2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科数学（含答案、解析）.pdf

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1、 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 （湖南卷） 数学（ 文史类 ） 一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 . 1.设集合 M=-1,0,1， N=x|x2=x，则 M N= A.-1， 0， 1 B.0,1 C.1 D.0 【答案】 B 【解析】 0,1N M=-1,0,1 M N=0,1 【点评】本题考查了 集合的基本运算，较简单，易得分 .先求出 0,1N ，再利用交集定义得 出 M N. 2.复数 z=i（ i+1）（ i 为虚数单位）的共轭复数是 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i

2、【答案】 A 【解析】由 z=i（ i+1） = 1i，及共轭复数定义得 1zi . 【点评 】本题考查 复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力 .先把 Z 化 成标准的 ( , )a bi a b R形式，然后由 共轭复数定义得出 1zi . 3.命题“若 =4 ，则 tan =1”的逆否命题是 中 %国教 由指数函数的图像 与性质知正确；由 a b 1， 0c 知 11a c b c c ，由对数函数的图像与性质知 正确 . 【点评】本题考查 函数概念与基本初等函数中的 指数函数的图像与性质、对数函数的图像 与性质， 不等关系，考查了数形结合的思想 .函数概念与基本初等函

3、数 是 常考知识点 . 8 . 在 ABC 中， AC= 7 ， BC=2， B =60，则 BC 边上的高等于 A 32 B. 332 C. 362 D. 3 394 【答案】 B 【解析】设 AB c ，在 ABC 中，由余弦定理知 2 2 2 2 c o sA C A B B C A B B C B ， 即 27 4 2 2 c o s 6 0cc ， 2 2 3 0 , ( - 3 ) ( 1 )c c c c 即 =0.又 0, 3.cc 设 BC 边上的高等于 h ，由三角形 面积公式 11s i n22 ABCS A B B C B B C h ，知 113 2 s in 6 0

4、 222 h ，解得 332h . 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容 . 9. 设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2的偶函数， ()fx 是 f(x)的导函数，当 0,x 时， 0 f(x) 1；当 x（ 0，） 且 x 2 时 ， ( ) ( ) 02x f x ，则函数 y=f(x)-sinx 在 -2， 2 上的零点个数为 A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】 【解析】由当 x（ 0，） 且 x 2 时 ， ( ) ( ) 02x f x ，知 0 , ( ) 0 , ( )2x f x f x 时 , 为 减 函

5、数 ；( ) 0 , ( )2x f x f x ， 时 , 为 增 函 数 又 0,x 时， 0 f(x) 1，在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2的偶函数，在同一坐标系 中作出 sinyx 和 ()y f x 草图像如下，由图知 y=f(x)-sinx 在 -2， 2 上的零点个数为 4 个 . 【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题 . 二、填空题，本大题共 7 小题，考生作答 6 小题 .每小题 5 分共 30 分，把答案填在答题卡中对 应题号后的横线上 . （一）选做题，（请考生在第 10， ,1 两题中任选一题作答，如果全做 ，则按前一题记分） 10

6、.在极坐标系中，曲线 1C ： ( 2 c o s sin ) 1 与曲线 2C ： a ( 0)a 的一个交点在 极轴上，则 a=_. 【答案】 22 【解析】曲线 1C 的直角坐标方程是 21xy，曲线 2C 的普通方程是直角坐标方程 2 2 2x y a，因为曲线 C1： ( 2 c o s sin ) 1 与曲线 C2： a ( 0)a 的一个交点在 极轴上，所以 1C 与 x 轴交点横坐标与 a 值相等，由 20, 2yx，知 a 22 . 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的 思想、方程的思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中 .把曲线

7、 1C 与曲线 2C 的极坐标方 程都转化为直角坐标方程，求出与 x 轴交点，即得 . 11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为 29 x y o 22 1 1 sinyx ()y f x 63 .精确度要求 1 .用分数法进行优选时，能保证找到最佳 培养温度需要最少实验次数为 _. 【答案】 【解析】用分数法计算知要最少实验次数为 7. 【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力 . (二 )必做题（ 1216 题） 中 #国 教育 *出 %版网 12.不等式 x2-5x+6 0 的解集为 _. 【答案】 23xx 【解析】由 x2-5x+6 0

