[考研类试卷]考研数学二（二次型）模拟试卷7及答案与解析.doc

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1、考研数学二（二次型）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 二次型 TA 正定的充要条件是（A）负惯性指数为零（B）存在可逆矩阵 P，使 P-1APE（C） A 的特征值全大于零（D）存在凡阶矩阵 C，使 AC TC2 设二次型 f(1， 2， 3)X TAX，已知 r(A)2，并且 A 满足 A22A0则下列各标准二次型中可用正交变换化为厂的是( ) (1)2y 122y 22 (2)2y12 (3)2y 122y 32 (4)2y222y 32（A）(1)（B） (3)，(4)（C） (1)，(3)，(4) （D）(2)3 设 则（A）A

2、 与 B 既合同又相似（B） A 与 B 合同但不相似（C） A 与 B 不合同但相似（D）A 与 B 既不合同又不相似4 设 则（A）A 与 B 既合同又相似（B） A 与 B 合同但不相似（C） A 与 B 不合同但相似（D）A 与 B 既不合同又不相似5 A ，则( ) 中矩阵在实数域上与 A 合同（A）（B）（C）（D）二、填空题6 已知二次型 f(1， 2， 3) 12 22c 322a 122 13 经正交变换化为标准形y122y 32，则 a_ 7 设三元二次型 12 22 5322t 122 134 23 是正定二次型，则t_8 已知 A ，矩阵 BAkE 正定，则 k 的取值

3、为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 二次型 f(1， 2， 3)a 12a 22(a 1) 322 132 23 求 f(1， 2， 3)的矩阵的特征值 如果 f(1， 2， 3)的规范形为 y12y 22，求 a10 a 为什么数时二次型 123 222 322a 23 可用可逆线性变量替换化为2y123y 225y 32?11 已知 A 是正定矩阵，证明AE112 已知二次型 f(1， 2， 3) 124 224 322 122 134 23当 满足什么条件时 f(1， 2， 3)正定?13 已知二次型 f(1， 2， n)( 1a 12)( a) 2( na n1)

4、2a 1，a 2，a n 满足什么条件时 f(1， 2， n)正定?14 设 A ，B(AkE) 2 (1) 求作对角矩阵 D，使得 BD (2)实数k 满足什么条件时 B 正定?15 设 A 和 B 都是 mn 实矩阵，满足 r(AB)n，证明 ATAB TB 正定16 设 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A22A0，并且 r(A)2 (1)求 A 的特征值 (2)当实数 k 满足什么条件时 AkE 正定?17 设 A，B 是两个 n 阶实对称矩阵，并且 A 正定证明： (1)存在可逆矩阵 P，使得 PTAP，P TBP 都是对角矩阵； (2)当充分小时， AB 仍是正定矩阵18 设 C ，

5、其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵证明 C 正定 A，B 都正定19 设 D 是正定矩阵，其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵记 P(1)求 PTDP (2) 证明 BC TA-1C 正定20 二次型 f(1， 2， 3)X TAX 在正交变换 XQY 下化为 y12y 22，Q 的第 3 列为求 A证明 AE 是正定矩阵21 证明对于任何 mn 实矩阵 A，A TA 的负惯性指数为 0如果 A 秩为 n，则 ATA是正定矩阵22 如果 A 正定，则 Ak，A -1，A *也都正定23 设 A 是正定矩阵，B 是实对称矩阵，证明 AB 相似于对角矩阵24 设 A 是一个 n 阶实矩阵，使得

6、ATA 正定，证明 A 可逆考研数学二（二次型）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 二次型2 【正确答案】 C【知识模块】 二次型3 【正确答案】 A【知识模块】 二次型4 【正确答案】 B【知识模块】 二次型5 【正确答案】 D【知识模块】 二次型二、填空题6 【正确答案】 0【知识模块】 二次型7 【正确答案】 ( ，0)【知识模块】 二次型8 【正确答案】 0【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 f( 1， 2， 3)的矩阵为 A 记 B则 ABaE 求出

7、 B 的特征多项式EB 3 22(2)(1)，B 的特征值为2，0，1，于是 A 的特征值为 a2， a，a1 因为 f(1， 2， 3)的规范形为 y12y 22 时，所以 A 的正惯性指数为 2，负惯性指数为 0，于是 A 的特征值 2 个正，1 个 0，因此 a2【知识模块】 二次型10 【正确答案】 就是看 a 为什么数时它们的矩阵合同写出这两个二次型的矩阵B 的特征值是 2 正 1 负又看出 1 是 A 的特征值，于是 A 的另两个特征值应该 1 正 1 负，即 A0求得A6a 2，于是 a 满足的条件应该为： a 或 a 【知识模块】 二次型11 【正确答案】 设 A 的特征值为

8、， ，则 AE 的特征值为11， 21， n1 因为 A 正定，所以0，11(i1，2，n)于是 AE ( 11)( 21)( n1)1【知识模块】 二次型12 【正确答案】 用顺序主子式此二次型的矩阵 A 它的顺序主子式的值依次为 1，4 2，4(2 2)于是， 应满足条件4 20，2 20，解出 A(2，1)时二次型正定【知识模块】 二次型13 【正确答案】 记 y1 1a 12，y 2 2a 23，y n na n1，则简记为 YAX 则 f(1， 2， n)Y TYX TATAX于是，实对称矩阵 ATA 就是 f(1， 2， n)的矩阵从而 f正定就是 ATA 正定 A TA 正定的充

