CNS 14951-2005 Guidelines for design of experiments《实验设计指导纲要》.pdf

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1、 1 印行年月 94 年 10 月 本標準非經本局同意不得翻印 中華民國國家標準 CNS 總號 類號 ICS 03.120.30 Z406814951經濟部標準檢驗局印行 公布日期 修訂公布日期 94 年 10 月 26 日 年月日 (共 199 頁 )實驗設計指導綱要 Guidelines for design of experiments 目錄 節次 . 頁次 1. 緒論 . 3 1.1 適用範圍 . 3 1.2 名詞解釋 . 3 1.3 實驗設計原則 3 1.4 實驗設計步驟 4 1.5 實驗設計主要內容 4 2. 一因子變異數分析 . 5 2.1 概述 5 2.2 原理與背景 5 2.

2、3 方法與公式 5 2.4 步驟 6 2.5 限制條件與注意事項 7 2.6 應用實例 . 7 3. 二因子變異數分析 . 15 3.1 不重覆二因子變異數分析 . 15 3.2 重覆二因子變異分析 18 3.3 有缺測值之二因子變異數分析 23 4. 多因子變異數分析 . 30 4.1 不重覆多因子變異數分析 . 30 4.2 重覆多因子變異數分析 . 37 5. 拉丁方格體系 45 5.1 拉丁方格法 45 5.2 希臘拉丁方格法 . 52 6. 交絡法 60 6.1 單一反覆之 2k因子設計 60 6.2 多次反覆之 2k因子設計 69 7. 直交排列法 . 77 7.1 2n型直交排列

3、法 77 7.2 3n型直交排列法 .132 2 CNS 14951, Z 4068 7.3 分割法 150 7.4 直和法 166 7.5 假因素法 .174 7.6 直積法 178 8. 計數值直交排列法 182 8.1 亞米加法 (法 ) 183 8.2 計數值實驗分析 185 9. 附表 .189 3 CNS 14951, Z 4068 1. 緒論 1.1 適用範圍 實驗設計 (Design of Experiments, DOE)原為英國人 R.A. Fisher 首先提出，用於農事實驗。本標準乃以工業上實驗設計應用與分析加以訂定，其適用範圍： (1) 研究開發新產品。 (2) 改善

4、現有生產技術。 (3) 探討管制圖呈現規則性變化的潛伏性原因。 (4) 市場分析。 (5) 探討最佳或最差生產條件。 1.2 名詞解釋 (1) 因素或因子 (Factor)：為達到實驗目的而 提出之原因或實驗變數稱之。如不同的機械或反應溫度。 (2) 水準或階次 (Level)及水準數：表示因子的狀態條 件為水準，水準的總數為水準數。如實驗因子溫度取為 100、 110、 120等三狀態條件，其水準數為 3。 (3) 自由度 (Degree of freedom)： 主要因子之自由度為水準數減 1；交互作用之自由度為主要因子之自由度的乘積；總自由度為總實驗次數減 1；誤差自由度為扣除各主要效果

5、與交互作用之自由度後之差。 (4) 處理 (Treatment)：因子水準的特定組合為處理。如 A 因子含有 A1， A2， A3三個水準， B 因子含有 B1， B2二水準，則處理數為 32 6。 (5) 實驗單位 (Experimental unit)：獲取測定值的對象為實驗單位，如以試片作為電鍍的膜厚實驗，每一試片即為實驗單位。 (6) 實驗設計 (Design of experiments)： 為達到實驗目的所進行的實驗計畫之安排。 (7) 實驗空間 (Experiment space)：實驗所需考慮之材料、設備、 環境等等條件。 (8) 集區 (Block)：將實驗空 間劃分成集體，

6、使每一集體內具有較為均齊實驗單位，期實驗誤差能較同數實驗單位之完全隨機實驗為小。 (9) 集區因子 (Block factors)：將實驗空間劃分成集體後之可認定因子。 (10) 實驗誤差 (Experimental error)：除去處理因子，集區因 子等效果後之足以增加反應值不確定之特殊變異來源。 (11) 主要效果 (Main effect)/平均效果 (Average effect)：用以敘明實驗中二因子或多因子之每一水準相對於其他因子之所有水準之平均反應。 (12) 交互作用 (Interaction)：用以敘明二因子或多因子之水準間交互影響。 1.3 實驗設計原則 (1) 隨機原則