8、，得 ( 3)( 2) 0 xx ，从而的不等式 x2-5x+6 0 的解集为 23xx . 【点评】本题考查 一元二次不等式 的解法，考查简单的运算能力 . 13.图 2 是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛 中得分的方差为 _. 0 8 910 3 5 2图 (注：方差 2 2 2 2 121 ( ) ( ) ( )ns x x x x x xn ，其中 x 为 x1， x2， xn 的平均 数 )来 【答案】 6.8 【解析】 1 ( 8 9 1 0 1 3 1 5 ) 1 15x ， 2 2 2 2 2 21 ( 8 1 1 ) ( 9 1 1 )

9、 ( 1 0 1 1 ) ( 1 3 1 1 ) ( 1 5 1 1 )5s 6.8 . 【点评】本题考查 统计中的 茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力 . 14.如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 4.5x ,则输出的数 i = . 中国 %教 y 由 0 185x 得 0 57,5y 它们满足式，故点的坐标为 ( 2,3) ，或 ( 2, 3) ，或 18 57( , )55，或 18 57( , )55 . 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、 函数与方程思想等数学思想方法 .第一问根据条件设出椭圆方程，求出 ,cab 即

10、得椭圆 E 的方 程，第二问设出点 P 坐标，利用过 P 点的两条直线斜率之积为 12 ，得出关于点 P 坐标的一个 方程，利用点 P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点 P 坐标 . 22.（本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)=ex-ax，其中 a 0.#中国 教育出版 &网 （ 1）若对一切 x R， f(x) 1 恒成立，求 a 的取值集合； z （ 2)在函数 f(x)的图像上去定点 A（ x1, f(x1)） ,B(x2, f(x2)(x1x2)，记直线 AB 的斜率为 k，证明： 存在 x0（ x1,x2） ,使 0()f x k 恒成立 . 【解析】解： ( ) ,x

11、f x e a 令 ( ) 0 lnf x x a 得 . 当 lnxa 时 ( ) 0, ( )f x f x 单调递减；当 lnxa 时 ( ) 0, ( )f x f x 单调递增，故当 lnxa 时， ()fx取最小值 (ln ) ln .f a a a a 于是对一切 , ( ) 1x R f x恒成立，当且仅当 ln 1a a a. 令 ( ) ln ,g t t t t 则 ( ) ln .g t t 当 01t 时， ( ) 0, ( )g t g t 单调递增；当 1t 时， ( ) 0, ( )g t g t 单调递减 . 故当 1t 时， ()gt 取最大值 (1) 1g

12、 .因此，当且仅当 1a 时，式成立 . 综上所述， a 的取值集合为 1 . （）由题意知， 2121 2 1 2 1 ( ) ( ) .xxf x f x eekax x x x 令 21 21 ( ) ( ) ,xxx eex f x k e xx 则 1 21 1 2 121( ) ( ) 1 , x xxex e x x xx 2 12 2 1 221( ) ( ) 1 . x xxex e x x xx 令 ( ) 1tF t e t ，则 ( ) 1tF t e . 当 0t 时， ( ) 0, ( )F t F t 单调递减；当 0t 时， ( ) 0, ( )F t F t

13、单调递增 . 故当 0t ， ( ) (0) 0,F t F即 1 0.tet 从而 21 21( ) 1 0 xxe x x ， 12 12( ) 1 0 ,xxe x x 又 1 210, xe xx 2210, xe xx 所以 1( ) 0,x 2( ) 0.x 因为函数 ()yx 在区间 12,xx 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 0 1 2( , )x x x 使 0( ) 0,x 即 0()f x k 成立 . 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力， 考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法 .第一问利用导函数法求出 ()fx取最小值 (ln ) ln .f a a a a 对一切 x R， f(x) 1恒成立转化为 min( ) 1fx 从而得出求 a的取值集合； 第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过 构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断 .