A）(axb)e x（B） x2ex（C） x2(ax b)ex（D）x(axb)e x3 设 1(x)， 2(x)， 3(x)为二阶非齐次线性方程 y“a 1(x)ya 2(x)yf(x) 的三个线性无关解，则该方程的通解

2、为( )（A）C 11(x) 2(x)C 23(x)（B） C11(x)一 2(x)C 23(x)（C） C11(x) 2(x)C 21(x)一 3(x)（D）C 11(x)C 22(x) C33(x)，其中 C1C 2C 31二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 设 f(x)是连续函数4 求初值问题 的解，其中 a0；5 若f(x)k，证明：当 x0 时，有6 设有微分方程 y一 2y(x)，其中 ，在(一 ，)求连续函数y(x)，使其在 (一，1)及(1，)内都满足所给的方程，且满足条件 y(0)07 设 f(x)二阶连续可导，f(0)0，f(0) 1，且xy(xy)一 f

3、(x)ydxf(x)x 2ydy0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解8 利用变换 xarctant 将方程 化为 y 关于 t的方程，并求原方程的通解9 设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)2f(x)一 一 3x2，求 f(x)10 设二阶常系数线性微分方程 y“aybyce x 有特解 ye 2x(1 x)e x，确定常数 a，b，c，并求该方程的通解11 12 设函数 f(x)在0，)内可导，f(0) 1，且 (1)求 f(x)；(2) 证明：当 x0 时，e x f(x)113 设 yy(x) 二阶可导，且 y0，xx(y) 是 yy(x)的反函数(1)将 xx(y)所满

4、足的微分方程 变换为 yy(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)0，y(0) 的解：14 14 设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 yf(x)，x1，xa(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 a2f(a)一 f(1)若 f(1) ，求：15 f(x)16 f(x)的极值16 设函数 f(x)满足 xf(x)一 2f(x)一 x，且由曲线 yf(x)，x1 及 x 轴(x0) 所围成的平面图形为 D若 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：17 曲线 yf(x)18 曲线在原点处的切线与曲线及直线 x1 所围成的

5、平面图形的面积19 位于上半平面的上凹曲线 yy(x)过点(0，2) ，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x ，y) 处的曲率与 及 1y 2之积成反比，比例系数为 ，求 yy(x)20 设 yy(x) 是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 ，又此曲线上的点(0，1) 处韵切线方程为 yx1，求该曲线方程，并求函数 y(x)的极值20 飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 00)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v21 求导弹运行的轨迹满足；的微分方程及初始条件；22 导弹运行方程 23

6、 细菌的增长率与总数成正比，如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到400，求前 12 小时后的细菌总数24 某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 问至多经过多少年，湖中污染物 A 的含量降到 m0 以内(设湖中 A 的浓度是均匀的)?25 在 t0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15 gL，用管子以2Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合

7、液又由管子以 2 Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1 Lmin 的速度输出，求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程26 某人的食量是 2500 卡天，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10 000 卡，求该人体重怎样随时间变化27 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂 10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?28 质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正

8、比，和质点的运动速度成反比，在 t10s 时，速度等于 50 cms外力为 392 cm s 2，问运动开始1min 后的速度是多少?29 设非负函数 f(x)当 X0 时连续可微，且 f(0)1由 yf(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 yf(x)在0，x 上弧的长度相等，求 f(x)30 设函数 f(x)二阶连续可导，f(0) 1 且有求 f(x)31 高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 ，已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为 09，问高度为 130 的雪堆全部融化需要多少时间(其中长度单位是 cm，时间单位为 h)

9、?32 早晨开始下雪，整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2 km，到下午 4 点又扫雪 1 km，问降雪是什么时候开始的?33 设 A 从原点出发，以固定速度 v0 沿 y 轴正向行驶， B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 v1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程34 飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v0(ms) ，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 kx(kgs2m 2)，在垂直方向的比例系数为ky(kgs2m 2)设飞机的质量为 m

10、(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间考研数学一（高等数学）模拟试卷 28 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 微分方程 y“(x 一 1)yx 2ye x 中，令 x0，则 y“(0)2，【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 D【试题解析】 方程 y“一 2y一 3y(2x1)e x 的特征方程为 2 一 2 一 30，特征值为 1一 1， 23，故方程 y“一 2y一 3y(2x 1)e x 的特解形式为 x(axb)ex ，选(D)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1(x)， 2

11、(x)， 3(x)为方程 y“a 1(x)ya 2(x)yf(x) 的三个线性无关解，所以 1(x)一 3(x)， 2(x)一 3(x)为方程 y“a 1(x)ya 2(x)y0 的两个线性无关解，于是方程 y“a 1(x)ya 2(x)yf(x)的通解为 C11(x)一 3(x)C 22(x)一 3(x) 3(x) 即 C11(x)C 22(x)C 33(x)，其中 C31 一 C1 一 C2或 C1C 2C 31，选(D)【知识模块】 高等数学部分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 yay f(x)的通解为 由 y(0)0 得C0，