7、：在求實驗順序與實驗材料的 隨機選定，以符合統計上之隨機樣本要求。 (2) 集區原則：為避免太大的實驗誤差，將地區或時間視為集 區進行反覆實驗， 4 CNS 14951, Z 4068 以提升檢定力。 (3) 平衡原則：實驗因子每一水準或每一處 理所含的實驗次數令其相等，以減少實驗之變異性。 (4) 直交原則：在求實驗之處理組合合乎直交 (正交 )，期以最少實驗次數納入較多之實驗因子，減少控制實驗。 1.4 實驗設計步驟 (1) 依實驗目的選取品質特性。 (2) 選擇因子與其水準。 (3) 決定實驗的場所與時間。 (4) 正式實施隨機實驗。 (5) 統計分析： A. 隨機性及極值檢定，B. 變

8、異數分析，C. 成對比較或多重比較，D. 最佳條件之估計E. 最佳條件之驗證。(6) 最佳條件的維持或實驗資料的保存。1.5 實驗設計主要內容實驗設計之種類，計有完全隨機設計、隨機集區設計、拉丁方格、希臘拉丁方格、不完全集區設計、優當方格至其變異數分析模式，在一因子變異數分析為固定效果模式與隨機效果模式；在二因子與多因子變異數分析則有固定效果模式、隨機效果模式及混合模式等。本標準衡諸國內產業規模與實用性僅就固定效果模式加以訂定，其主要內容包括計量值實驗設計與計數值實驗設計，而計量值實驗設計涵蓋一因子變異數分析、二因子變異數分析、多因子變異數分析、拉丁方格法、交絡法及直交排列法等內容；至於計數值

9、實驗設計則僅包括直交排列法加以訂定。其架構如下：實驗設計(推定 )，及 (youden square) 、分割設計及直交排列設計等。 二因子變異數分析 一因子變異數分析 多因子變異數分析 拉丁方格法 交絡法 直交排列法 直交排列法 計量值實驗設計計數值實驗設計 5 CNS 14951, Z 4068 2. 一因子變異數分析 2.1 概述 只考慮 1 個因子，其餘因子影響不大或可加以控制時，使用一因子設計實驗，以一因子變異數分析為統計分析的第一步。 2.2 原理與背景 經一因子設計實驗後之一因子變異數分析，有固定效果與隨機效果兩種不同模式可用。以比較材料好壞之分析為例，當僅向 4 家供應廠商購買

10、，用於比較 4種材料之好壞時，而將 4 種材料當作 4 個水準進行實驗後做變異數分析，即為固定效果模式；但如供應材料之廠商有二十餘家，自其中隨機選取 4 種材料進行實驗後做變異數分析，則為隨機效果模式。前者，在於檢定 4 個平均數是否相等；後者則在檢定取自二十餘家廠商材料之變異數是否為零。本標準依當前生產組織單位需要僅就固定效果模式訂定。 2.3 方法與公式 如欲比較 4 種材料之強度大小，依平衡原則各材料選用 5 個試片予以實驗，此種實驗相當於比較材料 A 因子之 4 種不同水準 A1、 A2、 A3、 A4，各水準重複實驗 5 次，計欲實驗 20 個測定值。再依實驗之隨機原則，將 20 次

11、實驗先編成1 至 20 個實驗號碼，再以號碼抽球法或利用隨機號碼表，隨機訂定實驗順序如表 2.1 所示。 表 2.1 實驗順序 號碼 1 2 3 4 5 A1順序 8 18 10 3 17 號碼 6 7 8 9 10 A2順序 5 14 6 15 20 號碼 11 12 13 14 15 A3順序 9 4 12 7 1 號碼 16 17 18 19 20 A4順序 19 16 11 2 13 一因子變異數分析固定效果模式為 yiji ijinjki LL 1 1 = 其中， yij為第 i 水準第 j 實驗之觀察值， 為總平均數， i為 A 因子第水準之效果，i 0 iAi i+=為 A 因子

