[考研类试卷]2017年考研（数学一）真题试卷及答案与解析.doc

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1、2017 年考研（数学一）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则( )（A）ab=1 2（B） ab=-（C） ab=0（D）ab=22 设函数 f(x)可导，且 f(x)f(x)0，则( )（A）f(1)f(-1)（B） f(1)f(-1)（C） |f(1)|f(01)|（D）|f(1)|f(-1)|3 函数 f(x，y ，z)=x 2+y2+z2 在点(1，2，0)处沿向量 n(1，2，2)的方向导数为( )（A）12（B） 6（C） 4（D）24 甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10(单位：m

2、)处，如下图中，实线表示甲的速度曲线 v=v1(t)(单位：ms)，虚线表示乙的速度曲线 v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为 10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 t0(单位：s) ，则( )（A）t 0=10（B） 15t 020（C） t0=25（D）t 0255 设 a 为 n 为单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（A）E- T 不可逆（B） E+T 不可逆（C） E+2T 不可逆（D）E-2 T 不可逆6 已知矩阵 A= ，则( )（A）A 与 C 相似，B 与 C 相似（B） A 与 C 相似，B 与 C 不相似（C） A 与 C 不相似，B 与 C 相似

3、（D）A 与 C 不相似，B 与 C 不相似7 设 A，B 为随机事件，若 0P(A)1，0P(B)0，则 P(A|B)P(A| )的充分必要条件是( )8 设 X1，X 1Xn(n2)来自总体 N(，1)的简单随机样本，记 Xi，则下列结论中不正确的是( )（A） (Xi-)2 服从 2 分布（B） 2(Xn-X1)2 服从 2 分布（C） )服从 2 分布（D）n(X-) 2 服从 2 分布二、填空题9 已知函数 f(x)= ，则 f(3)(0)=_10 微分方程 y+2y+3y=0 的通解为 y=_11 若曲线积分 在区域 D=(x，y)|x 2+y21内与路径无关，则a=_12 幂数级

4、 (-1)n-1nxn-1 在区间 (-1，1)内的和函数 S(x)=_13 设矩阵 A= ， 1， 2， 3 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组A1，A 2，A 3 的秩为_ 14 设随机变量 X 的分布函数为 F(X)=05(x)+05( )，其中 (x)为标准正态分布函数，则 EX=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(u，v)具有 2 阶连续偏导数，y=f(e x，cosx)，求dydx| x=0，d 2ydx 2|x=016 17 已知函数 y(x)由方程 x3+y3-3x+3y-2=0 确定，求 y(x)的极值17 f(x)在区间0，1上具有 2

5、 阶导数，f(1)0， 0，证明：18 方程 f(x)=0 在区间(0，1)至少存在一个实根；19 方程 f(x)+f“(x)+f(x)2=0 在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根19 设薄片型物体 S 是圆锥面 Z= 被柱面 Z2=2x 割下的有限部分，其上任一点的密度为 (x，y，z)=9 ，记圆锥与柱面分交线为 C20 求 C 在 xOy 平面上的投影曲线的方程；21 求 S 的质量 M21 设 3 阶矩阵 A=(1， 2， 3)有 3 个不同的特征值，且 3=1+2222 证明：r(A)=2；23 如果 =1+2+3，求方程组 Ax= 的通解24 设二次型 f(x1，x 2，x 3

6、)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3 在正交变换 x=Oy 下的标准型为 1y12+2y22，求 a 的值及一个正交矩阵 Q24 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X 的概率分布为 PX=0=PX=2=12，Y 的概率密度为 f(y)=25 求 P(YEY)；26 求 Z=X+Y 的概率密度26 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体的质量 是已知的，设 n 次测量结果，x 1，x 2， ，x n 相互独立，且均服从正态分布 N(， 2)，该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 zi=|xi-|(i=1，2，n) ，利用 z1，

