[考研类试卷]考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编21及答案与解析.doc
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1、考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 fff(x)等于( )(A)0。(B) 1。(C)(D)2 设数列x n与y n满足 xnyn=0,则下列断言正确的是 ( )(A)若x n发散,则y n发散。(B)若 xn无界,则y n必有界。(C)若 xn有界,则y n必为无穷小。(D)若1 xn为无穷小,则y n必为无穷小。3 “对任意给定的 (0,1),总存在正整数 N,当 nN时,恒有|x na|2” 是数列xn收敛于 a 的( )(A)充分条件但非必要条件。(B)必要条件但非充分条件。(C
2、)充分必要条件。(D)既非充分条件又非必要条件。4 设a n,b n,c n均为非负数列,且 an=0, bn=1, cn=,则必有( )(A)a nb n 对任意 n 成立。(B) bnc n 对任意 n 成立。(C)极限 ancn 不存在。(D)极限 bncn 不存在。5 设函数 f(x)在(0,+)上具有二阶导数,且 f“(x)0,令 un=f(n)(n=1,2,) 则下列结论正确的是( )(A)若 u1u 2,则u n必收敛。(B)若 u1u 2,则u n必发散。(C)若 u1u 2,则u n必收敛。(D)若 u1u 2,则u n必发散。6 设函数 f(x)在(,+)内单调有界,x n
3、为数列,下列命题正确的是( )(A)若x n收敛,则f(x n)收敛。(B)若 xn单调,则f(x n)收敛。(C)若 f(xn)收敛,则x n收敛。(D)若f(x n)单调,则x n收敛。7 设 an0(n=1,2,),S n=a1+a2+an,则数列 Sn有界是数列a n收敛的( )(A)充分必要条件。(B)充分非必要条件。(C)必要非充分条件。(D)既非充分也非必要条件。8 设数列x n收敛,则( )9 设 a(x)=05xsinttdt,(x)= 0sinx(1+t)1t dt,则当 x0 时,(x)是 (x)的( )(A)高阶无穷小。(B)低阶无穷小。(C)同阶但不等价的无穷小。(D
4、)等价无穷小。10 设当 x0 时,(1cosx)ln(1+x 2)是比 xsinxn 高阶的无穷小,xsinx n 是比( 1)高阶的无穷小,则正整数 n 等于( )(A)1。(B) 2。(C) 3。(D)4。11 把 x0 +时的无穷小量 =0xcost2dt,= =sint3dt 排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是( )(A),。(B) , 。(C) , 。(D), 。12 当 x0 +时,与 等价的无穷小量是( )13 当 x0 时,f(x)=xsinax 与 g(x)=x2ln(1bx)是等价无穷小量,则( )(A)a=1 ,6=16。(B) a=1,b=
5、16。(C) a=1,6=16。(D)a= 1, b=16。14 已知当 x0 时,函数 f(x)=3sinxsin3x 与 cxk 是等价无穷小量,则( )(A)k=1,c=4。(B) k=1,c=4。(C) k=3,c=4。(D)k=3,c=4。15 设 cosx1=xsin(x),其中|(x)|2,则当 x0 时,(x) 是( )(A)比 x 高阶的无穷小量。(B)比 x 低阶的无穷小量。(C)与 x 同阶但不等价的无穷小量。(D)与 x 等价的无穷小量。16 当 x0 +时,若 ln(1+2x),(1cosx) 1 均是比 x 高阶的无穷小,则 的取值范围是( )(A)(2 ,+) 。
6、(B) (1,2) 。(C) (12,1)。(D)(0 ,12) 。17 设 a1x(cos 1),a 2= ),a 3= 1,当 x0 +时,以上三个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是( )(A)a 1,a 2,a 3。(B) a2,a 3,a 1。(C) a2,a 1,a 3。(D)a 3,a 2,a 1。18 (A)0。(B) 6。(C) 36。(D)。19 设 y=y(z)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=e3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解,则当 x0 时,函数 的极限( )(A)不存在。(B)等于 1。(C)等于 2。(D)等于 3。二、填空题20 若 x0 时
7、,(1ax 2)14 1 与 xsinx 是等价无穷小,则 a=_。21 当 x0 时,(x)=kx 2 与 (x)= 是等价无穷小,则k=_。22 23 24 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域具有二阶连续导数,且 f(0)0,f(0)0 ,f“(0)0。证明:存在唯一的一组实数 1, 2, 3,使得当 h0 时, 1f(h)+2f(2h)+3f(3h)f(0)=o(h 2)。26 试确定常数 A,B,C 的值,使得 ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3),其中 o(x3)是当x0 时比 x3 高阶的无穷小。27 当 x0 时
8、,1cosxcos2xcos3x 与 axn 为等价无穷小量,求 n 与 a 的值。28 设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=kx 3。若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小,求 a,b, k 的值。29 确定常数 a,b,c 的值,使30 考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)= 所以在整个定义域内 f(x)=0 或 f(x)=1,所以|f(x)|1,于是 ff(x)=1,从而 fff(x)=f(1)=1。【知识模块】 函数、极
9、限与连续2 【正确答案】 D【试题解析】 方法一:直接利用无穷小量的性质可以证明 D 是正确的。由yn=(xnyn)1x n 及 xnyn=0, 1x n=0 可知,y n 为两个无穷小之积,故y n亦为无穷小,应选 D。方法二:排除法。选项 A 的反例:x n=n,y n=1n 2 xnyn=1n=0 满足题设,但是 yn=0 不发散;选项 B 的反例:满足 xnyn=0,但yn不是有界数列;选项 C 的反例:x n=1n(n=1,2,)是有界数列,yn=1(n=1,2,),满足 xnyn= 1n=0 ,但y n不是无穷小;排除 A,B,C ,故选 D。【知识模块】 函数、极限与连续3 【正
10、确答案】 C【试题解析】 数列极限的定义:若对于任意给定的 0,总存在 N0,使得当nN 时|x na| ,则称数列x n收敛于 a。这里要抓住的关键是 要能够任意小,才能使|x na|任意小。 将本题的说法改成:对任意 1=2(0,2)0,总存在N10,使得当 nNN 1 时,有|x na| 2= 1,则称数列 xn收敛于 a。 由于1(0,2)可以任意小,所以 |xna| 能够任意小。故两个说法是等价的。【知识模块】 函数、极限与连续4 【正确答案】 D【试题解析】 方法一:推理法。由题设 bn=1,假设 bncn 存在并记为 A,则bncnb n=A,这与 cn=矛盾,故假设不成立,即
11、bncn 不存在。所以选项 D 正确。方法二:排除法。取 an=1n,b n=(n1)n,满足bn=1,而 a1=1,b 1=0,a 1b 1,A 不正确;取 bn=(n1)n,c n=n2,满足 cn=,而 b1=01=c 1,B 不正确;取an=1 n,c n=n2,满足 ancn=1,C 不正确。故选 D。【知识模块】 函数、极限与连续5 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A:设 f(x)=lnx,则 f(x)在(0,+) 上具有二阶导数,且 f“(x)0,u 1u 2,但u n=lnn)发散,排除 A;选项 B:设 f(x)=1x,则 f(x)在(0,+) 上具有二阶导数,且 f“(
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