12、第 i 水準之平均數 ij為誤差，係以 0 為平均數與2為變異數的相互獨立常態隨機變數， 6 CNS 14951, Z 4068 2.4 步驟 步驟 1. 基於隨機原則及平衡原則進行實驗配置如表 2.1。 步驟 2. 檢定組內變異是否顯著以為殘差分析，本標準 在重覆實驗時均採用全距管制圖之管制上限作為檢定基礎。即 H0：組內變異不顯著 H1：組內變異顯著 (H0：極端值不存在 H1：極端值存在 ) 檢定結論：無顯著差異，繼續計算平方和；有顯著性差異，進一步進行極值檢定將極值剔除後，應用表 2.2 之內容計算平方和及後續分析。 表 2.2 數據計算表 yijTi.yi.1 2 . . . y11

13、 y12 y1ny21y22 . y2n. . . . . . . . . yk1yk2 . yknT1.T2. . . Tk.y.1y.2. . . y.合計 Ty步驟 3. 計算平方和 修正項 C.F. T2/(kn) 總平方和 SST 2FCyijij A 因子平方和 SSA 2.FCnTiii誤差平方和 SSE SST SSA 其中， =injijiijijyTyT1., 步驟 4. 變異數分析 (如表 2.3) H0：12 =kH1：i ( i 1 k)不全相等 (H0： k 個水準平均數全相等 H1： k 個水準平均數不全相等 ) 7 CNS 14951, Z 4068 表 2.3

14、 變異數分析表 (ANOVA Table) 變異來源 平方和 SS 自由度 不偏變異數 V F0F0.05F0.01A因子 SSA k-1 SSA/(k-1)=VAVA/VEF0.05(k-1, ni-k) F0.01(k-1, ni-k)E(誤差 ) SSE ni-k SSE/( ni-k)=VET(總變異 ) SST ni-1 判斷 (1) F0 F0.05(k-1， ni-k)時，不能認為各水準之平均數不相等，或為無顯著差異。 (2) F0.05(k-1, ni-k) F0 F0.01(k-1, ni-k)，認為各水準之平均數有顯著性差異。 (3)F0 F0.01(k-1, ni-k)，

15、認為各水準之平均數有非常顯著性差異。 步驟 5. 平均數之比較：當 (2)或 (3)成立時，進行成對或多重比較。 步驟 6. 尋找最佳條件並予估計：自比較結 果尋到最大或最小平均數為最佳條件，乃計算最佳條件之點估計值及其估計誤差。 2.5 限制條件與注意事項 1. 進行至步驟 4 變異數分析如判斷 (i)不能認為各水準之平均數不相等，或為無顯著差異成立時，則不需往下探討，而要將實驗資料保存。 2. 平均數之比較，如屬多重比較，當先瞭解直交對比 (orthogonal contrasts)觀念。 2.6 應用實例 實例 1 在實驗室裏，就 4 種不同之材料測驗其強度是否有差異，各材料選用 5 個

16、試片進行隨機實驗 步驟 1. 其實驗配置如表 2.1，而其實驗結果如表 2.4。 表 2.4 材料強度實驗結果 單位：公斤力 /平方公分 材料 (水準 ) 強度 (yij) A112.9 13.3 13.0 13.1 13.2 A213.3 13.5 13.0 12.9 13.2 A313.8 13.5 13.6 13.2 13.4 A413.3 13.7 13.6 13.7 13.2 步驟 2. 檢定組內變異是否顯著，即檢定 H0：組內變異不顯著 H1：組內變異顯著 8 CNS 14951, Z 4068 表 2.5 全距計算表 水準 A1A2A3A4平均全距 ( R ) 全距(Ri) 0.