7、z 2，z n，估计 27 求 z1 的概率密度；28 利用一阶矩求 的矩估计量；29 求 的最大似然估计量2017 年考研（数学一）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 =12a，f(x)在 x=0 处连续，12a=b ab=12，选 A2 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)f(x)0， (2)，只有 C 选项满足(1)且满足(2)，所以选 C3 【正确答案】 D【试题解析】 |(1，2，0)=0， cos=13，cos=23，cosy=23，所求的方程导数为 =2，应选 D4 【正确答案】 C【试题解析】 从

8、0 到 t0 这段时间内甲乙的位移分别为 0t0v1(t)dt， 0t0v2(t)dt，则乙要追上甲，则 0t0v2(t)dt-v1(t)dt=10，当 t0=25 时满足，故选 C5 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A，由(E- T)=-=0得(E- T)x=0 有非零解，故|E- T|=0，即E-T 不可逆，选项 B，由 r(T)=1 得 T 的特征值为 n-1 个 0，1 故 E-T 的特征值为 n-1 个 1，2，故可逆6 【正确答案】 B【试题解析】 由(E-A)=0 可知 A 的特征值为 2，2，1 因为 3-r(2E-A)=1，A 可相似对角化，且 A 由|E-B|=0 可知

9、 B 特征值为 2，2，1 因为 3-r(2E-B)=2， B 不可能相似对角化，显然 C 可相似对角化，AC ，且 B 不相似于 C7 【正确答案】 A【试题解析】 按照条件概率定义展开，则 A 选项符合题意8 【正确答案】 B【试题解析】 XN(-1)，X i-n(0，1) (Xi-)2 2(n)，A 正确(n-1)S 2=)2 2(n-1)，C 正确， -)2 2(1)，D 正确，故 B 错误二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 f(x)= (-1)nx2n，f“(x)= (-1)n2n(2n-1)(2n-2)x2n f“(0)=010 【正确答案】 y=e -x(C1cos x)

10、【试题解析】 齐次特征方程为 2+2+3=0 12 =-1+ 故通解为 y=e-x(C1cosx)11 【正确答案】 -1【试题解析】 ，由积分与路径无关知，a=-112 【正确答案】 【试题解析】 (-1)n-1nxn-1=( (-1)n-1nxn)=13 【正确答案】 2【试题解析】 由 a1，a 1，a 3 线性无关，可知矩阵 a1，a 2，a 3 可逆，故r(Aa1，Aa 2，Aa 3)=r(A(a1，a 2，a 3)=r(A)，再由 r(A)=2 得 r(Aa1，Aa 2，Aa 3)=214 【正确答案】 2【试题解析】 F(x)=05(X)dx+ -+x( )dx， -+x(x)d

11、x=EX=0令=t，则 f-+x( )dt=2-+(4+2t)dt=81+4 -+t(t)dt=8，因此 E(X)=2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 y=f(e x，cosx) y(0)=f(1，1) dydx| x=0=f1ex+f2(-sinx)|x=0=f1(1，1)1+f 2(1，1)0=f 1(1，1) d2ydx 2=f11e2x+f12ex(-sinx)+f21ex(-sinx)+f22sin2x+f1ex-f2cosx d2ydx 2|x=0=f1(1，1)-f 2(1，1)+f 11(1，1)16 【正确答案】 =01xln(1+x)dx

12、= 01ln(1+x)dx2= (ln(1+x)x 2|01-01 dx)=1417 【正确答案】 两边求导得：3x 2+3y2y-3+3y=0 (1)令 y=0 得 x=1 对(1)式两边关于 x 求导得 6x+6y(y)2+32yy+3y=0 (2)将 x=1 代入原题给的等式中，得将 x=1，y=1 代入 (2)得 y“(1)=-10 将 x=-1，y=1 代入(2)得 y“(-1)=20故 x=1 为极大值点， y(1)=1；x=-1 为极小值点，y(-1)=018 【正确答案】 f(x)二阶导数，f(1) 0， 由于 0，根据极限的保号性得 0， x(0，)有 f(x)x0，即 f(