9、要条件是 A 可逆计算出A 1(1) n-1a1a2an于是，f 正定的充要条件为 a1a2an(1) n【知识模块】 二次型14 【正确答案】 (1)A 是实对称矩阵，它可相似对角化，从而 B 也可相似对角化，并且以 B 的特征值为对角线上元素的对角矩阵和 B 相似 求 B 的特征值： E A (2) 2，A 的特征值为 0，2，2，于是 B 的特征值为 k2 和(k2)2，(k 2)2 令 D 则 BD (2)当 k 为0 和2的实数时，B 是实对称矩阵，并且特征值都大于 0，从而此时 B 正定【知识模块】 二次型15 【正确答案】 显然 ATA，B TB 都是 n 阶的实对称矩阵，从而

10、ATAB TB 也是 n阶实对称矩阵 由于 r(AB)n，n 元齐次线性方程组 (AB)X 0 没有非零解于是，当 是一个非零 n 维实的列向量时，(AB)0，因此 A 与 B 不会全是零向量，从而 T(ATAB TB) TATA TBTBA 2B 20根据定义，A TAB TB 正定【知识模块】 二次型16 【正确答案】 (1)因为 A 是实对称矩阵，所以 A 的特征值都是实数 假设 A 是A 的一个特征值，则 2 2 是 A22A 的特征值而 A22A0，因此220，故 0 或 2又因为 r(A0E)r(A)2，特征值 0 的重数为3r(A0E)1，所以 2 是 A 的二重特征值A 的特征

11、值为 0，2，2 (2)AkE 的特征值为 k，k2，k2于是当 k2 时，实对称矩阵 AkE 的特征值全大于 0，从而 AkE 是正定矩阵当 k2 时，AkE 的特征值不全大于 0，此时AkE 不正定【知识模块】 二次型17 【正确答案】 (1)因为 A 正定，所以存在实可逆矩阵 P1，使得 p1TAP1E 作B1P 1TBP1，则 B1 仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵 Q，使得 QTB1Q 是对角矩阵令 PP 1Q，则 P TAPQ TP1TAP1QE，P TBPQ TP1TBP1QQ TB1Q因此 P即所求 (2)设对(1) 中求得的可逆矩阵 P，对角矩阵 PTBP 对角线上的元素依次

12、为1， 3， n，记 Mmax 1， 2， n 则当1M时，EP TBP 仍是实对角矩阵，且对角线上元素 1 i0，i1，2，n于是 EP TBP 正定，P T(AB)P E P TBP，因此 AB 也正定【知识模块】 二次型18 【正确答案】 显然 C 是实对称矩阵 A，B 都是实对称矩阵 E m+nC E mA E nB 于是 A，B 的特征值合起来就是 C 的特征值 如果 C 正定，则 C 的特征值都大于 0，从而A，B 的特征值都大于 0，A，B 都正定 反之，如果 A，B 都正定，则 A，B 的特征值都大于 0，从而 C 的特征值都大于 0，C 正定【知识模块】 二次型19 【正确答

13、案】 (1)p T)DP(2)因为 D为正定矩阵，P 是实可逆矩阵，所以 PTDP 正定于是由上例的结果，得 RC TA-1C 正定【知识模块】 二次型20 【正确答案】 条件说明 Q-1AQQ TAQ 于是 A 的特征值为1，1，0，并且 Q 的第 3 列 (1，0，1) T 是 A 的特征值为。的特征向量记1 (1，0，1) T，它也是 A 的特征值为 0 的特征向量 A 是实对称矩阵，它的属于特征值 1 的特征向量都和 1 正交，即是方程式 1 30 的非零解 2 (1，0， 1)T， 3(0，1，0) T 是此方程式的基础解系，它们是 A 的特征值为1 的两个特征向量 建立矩阵方程 A

14、( 1， 2， 3) (0， 2， 3)， 两边做转置，得解此矩阵方程A E 也是实对称矩阵，特征值为 2，2，1，因此是正定矩阵【知识模块】 二次型21 【正确答案】 设 是 A 的一个特征值， 是属于它的一个特征向量，即有ATA ，于是 TATA T，即(A，A)(，)则 (A ，A)(，)0 如果 A 秩为 n，则 AX0 没有非零解，从而 A0，(A ，A)0，因此 (A，A)(，) 0【知识模块】 二次型22 【正确答案】 从特征值看 设 A 的特征值为1， 2， n i0，i 1，2，n 则 Ak 的特征值为1k， 2k， nk ik0，i1，2，n 设 A-1 的特征值为 1-1

15、， 2-1， n-1 i-10，i1，2，n 设 A*的特征值为A 1，A 2，A nA i0，i1，2，n【知识模块】 二次型23 【正确答案】 A 是正定矩阵，存在可逆实矩阵 C，使得 ACC T，则ABCC TB于是 C -1ABCC -1CCTBCC TBC 即 AB 相似于 CTBC而 CTBC 是实对称矩阵，相似于对角矩阵由相似的传递性，AB 也相似于对角矩阵【知识模块】 二次型24 【正确答案】 矩阵可逆，有好几个充分必要条件，本题从哪个条件着手呢?行列式不好用，虽然 ATA 正定可得A TA0，但是由此不能推出A0用秩也不好下手用“AX 0 没有非零解” 则切合条件 设 n 维实列向量 满足A0，要证明 0 (A TA) TAT TA(A) T TA0 由 ATA的正定性得到 0【知识模块】 二次型