17、4 0.6 0.6 0.5 0.52 n=5，查管制係數表，得 D4=2.11，即 UCLR= RD4=(2.11)(0.52)=1.10 因每一個水準的全距 Ri均小於 1.10，故進行次一步驟。 步驟 3. 計算平方和 表 2.6 合計數計算表 材料 (水準 ) 強度 (yij) Ti.yi.A112.9 13.3 13.0 13.1 13.2 65.5 13.10 A213.3 13.5 13.0 12.9 13.2 65.9 13.18 A313.8 13.5 13.6 13.2 13.4 67.5 13.50 A413.3 13.7 13.6 13.7 13.2 67.5 13.50

18、 合計 T=266.4 C.F.=()knT2=(266.4)2/(4)(5)=3,548.448 SST=ijijy2 C.F. (12.9)2+(13.3)2+ +(13.2)2 3,548.448=1.412 SSA=nTi2.-C.F.=(65.5)2+(65.9)2+(67.5)2+(67.5)2/5 3,548.448=0.664 SSE=SST-SSA=1.412 0.664=0.748 步驟 4. 變異數分析 H0：4321AAAA=H1：iA (i=1 4)不全相等 表 2.7 變異數分析表 變異來源 平方和 SS 自由度 不偏變異數 V F0F0.05F0.01材料 (A)

19、 誤差 (E) 0.664 0.748 3 16 0.22133 0.04675 4.73*3.245.29 總變異 (T) 1.412 19 判斷結論： 3.24 F0=4.73 5.29，故四種不同材料間平均強度有顯著性差異。 步驟 5. 平均數之成對比較 9 CNS 14951, Z 4068 H0：iiH1：ii .1y =13.1 .2y =13.18 .3y =13.5 .4y =13.5 iiyy .1y .2y .3y .4y 0.40*0.32*0 .3y 0.40*032*.2y 0.08 ()( )2901.01368.0120.2)51510.04675(t(16)0.

20、025=+ ()( )3996.01368.0921.2)51510.04675(t(16)0.005=+ 步驟 6. 最佳條件之估計 3A 與4A顯著地較2A 為大，非常顯著地較1A為大，故 A3與 A4材料之強度最高。 最佳群體平均數3A 或4A之估計值為 5.134343= yyAAAA( )43.4.3,AAyyyy = 95信賴程度下之最大估計誤差為 206.0504675.0)16(025.0=t實例 2 在實驗室裏，就 4 種不同之材料測驗其強度是否有差異，各材料選用 5 個試片進行隨機實驗，其實驗結果如表 2.8。 表 2.8 材料強度實驗結果 單位：公斤力 /平方公分 材料

21、(水準 ) 強度 (yij) A1 12.9 13.3 13.0 13.1 13.2 A213.3 13.5 13.0 12.9 13.2 A313.7 13.4 13.3 13.2 13.2 A413.3 13.6 13.3 13.2 13.2 步驟 1. 實驗配置：如實例 1 進行。 yA1yA2yyAA43=1.13 18.13 5.13 10 CNS 14951, Z 4068 步驟 2. 檢定組內變異是否顯著，即檢定 。 H0：組內變異不顯著 H1：組內變異顯著 表 2.9 全距計算表 水準 A1A2A3A4平均全距 ( R ) 全距 (Ri) 0.4 0.6 0.5 0.4 0.4

22、75 n=5，查管制係數表，得 D4=2.11，即 ()( )99.0475.011.2U4= RDCLR因每一水準的全距 Ri均小於 0.99，故進行下一步驟。 步驟 3. 計算平方和 表 2.10 合計數計算表 材料 (水準 ) 強度 (yij) Ti. .iy A1 12.9 13.3 13.0 13.1 13.2 65.5 13.10 A213.3 13.5 13.0 12.9 13.2 65.9 13.18 A313.7 13.4 13.3 13.2 13.2 66.8 13.36 A413.3 13.6 13.3 13.2 13.2 66.6 13.32 合計 T=264.8 (1

23、)C.F.=()()()548.2642=3,505.952 (2)SST= ()( ) ( ) 952.505,32.133.139.122222+= LFCyijij=0.828 (3)SSA=()( ) ( ) ( ) += 952.505,356.668.669.655.6522222.FCnTi=0.256 (4)SSE=SST-SSA=0.828-0.256=0.572 步驟 4. 變異數分析 H0：4321AAAA=H1：iA (i=1 4)不全相等 表 2.11 變異數分析表 變異來源 平方和 SS 自由度 不偏變異數 V F0F0.05F0.01材料 (A) 誤差 (E) 0

