[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷413及答案与解析.doc
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1、考研数学(数学一)模拟试卷 413 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时,f(x)=In(1+x)-(ax 2+g(x)与 g(x)=xtan x 是等价的无穷小,则常数 a,b的取值为(A)a= ,b=1(B) a= ,b=1(C) a= ,b=-1(D)a= ,b=-12 使函数 f(x)=x3+ax+b 在区间(-,+)内只有一个零点 x0(且 x00)的常数 a,b 的取值范围是(A)a0, b1)是取自总体 X 的简单随机样本,且 DX=20, 为样:均值,则 Xn- 与 的相关系数为(A)-1(B) 0(C)(D)二、填空题9
2、设当 x0 时,(x)= -1 与 (x)= 是等价的无穷小,则常数=_10 微分方程 tan ydx-(1+ex)sec2ydy=0 满足条件 y(0)= 的特解为_11 函数 z=x(x,y)由方程 y=xf(z)+(y,z)确定,其中 f, 分别具有连续的导数和偏导数,且 xf+z0,则 =_12 设曲面为 z= ,则 (x2+y2+z2-3xyz)ds=_13 设三维列向量 1, 2, 3 线性无关,且向量1=1+22+33, 2=2+3, 3=1+3,则秩 r(1, 2, 3)=_14 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X 服从正态分布 N(0,1),Y 在区间-1,3上服从均匀
3、分布,则概率 Pmax(X,y)0=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 x(0,+),证明:16 记 f(x)= ,试求函数 f(x)在0,+) 内的值域17 试利用变量代换 x=cost 将微分方程(1-x 2) 化为关于 y,t 的方程,并求原方程的通解17 设二元函数 f(x,y)在单位圆区域 x2+y21 上有连续的偏导数,且在单位圆的边界曲线上取值为零,f(0,0)=118 令 x=rcos,y=rsin,证明 xfx(x,y)+yf y(x,y)=19 求极限 ,其中区域。为圆环域 2x2+y21.20 计算曲线积分 其中曲线 L 是沿单位圆 x2+y2=
4、1 的上半圆周从点 A(0,1)到 B(-1,0)的一段弧.21 将函数 f(x)=2+x-1x1) 展开成以 2 为周期的傅里叶级数,并由此求数项级数 的和21 设有非齐次线性方程组 ,已知 3 阶矩阵 B 的列向量均为此方程组的解向量,且 r(B)=222 求参数 k 的值及方程组的通解23 若 A 为此线性方程组的系数矩阵,求(AB) n24 设二次型 f(x,x,x)= -2x1x2-2x1x3+2ax2x3 通过正交变换化为标准形 f=,求常数 a,b 及所用正交变换矩阵 Q24 某商场销售某种型号计算机,只有 10 台,其中有 3 台次品,现已售出 2 台某顾客又来到该商场购买此种
5、型号计算机25 若该顾客只买 1 台,求他买到正品的概率26 若该顾客买 4 台,以 X,Y 表示 4 台计算机中次品数与正品数,求 4 台中次品数的数学期望,并求协方差 cov(X,Y) 26 设总体 X 的概率密度函数为 f(x)= 其中 0 为未知参数,又X1,X 2,X n 为取自总体 X 的一组简单随机样本27 求常数 k.28 求 的最大似然估计考研数学(数学一)模拟试卷 413 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查无穷小阶的问题见到确定无穷小阶的问题,就想“三法”等价无穷小代换定阶法、泰勒公式定阶法、求
6、导定阶法,此处用等价无穷小代换处理 g(x),用泰勒公式处理 ln(1+x)可快速求得结果解: x0 时,g(x)x 2由ln(1+x)=x- +o(x2),得 f(x)=x- +o(x2)-(ax2+bx)=(1-b)x-(a+ )x2+o(x2)由题设可知 1-b=0,-(a+ )=1,即有 b=1,a= 2 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查函数零点问题见到函数零点或方程实根以及两曲线交点的问题,就要先找函数再定区间,然后用零点定理,若还要研究个数,则必用函数的单调性及极(最) 值处理 解:因 f(x)在(-,+)内连续, f(x)=-, f(x)=+,故由零点定理可知 f(x)在(
7、- ,+)内至少有一个零点 又 f(x)=3x2+a,为使 f(x)只有一个零点,需 a0(保证 f(x)单调),而零点 x00,f(0)=b,故只要 b0 注:上述结果“a0 ,b0”只是 f(x)在(-,+)内只有一个负零点 x0的充分条件3 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查函数的单调性及定积分的几何意义首先要能够从所给图形看出 f(x):在包含 x=1, x=2 的区间内单调减少(因导函数图形在 x 轴下方),然后把 I1,I 2 写成定积分可得 解:由所给 y=f(x)的图形可知,f(x)在包含 x=1,x=2的区间内单调减少,故 f(1)f(2) 又 I 1=f(1)-f(0)
8、= f(x)dx,I 2=f(2)-f(1)= f(x)dx,由定积分几何意义及所给图形可看出,I 1I 24 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查傅里叶级数的狄利克雷收敛定理,只要能够根据题设条件判断出所得正弦级数是把 f(x)作奇延拓还是偶延拓以及相应的周期即可解:由题设条件可知本题要把 f(x)作奇延拓,周期为 2再由狄利克雷定理可画出正弦级数的和函数的部分图形如图所示,显然等式 f(x)= bnsinnx 成立的区间为0,)5 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查向量组间的线性表示问题,这需要由条件建立相应的线性表示式将矩阵 A,B 按列分块,再由矩阵乘法即可看出 解:记A=(1,
9、 2, n),B=( 1, 2, s),则由条件有( 1, 2, n)=(1, 2, s),即有 x111+x212+xn1=1, x1s1+x2s2+xnss=s可见矩阵 B 的每一个列向量均可由 A 的列向量组线性表示6 【正确答案】 C【试题解析】 本题求 A 的相似矩阵首先要清楚二次型的矩阵是实对称矩阵,而实对称矩阵必可相似对角化,且与其特征值为主对角线上元素的对角矩阵相似;另外要清楚可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数(重根计重数),那么问题便转化为求矩阵 A 的特征值上来了,这是求抽象矩阵的特征值问题 见到 n 阶矩阵 A 的多项式方程 f(A)=0,就知 A 的特征值满足方程
10、 f()=0 解:设 是矩阵 A的任意一个特征值, 是相应的特征向量,即 A=用 右乘题设等式条件,得 A 2+A=0, 即有( 2+)=0因口0,故有 2+=0,从而 =0 或 =-1又由矩阵 A 的秩为 2 可知,矩阵 A 的特征值为 0,-1,-1,实对称矩阵 A 必与以它的特征值 0,-1 ,-1 为主对角线元素的对角矩阵相似 注:实对称矩阵与以其特征值为主对角线元素的对角矩阵也是合同的7 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查已知正态分布求概率问题见到已知正态分布求概率问题,就要想到以下三点: 标准化; Px=Px= ( 为该正态分布的数学期望); 服从正态分布的随机变量 X 在数学
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