12、所以【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 当 x0 时，【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 当 x1 时，y一 2y2 的通解为 yC 1e2x 一 1，由 y(0)0 得11，ye 2x 一 1；当 x 1 时，y一 2y0 的通解为 yC 2e2x，根据给定的条件，y(10)C 2e2y(1 一 0)e 2 一 1，解得 C21 一 e2 ，y(1 一 e2 )e2x，补充定义y(1)e 2 一 1，则得在(一 ，)内连续且满足微分方程的函数【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 令 P(x，y)xy(xy)一 f(x)y，Q(x ，y) f(x) x 2y，因为xy(x

13、y)一 f(x)ydxf(x) x 2ydy0 为全微分方程，所以 ，即 f“(x)f(x)x 2，解得 f(x)C 1cosxC 2sinxx 2 一 2，由 f(0)0，f(0)1 得 C12，C 21，所以f(x)2cosxsinxx 2 一 2原方程为xy 2 一(2cosx sinx)y2ydx (一2sinx cosx2xx 2y)dy0，整理得 (xy 2dxx 2ydy)2(ydxxdy)一2(ycosxdxsinxdy) (一 ysinxdxcosxdy) 0，即，原方程的通解为 x2y22xy 一2ysinxycosxc 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【知识模

14、块】 高等数学部分9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 将 ye 2x(1x)e x 代入原方程得 (42ab)e 2x(32ab)ex(1ab)xe xce x，则有 原方程为y“一 3y2y一 ex原方程的特征方程为 2 一 320，特征值为11， 22，则 y“一 3y2y0 的通解为 yC 1exC 2e2x，于是原方程的通解为yC 1exC 2e2xe 2x(1x)e x【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 代入原方程得y“一 y sinx，特征方程为 r2

15、一 10，特征根为 r1，2 1，因为 i 不是特征值，所以设特解为 y*acosxbsinx，代入方程得 a0， b ，故 y* ，于是方程的通解为 yC 1exC 2ex 一 ，由初始条件得 C11，C 21，满足初始条件的特解为 ye xex 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学

16、部分20 【正确答案】 因为曲线是上凸的，所以 y“0，由题设得【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据题意得【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 设 t 时刻细菌总数为 S，则有 ks，S(0)100，S(24)400，【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 设从 2000 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 ，任取时间元素t，tat，排入湖中污染物 A 的含量为 ，流出湖的污染物 A 的含量为 ，则在此时间元素内污染物 A 的改变量

17、为 解得 ，又由 m(0)5m 0，得 C ，于是 ，令 mm 0，得 t6ln3，即至多经过 7 年，湖中污染物 A 的含量不超过 m0【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m1(t)，m2(t)，在时间t ，tdt内有 ，即 ，且满足初始条件m1(0)150，解得 m1(t) ；在时间t，tdt 内有dm2 ，即 ，且满足初始条件 m2(0)150【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 输入率为 2 500 卡天，输出率为(1 20016w)，其中 w 为体重，【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 设链条的线密度为

18、，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10x)m ，另一段长度为(8 一 x)m，此时链条受到的重力为 (10x)g 一(8 一 x)g2(x 1)g 链条的总重量为 18，由牛顿第二定理 Fma 得 解得x(t) ，当链条滑过整个钉子时，x8，由得 【知识模块】 高等数学部分28 【正确答案】 由题意得 ，因为当 t10 时，v50，F 392，所以k196，从而 ，又因为 ，所以 ，分离变量得vdv196tdt，所以 ，由 ，得 C一 8 550，于是【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 根据题意得 所以分离变量得 ，积分得 ，或者 ，由

19、 y(0)1，得 C1，所以，解得【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 两边对 x 求导得 f“(x)3f(x)2f(x) e x ，由 2320 得 1一 1， 2一 2，则方程 f“(x)3f(x)2f(x)0 的通解为 C1ex C 2e2x 令 f“(x)3f(x)2f(x)e x的一个特解为 y0axe x ，代入得 a1，则原方程的通解为 f(x)C 1ex C 2e2x xe x 由 f(0)1，f(0)一 1 得 C10，C 21，故原方程的解为 f(x)e 2x xe x 【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)a(t一 T)，又 bH(t)sct，【知识模块】 高等数学部分33 【正确答案】 设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则 ，即【知识模块】 高等数学部分34 【正确答案】 水平方向的空气阻力 Rxk xv2，垂直方向的空气阻力 Ryk yv2，摩擦力为 W (mg 一 Ry)，由牛顿第二定律，有【知识模块】 高等数学部分