24、.256 0.572 3 16 0.0853 0.0358 2.383 3.24 5.29 總變異 (T) 0.828 19 判斷結論： F0=2.383 3.24，故四種不同材料間強度無顯著性差異。 11 CNS 14951, Z 4068 實例 3 4種觸媒可能會影響液體混合物之濃度，每一種觸媒各實驗 7 次，經過步驟 2 檢定組內變異發現有顯著性差異，並經 Dixon 極值檢定後，第一種及第三種觸媒個別剔除 1 個測定值，第四種觸媒剔除 3 個測定值，其結果如表 2.12。其實驗與分析如下： 步驟 1. 實驗配置：如實例 1 進行。 步驟 2. 檢定組內變異是否顯著並檢定極端值，其結果如

25、表 2.12。 表 2.12 液體混合物之濃度 觸媒種類 濃 度 A1A2A3A465 75 59 94 87 69 78 89 73 83 67 80 79 81 62 88 81 72 83 69 79 76 90 步驟 3. 計算平方和 表 2.13 液體混合物之濃度計算表 觸媒種類 濃度 (yij) niTi.yi.A1A2A3A465 75 59 94 87 69 78 89 7383678079816288817283697976906 7 6 4 454 549 425 351 75.67 78.43 70.83 87.75 合計 23 1,779 (1)C.F.=T2/ ni=

26、(1,779)2/23=137,601.78 (2)SST= y2ij C.F.=(65)2+(87)2+ +(88)2-137,601.78=1,909.2174 (3) ()()()()5864.71278.601,137435164257549645422222.=+= FCnSSAiiT (4)SSE=SST-SSA=1,909.2174 712.5864=1,196.6310 步驟 4. 變異數分析 H0：4321AAAA=H1：iA (i=1 4)不全相等 12 CNS 14951, Z 4068 表 2.14 變異數分析表 變異來源 平方和 SS 自由度 不偏變異數 V F0F0

27、.05F0.01材料 (A) 誤差 (E) 712.5864 1,196.6310 3 19 237.5288 62.9806 3.77*3.13 5.01 總變異 (T) 1,909.2174 22 步驟 5. 平均數之成對比較 H0：iiH1：ii .1y =75.67 .2y =78.43 .3y =70.83 .4y =87.75 iiyy .1y .2y .3y .4y 12.08*9.32 16.92*.3y 4.84 7.60 .2y 2.76 =14:0AAH 14:1AAH()( )7218.101227.5093.2)4161)(9806.62()19(025.0=+t()

28、( )6560.141227.5861.2)4161)(9806.62()19(005.0=+t24:0AAH=24:1AAH()( )4110.109742.4093.2)4171)(9806.62()19(025.0=+t()( )2312.149742.4861.2)4171)(9806.62()19(005.0=+t=43:0AAH43:1AAH ()( )7218.101227.5093.2)4161)(9806.62()19(025.0=+t()( )6560.141227.5861.2)4161)(9806.62()19(005.0=+t=13:0AAH13:1AAH()( )5

29、899.95819.4093.2)6161)(9806.62()19(025.0=+t()( )1088.135819.4861.2)6161)(9806.62()19(005.0=+t=23:0AAH23:1AAH ()( )2410.94152.4093.2)7161)(9806.62()19(025.0=+t 13 CNS 14951, Z 4068 ()( )6319.124152.4861.2)7161)(9806.62()19(005.0=+t=12:0AAH12:1AAH()( )2410.94152.4093.2)7161)(9806.62()19(025.0=+t()( )6

30、319.124152.4861.2)7161)(9806.62()19(005.0=+t步驟 6. 最佳條件：經上面檢定結果4A 較3A 有非常顯著性差異，較1A有顯著性差異，惟與2A則不顯著，但如就整個混合條件及成 本考量， A4為最佳條件。 故最佳群體平均數4A 之估計值為 75.8744= yAA其 95信賴程度下之最大估計誤差為 2973.849806.62)19(025.0=t 實例 4 實例 1 之 4 種不同材料中，如第一及第四種材料係購自國外，第二及第三種材料係購自國內。 步驟 1. 至步驟 4 如實例 1 步驟 5. 平均數之多重比較 取 3 個各以 1 為自由度之 3 個直

