2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学及答案解析.pdf

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1、 2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，第 卷第 1 至 2 页，第 卷 第 3至第 4页。满分 150分，考试时间 120分钟。 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第 I卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第 II卷用 0.5毫米的黑色墨水签字笔在答 题卡上书写 作答，在试题卷上作答，答题无效。 3.考

2、试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式： 锥体体积公式 13V Sh ，其中 S 为底面积， h 为高。 第 卷 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1、若集合 1,1A ， 0,2B ，则集合 | , , z z x y x A y B 中的元素的个数为 A 5 B.4 C.3 D.2 2、下列函数中，与函数 31y x 定义域相同的函数为 A 1siny x B. lnxy x C. xy xe D. sinxy x 3、若函数 2 1, 1() lg , 1xxfx xx ，则 ( ( 0)ff A

3、. lg101 B.2 C.1 D.0 4、若 1tan 4tan ，则 sin2 A. 15 B.14 C.13 D.12 5、下列命题中，假命题为 A存在四边相等 的四边形 不 是正方形 B 1 2 1 2,z z C z z为实数的充分必要条件是 12,zz互为共轭复数 C若 ,xy R ，且 2,xy 则 ,xy至少有一个大于 1 D对于任意 01, nn n nn N C C C 都是偶数 6、观察下列各式： 221, 3,a b a b 3 3 4 4 5 54 , 7 , 1 1 ,a b a b a b 则 10 10ab A 28 B 76 C 123 D 199 7、在直角

4、三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则 22 2| | | |PA PBPC A 2 B 4 C 5 D 10 8、某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50计，投入资金不超过 54万元，假设种植 黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量 /亩 年种植成本 /亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元 为使一年 的种植总利润（总利润 =总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面 积（单位：亩）分别为 A 50， 0 B 30， 20 C 20， 30 D 0， 50 9、样本（ 12, ,

5、, nx x x ）的平均数为 x ，样本（ 12,my y y ）的平均数为 ()yx y ，若样本 （ 12, , , nx x x ， 12,my y y ）的平均数 (1 )z x y ，其中 10 2，则 ,nm的大小 关系为 A nm B nm C nm D 不能确定 10、如右图，已知正四棱锥 S ABCD 所有棱长都为 1，点 E 是侧棱 SC 上一动点，过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记 (0 1),SE x x 截面下面部分的 体积为 (),Vx则函数 ()y Vx 的图 像大致为 B D C A S E 2012年普通高等学校招生全国统一考试（江

6、西卷） 理科数学 第 卷 注： 第卷共 2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。 二。填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 11、计算定积分 1 2 1 ( sin )x x dx _。 12、设数列 , nnab都是等差数列，若 117ab， 3321ab，则 55ab_。 13、椭圆 22 1( 0)xy abab 的左、右顶点分别是 ,AB，左、右焦点分别是 12,FF。若 1 1 2 1| |,| |,| |AF F F F B成等比数列，则此椭圆的离心率为 _. 14、下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 _. 是 a =

7、0 a = 1 k = k + 1 k 6 输出 T 结束否 是 否 开始 三、选做题：请在下列两题中任选一题作答。若两题都做，则按第一题评阅计分。本题共 5 分。 15.（ 1）（坐标系与参数方程选做题）曲线 C 的直角坐标方程为 2220 x y x ，以原点为极 点， x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，则曲 线 C 的极坐标方程为 _。 15.（ 2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式 | 2 1 | | 2 1 | 6xx 的解集为 _。 四解答题：本大题共 6小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 12分） 已知数列 na 的前 n 项和

8、212 nS n kn （其中 kN ），且 nS 的最大值为 8 。 （ 1）确定常数 k ，并求 na ； （ 2）求数列 922 n na 的前 n 项和 nT 。 17、（本小题满分 12分） 在 ABC 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc。已知 4A ， s in ( ) s in ( )44b C c B a 。 （ 1）求证： 2BC （ 2）若 2a ，求 ABC 的面积。 18、（本题满分 12分） 如图，从 1(1,0,0)A ， 2(2,0,0)A ， 1(0,1,0)B ， 2(0,2,0)B ， 1(0,0,1)C ， 2(0,0,2)C 这 6 个点中随机选取

9、 3 个点，将这 3 个点及原 点 O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量 V（如 果选取的 3 个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积 0V ）。 （ 1）求 0V 的概率； （ 2）求 V 的分布列及数学期望 EV 。 19、（本题满分 12分） 在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，已知 1 5AB AC AA ， 4BC ，在 1A 在底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O 。 （ 1）证明在侧棱 1AA 上存在一点 E ，使得 OE 平面 11BBCC ， 并求出 AE 的长； （ 2）求平面 11ABC 与平面 11BBCC 夹角的余 弦值。 20

10、、（本题满分 13分） 已知三点 (0,0)O ， ( 2,1)A ， (2,1)B ，曲线 C 上任意一点 ( , )Mxy 满足 | | ( ) 2M A M B O M O A O B 。 （ 1）求曲线 C 的方程； （ 2）动点 0 0 0( , )( 2 2)Q x y x 在曲线 C 上，曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 。问：是否存在定 点 (0, )( 0)P t t ，使得 l 与 ,PAPB 都相交，交点分别为 ,DE，且 QAB 与 PDE 的面积之 比是常数？若存在，求 t 的值。若不存在，说明理由。 z y x A 2 A 1 B 2B 1 C 2 C 1 O B

11、 1 C 1 O A C B A 1 21、（本小题满分 14分） 若函数 ()hx满足 （ 1） (0) 1h ， (1) 0h ； （ 2）对任意 0,1a ，有 ( ( )h h a a ； （ 3）在 (0,1) 上单调递减。 则称 ()hx为补函数。已知函数 11( ) ( ) ( 1 , 0 )1 p p pxh x px 。 （ 1）判函数 ()hx是否为补函数，并证明你的结论； （ 2）若存在 0,1m ，使得 ()hm m ， 称 m 是函数 ()hx的中介元。记 1 ()p n Nn 时 ()hx 的中介元为 nx ，且 1() n iiS x x ，若对任意的 nN ，都有 12 nS ，求 的取值范围； （ 3）当 0 ， (0,1)x 时，函数 ()y hx 的图像总在直线 1yx 的上方，求 p 的取值范 围。