2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学试题（含答案）.pdf

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1、 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学 （理工类） 本试卷分为第卷（选择题）和第（非选择题）两部分，共 150 分，考试 用时 120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置 粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无 效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第卷 注意事项：本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . （ 1） i 是虚数单位，复数 ii37 =

2、（ A） 2 + i （ B） 2 i （ C） -2 + i （ D） -2 i （ 2）设 ,R 则“ 0 ”是“ )(cos()( Rxxxf 为偶函数”的 （ A）充分而不必要条件 （ B） 必要而不充分条件 （ C） 充分必要条件 （ D） 既不充分与不必要条件 （ 3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入 x 的值 为 -25 时，输出 x 的值为 （ A） -1 （ B） 1 （ C） 3 （ D） 9 （ 4）函数 22)( 3 xxf x 在区间 (0,1)内的零点个数是 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 （ 5）在 52 )12( xx 的二项展

3、开式中， x 的系数为 （ A） 10 （ B） -10 （ C） 40 （ D） -40 （ 6）在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 cba, ， 已知 8b=5c， C=2B， 则 cosC= （ A） 257 （ B） 257 （ C） 257 （ D） 2524 （ 7）已知 ABC 为等边三角形， AB=2，设点 P， Q 满足 ABAP ， ACAQ )1( ， 开 始 输入 x |x|1 ? 1| xx x = 2x+1 输出 x 结 束 是 否 CPBQ R ，若 23 ，则 = （ A） 21 （ B） 221 （ C） 2101 （ D） 2 223 （

4、8）设 Rnm , ，若直线 02)1()1( ynxm 与圆 1)1()1( 22 yx 相切， 则 m+n 的取值范围是 （ A） 31,31 （ B） ),3131,( （ C） 222,222 （ D） ),222222,( 第 卷 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . （ 9）某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所 . 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校 对学生进行视力调查，应从小学中抽取 _所 学校，中学中抽取 _所学校 . （ 10）一个几何体的三视图如图所示（单位： m）， 则该几何体的体积为 _m3. （ 11）已

5、知集合 ,32| xRxA 集合 ,0)2)(| xmxRxB 且 ),1( nBA 则 m =_， n = _. （ 12）已知抛物线的参数方程为 pty ptx 2 ,2 2 （ t 为参数） ,其中 p0，焦点为 F，准线 为 l . 过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E. 若 |EF|=|MF|，点 M 的横坐标是 3， 则 p = _. （ 13）如图，已知 AB和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作 圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D. 过点 C 作 BD 的 平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F， AF=3， FB=1， EF= 23 ，则线段 CD 的长为

6、 _. （ 14）已知函数 112 xxy 的图象与函数 2kxy 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 _. 三解答题：本大题共 6 小题 ,共 80 分 . 解答应写出文 字说明，证明过程或演算步 骤 . 3 1 36 3 22 3 侧视图 俯视图 正视图 F E C D B A （ 15）（本小题满分 13 分） 已知函数 .,1c o s2)32s in ()32s in ()( 2 Rxxxxxf （）求函数 )(xf 的最小正周期； （ ）求函数 )(xf 在区间 4,4 上的最大值和最小值 . （ 16）（本小题满分 13 分） 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲

7、、乙两个游戏可供参加者选择 .为 增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏， 掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏 . （）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率； （ ）求这 4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； 用 X， Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 YX ，求随 机变量 的分布列与数学期望 E . （ 17）（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PA平面 ABCD， AC AD， AB BC， BAC=45， PA=AD=2， AC=1. （）

8、证明 PC AD； （ ）求二面角 A-PC-D的正弦值； （）设 E为棱 PA上的点，满足异面 直线 BE与 CD所成的角为 30，求 AE的长 . （ 18） （本小题满分 13 分） 已知 na 是等差数列，其前 n 项和为 Sn， nb 是等比数列，且 27,2 4411 baba ， 1044 bS . （）求数列 na 与 nb 的通项 公式； （ ）记 nnnn bababaT 1211 ， *Nn ，证明 nnn baT 10212 （ *Nn ） . （ 19） （本小题满分 14 分） D C B A P 设椭圆 22 1( 0)xy abab 的左、右顶点分别为 A， B，点 P 在椭圆上且异于 A， B 两 点， O 为坐标原点 . （）若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 21 ，求椭圆的离心率； （ ）若 |AP|=|OA|，证明直线 OP的斜率 k满足 .3k （ 20） （本小题满分 14 分） 已知函数 )ln()( axxxf 的最小值为 0，其中 .0a （）求 a 的值； （ ）若对任意的 ),0 x 有 )(xf 2kx 成立，求实数 k 的最小值； （）证明 n i ni1 2)12ln(12 2 （ *Nn ） .