31、交對比 L1=國外兩種材料之對比 =.4.1yy =13.10-13.50=-0.4 L2=國內兩種材料之對比 =.3.2yy =13.18-13.50=-0.32 L3=國內材料與國外材料之對比 =22.3.2.4.1yyyy +=250.1318.13250.1310.13 +=-0.04 yA3yA1yA4yA283.70 67.75 43.78 75.87 14 CNS 14951, Z 4068 表 2.15 直交係數 Cim對比 .1y .2y .3y .4y L11 0 0 1 L20 1 1 0 L31/2 1/2 1/2 1/2 對比平方和 ()()4.010014.0522

32、222121211=+=kiiCnLSSL ()()256.0011032.0522222122222=+=kiiCnLSSL ()008.0212121214.0522222123233=+=kiiCnLSSL 註 SSA=SSL1+SSL2+SSL3以表 2.16 變異數分析表檢定 H0: 41AA=H1： 41AA H0: 32AA=H1：32AA H0: 223241AAAA+=+H1：223241AAAA+表 2.16 變異數分析表 變異來源 平方和 SS 自由度 不偏變異數 VF0 F0.05F0.01國外對比 L10.400 1 0.4 8.55* 4.49 8.53 國內對比

33、L20.256 1 0.256 5.45* 4.49 8.53 國外與國內對比 L30.008 1 0.008 1 誤差 E 0.748 16 0.004675 總變異 1.412 步驟 6. 尋找最佳條件及估計 國外：4A 非常顯著地較1A 為大 估計值為1414AAAAyy = =0.4 95%信賴程度下之最大估計誤差為()+515104675.016025.0t =0.2901 國內：3A 顯著地較2A 為大 15 CNS 14951, Z 4068 估計值為2323AAAAyy = =0.32 95%信賴程度下之最大估計誤差為()+515104675.016025.0t =0.2901

34、 3. 二因子變異數分析 3.1 不重覆二因子變異數分析 3.1.1 概述 考慮二因子，其餘因子影響不 大或可加以控制者，且二因子間無交互作用時，使用不重覆二因子設計實 驗，以不重覆二因子變異數分析為統計分析的第一步。 3.1.2 原理與背景 不重覆二因子變異數分析，有固定效果、隨機效果，混合效果等三 種模式。如因子水準全作實驗配置為固 定效果模式；二因子之水準皆隨機取得者為隨機效果模式；其中有一因子 水準數固定，另一因子水準隨機取得者為混合效果模式。本標準係針對固定效果模式加以訂定。 3.1.3 方法與公式 由 3 種配合方法 (A)與 4 個溫度 (B)實驗生成物之 K 特性 (數值愈大愈

35、佳 )，即 A 因子有 A1、 A2、 A3等 3 個水準， B 因子有 B1、 B2、 B3、 B4等 4 個水準，計實驗 12 次，將 12 次自 1 至 12 編成 12 個實驗號碼，以號碼抽球法或利用隨機號碼表 (亂數表 )隨機決定實驗順序如表 3.1 括弧內之數字。 表 3.1 實驗順序與配置 B因子 A因子 B1B2B3B4A11(5) 2(3) 3(8) 4(2) A25(1) 6(7) 7(12) 8(11) A39(4) 10(9) 11(10) 12(6) 不重覆二因子變異數分析模式： yij= +i+j+ij其中：為總平均數 i為 A 因子之效果，i=0 j為 B 因子之

36、效果，j=0 iAi i+=為 A 因子第 i 水準之平均數 jBj j+=為 B 因子第 j 水準之平均數 ij為誤差，係以 0 為平均數，2為變異數之相互獨立的常態隨機變數 3.1.4 步驟 16 CNS 14951, Z 4068 步驟 1 實驗配置：基於隨機原則進行實驗配置如表 3.1。實驗結果如 3.2 表 3.2 數據計算表 B A B1B2 BbiAT yiAA1A2M Aay11y12 y1by21y22 y2b M M M ya1ya2 yab1AT 2AT M aAT yA1yA2M yaAjBT 1BT 2BT bBTTjBy yB1yB2 ybBy 步驟 2. 計算平方