13、x)0 进而 x0(0，)，有 f()0 又由于 f(x)在，1上连续，由 f()0，f(1)0 根据零点定理得：至少存在一点 (，1)，使 f()=0，即得证19 【正确答案】 由上可知 f(0)=0， (0，1)，使 f()=0，令 F(x)=f(x)f(x)，则f(0)=f()=0，由罗尔定理 (0，) ，使 f()=0，则 F(0)=F()=F()=0，对 F(x)在(0，)，(0，)分别使用罗尔定理： 1(0，) ， 2(0，) ，且 1， 2(0，1)12，使得 F(1)=F(2)=0， 即 F(x)=f(x)f“(x)+(f(x)2 在(0，1)至少有两个实根得证20 【正确答案

14、】 由题设条件知，C 的方程为 x2+y2=2x，则 C 在 xOy 平面上的投影的方程为21 【正确答案】 =18-2 2 d02cosr2dr=6422 【正确答案】 由 3=1+22 可得 1+2-3=0，即 1， 2， 3 线性相关，因此，|A|=|123|=0，即 A 的特征值必有 0又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非 0且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为， 120 所以 r(A)=r( )=223 【正确答案】 由 r(A)=2，知 3-r(A)=1，即 Ax=0 的基础解系只有 1 个解向量，由 1+22-3=0 可得( 1，

15、2， 3) =0，则 Ax=0 的基础解系为 又=1+2+3，即 (1， 2， 3) =，则 Ax= 的一个特解为 综上，Ax= 的通解为 k ，kR 24 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX，其中 A= 由于 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 经正交变换后，得到的标准形为 1y12+2y22，故 r(A)=2a=2将 a=2 代入，满足 r(A)=2，因此 a=2 符合题意，此时 A= ，则|E-A|= 1=-3， 2=0， 3=6，由(-3E-A)x=0，可得 A 的属于特征值 -3 的特征向量为 1= 由(6E-A)x=0，可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为

16、2= 由(0E-A)x=0 ，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为 3= 令 P=(1， 2， 3)，则 P-1AP= ，由于 1， 2， 3 彼此正交，故只需单位化即可： 1= (1，-1，1) T， 2= (-1，0，1) T， 3= (1，2，1) T，则Q=(123)= ，Q TAQ=25 【正确答案】 E(Y)= 01y2ydy=23， 则 P(YEY)=P(Y23)= 023 2ydy=4926 【正确答案】 Fz(Z)=P(Zz)=p(X+Yz)=P(X+Yz，X=0)+p(X+Yz，X=z)=P(Yz，X=0)+P(Yz-2，X=2)= P(Yz-2)(1)当 z0，z-2

17、0，而 z0，则 Fz(Z)=0；(2)当 z-21，z1，即 z3 时，F z(Z)=1；(3)当 0z1 时，F z(Z)= z2；(4)当1z2 时，F z(Z)=12； (5)当 0z1 时，F z(Z)= (z-2)2，所以综上，所以，F z(Z)=Fz(Z)=27 【正确答案】 F zi(z)=P(Zziz)=P(|Xi-|z)当 z0，F zi(z)=0；当 z0，F zi(z)=P(-zXi-z)=P(-zXi+z)=Fx(+z)-F(-z)；当 z0 时，f zi(z)=(Fzi(z)=f(+z)+f(-z)综上，28 【正确答案】 E(Z i)=0+z dz2令 E(Zi)=|Xi-|由此可得 的矩估计量 |Xi-|29 【正确答案】 对于总体 X 的 n 个样本 X1，X 2，X n，则相交的绝对误差的样本 Z1，z 2，Z n，Z i=|xi-|，i=1 ，2，n，令其样本值为Z1，Z 2，Z n，Z i=|xi-|，则对应的似然函数令 i=1nZi2 所以 为所求的最大似然估计