37、和 (1)C.F.=()abT2(2)SST=2FCyij(3)SSA=2FCbTiA(4)SSB=2FCaTJB(5)SSE SST SSA SSB 步驟 3. 變異數分析 H0: aAAA= L21H1：iA (i=1 a)不全相等 H0: bBBB= L21H1：jB (j=1 b)不全相等 表 3.3 變異數分析表 變異來源 平方和 SS 自由度 不偏變異數 V F0F0.05F0.01A因子 SSA a-1 SSA/(a-1)=VAVA VEB因子 SSB b-1 SSB/(b-1)=VBVB VEE誤差 SSE (a-1)(b-1) SSE/(a-1)(b-1)=VET總變異 SS

38、T ab-1 判斷結論：無顯著差異者，至此為止；有顯著差異者繼續下一步驟。 步驟 4. 平均數之成對比較：即檢定 H0：iiH1：ii 17 CNS 14951, Z 4068 步驟 5. 尋找最佳條件並予估計：自步驟 4 比較結果，尋找最佳組合 (最佳條件 )之平均數，再計算其點估計值及其估計誤差。 3.1.5 限制條件與注意事項 依步驟 3 變異數分析之結論，當 A、 B 二因子之水準間無顯著性差異時，則將實驗資料保存，而不需繼續探討。 3.1.6 應用實例 某工廠為改善工程，由 3 種配合方法 (A)及 4 種溫度水準 (B)以實驗生成物之 k 特性如表 3.4，其實驗及分析如下： 步驟

39、 1. 實驗配置：依表 3.1 實驗順序得實驗結果如表 3.4 表 3.4 實驗結果 (yij) B A B1B2B3B4A1A2A373.5 72.7 75.3 72.6 73.7 74.9 71.2 71.6 73.9 72.0 70.5 74.7 表 3.5 合計數計算表 B A B1B2B3B4iAT A1A2A373.5 72.7 75.3 72.6 73.7 74.9 71.2 71.6 73.9 72.0 70.5 74.7 289.3 288.5 298.8 jBT 221.5 221.2 216.7 217.2 876.6 步驟 2. 計算平方和 C.F. (876.6)2

40、12 64,036 SST2ijy C.F. 26.010 415.16/2= FCbTSSAiA510.6/2= FCaTSSBjB085.3= SSBSSASSTSSE 步驟 3. 變異數分析 H0: 321AAA=H1：iA (i=1 3)不全相等 H0: 4321BBBB=H1：jB (j=1 4)不全相等 18 CNS 14951, Z 4068 表 3.6 變異數分析表 變異來源 平方和 SS 自由度 不偏變異數 V F0F0.05F0.01配合 (A) 16.415 2 8.2075 15.96*5.14 10.93 溫度 (B) 6.510 3 2.1700 4.22 4.76

41、 9.78 誤差 (E) 3.085 6 0.5142 總變異 (T) 26.010 11 判斷結論： 3 種配合方法有非常顯著性差異； 4 種溫度則無顯著性差異。 步驟 4. 平均數之成對比較：配合方法間兩兩比較其平均數，即檢定 =0:iiAAH1:iiAAH1Ay =72.325 2Ay =72.125 3Ay =74.7 iiAAyy 1Ay 2Ay 2.375*2.375*3Ay 2Ay 0.2 22.1)4141(5142.0)6(025.0=+t 89.1)4141(5142.0)6(005.0=+t 步驟 5. 尋找最佳條件並予估計：最佳條件為 A3 點估計值： 7.7433=

42、yAA其 95信賴程度下之最大估計誤差為881.045414.0)6(025.0=t3.2 重覆二因子變異數分析 3.2.1 概述 考慮二因子，其餘因子影響不大或可加以控制者，且二因子間交互作用存在時，使用重覆二因子配置，以重覆二因子變異數分析為統計分析之第一步。 3.2.2 原理與背景 重覆二因子變異數分析模式與 不重覆者同，有固定效果、隨機效果及混合效果三種模式。如因子水準全 作實驗配量為固定效果模式；二因子之水準皆隨機取得者為隨機效果模式 ；其中有一因子水準數固定，另一因子水準數隨機取得者為混合效果模式。本標準係針對固定效果模式加以訂定。 yA2yA1yA3125.72 325.72 7

43、.74 19 CNS 14951, Z 4068 3.2.3 方法與公式 3 種不同之材質 (A)與 4 種不同之熱處理 (B)，以實驗試片之強度，又技術上認為材質與熱處理間有交互作用，故進行重覆 2 次實驗，計實驗 342 24次，經自 1 至 24 編號，完全隨機實驗後其隨機順序如表 3.7 括弧內之數字。 表 3.7 實驗順序與配置 BA B1B2B3B4A11(4) 5(13) 2(14) 6(1) 3(12) 7(20) 4(5) 8(11) A29(6) 13(19) 10(18) 14(21) 11(22) 15(15) 12(16) 16(23) A317(3) 21(10)

44、18(9) 22(2) 19(7) 23(17) 20(24) 24(8) 重覆二因子變異數分析模式： yijkij ( )ijijk其中：為總平均數 i為 A 因子第 i 水準之效果，i 0 j為 B 因子第 j 水準之效果， j 0 ( )ij為 A、 B 二因子交互作用之效果， ( ) ( ) 0=jijiijiAi i+=為 A 因子第 i 水準之平均數 jBj j+=為 B 因子第 j 水準之平均數 ijk為 誤 差，係 以 0 為平均數，2為變異數之相互獨立的常態隨機變數。 3.2.4 步驟 步驟 1. 實驗配置 基於隨機原則及平衡原則，甚 至可能再考慮集區原則，加以實驗配置如表3

45、.7，實驗結果如表 3.8。 表 3.8 實驗數據表 B A B1B2 BbA1y11 1y112 y11ny12 1y12 2 y12n y1b 1y1b 2 y1bnA2Y21 1 y21 2 y21nY22 1 y222 y22n Y2b 1 y2b 2 y2bnM M M M M Aaya11ya12 ya1nya21ya22 ya2n yab1yab2 yabn步驟 2. 檢定組內變異是否顯著，即 H0：組內變異不顯著 H1：組內變異顯著 20 CNS 14951, Z 4068 檢定結論：無顯著性差異時， 繼續下一步計算平方和；有顯著性差異時，經極值檢定結果，如需剔除，則依剔除後數

46、據進行下一步驟。 步驟 3. 計算平方和 表 3.9 合計數計算表 B A B1B2 BbTiiyA1T11.T12. T1b.T11yA2T21.T22. T2b.T22yM M M M M M M AaTa1.Ta2. Tab.TaayT.j.T.1. T.2. T.b. T.yjy .1.y .2.y by .y (1)C.F.=T.2/(abn) (2)SST= y2ijk-C.F. (3)SSA= T2i/(bn)-C.F. (4)SSB= T2.j./(an)-C.F. (5)SSAB= T2ij./n-C.F. (6)SSAB=SSAB-SSA-SSB(7)SSE=SST-SSA

47、-SSB-SSAB步驟 4. 變異數分析 H0：aAAA = L21H1：iA (i=1 a)不全相等 H0：bBBB = L21H1：jB (j=1 b)不全相等 H0： ( )11=( )12=.=( )ab=0 H1： ( )ij(i=1 a， j=1 b)不全為零 表 3.10 變異數分析表 變異來源 平方和 SS 自由度 不偏變異數 V F0F0.05F0.01A因子 SSA a-1 SSA/(a-1)=VAVA/VEB因子 SSB b-1 SSB/(b-1)=VBVB/VEAB交互作用 SSAB(a-1)(b-1) SSAB/(a-1)(b-1)=VABVAB/VEE誤差 SSE ab(n-1) SSE/ab(n-1)=VET總變異 SST abn-1 判斷結論：無顯著差異時，至此為止；有顯著性差異時繼續下一步驟。 步驟 5. 平均數之成對比較：即檢定 H0：i=i，對立於 H1：ii等。 步驟 6. 尋找最佳條件並予估計：自步驟 5 比較結果，得到最佳組合 (最佳條 21 CNS 14951, Z 4068