2010年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案解析.pdf

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1、绝密考试结束前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页，选择题部分 1 至 2 页，非选择题部 分 3 至 5 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共 50 分） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题 纸规定的位置上。 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 柱体的

2、体积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) ShV = 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 S 表示柱体的底面积， h表示柱体的高 P(AB)=P(A)P(B) 锥体的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n ShV 3 1 = 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 S 表示锥体的底面积， h表示锥体的高 knkk nn PPCkP = )1()( ),2,1,0( nk L= 球的表面积公式 台体的体积公式 2 4 RS = )( 3 1 2211 SSSShV += 球的体积公式 其中 S 1 ， S 2 分别表示台体的上、下底面积 3 3 4 RV =

3、 h表示台体的高 其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 （ 1）设 4|,4| 2 =k （ B） ?5k （ C） ?6k （ D） ?7k （ 3）设 n S 为等比数列 n a 的前 n项和， 08 52 =+aa ，则 = 2 5 S S （ A） 11 （ B） 5 （ C） -8 （ D） -11 （ 4）设 2 0 x ，则“ 1sin 2 xx ” 是“ 1sin = ba b y a x 的左、右焦点。若在双曲线右支上 存在点 P，满足 | 212 FFPF = ，且 F

4、2 到直线 PF 1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双 曲的渐近线方程为 （ A） 043 = yx （ B） 053 = yx （ C） 034 = yx （ D） 045 = yx （ 9）设函数 xxxf += )12sin(4)( ，则在下列区间中函数 )(xf 不 存在零点的是 （ A） -4， -2 （ B） -2， 0 （ C） 0， 2 （ D） 2， 4 （ 10）设函数的集合 1,0,1;1, 2 1 ,0, 3 1 |)(log)( 2 =+= babaxxfP ，平面上点的 集合 1,0,1;1, 2 1 ,0, 2 1 |),( = yxyxQ ，则在同一直角坐标系中

5、， P 中函数 )(xf 的图象恰好 经过 Q 中两个点的函数的个数是 （ A） 4 （ B） 6 （ C） 8 （ D） 10 绝密考试结束前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理科) 非选择题部分 （共 100 分） 注意事项： 1用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描 黑。 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。 （ 11）函数 xxxf 2 sin22) 4 2sin()( = 的最小正周期是 。 （ 12）若某几何体的三视图（单位： cm）如图

6、所示， 则此几何体的体积是 cm 3 . （ 13）设抛物线 )0(2 2 = ppxy 的焦点为 F，点 )2,0(A 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上， 则 B 到该抛物线准线的距离为 。 （ 14）设 nn xxNnn ) 3 1 3() 2 1 2(,2 + = n n xaxaxaa K+ 2 210 ，将 )0( nka k 的最小值记为 n T ，则 KK , 3 1 2 1 ,0, 3 1 2 1 ,0 55 54 33 32 n TTTTT = 其中 = n T 。 （ 15）设 da , 1 为实数，首项为 1 a ，公差为 d 的等差数列 n a 的前 n项和为 n

7、 S ，满足 015 65 =+SS 则 d 的取值范围是 。 （ 16 ）已知平面向量 ),0(, aaa 满足 aa = 与且,1 的夹角为 120 则 a 的取值范围是 。 （ 17）有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重” 、 “立定跳远” 、 “肺活量” 、 “握力” 、 “台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不 测“握力”项目，下午不测“台阶，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排 方式共有种 （用数字作答） 。 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （ 18）（本题满分 14 分

8、） 在 ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c， 已知 . 4 1 2cos =C （ I）求 Csin 的值； （ II）当 a=2， CA sinsin2 = 时，求 b 及 c 的长 . （ 19） （本题满分 14 分）如图，一个小球从 M 处投入，通过管道自上面下落到 A 或 B 或 C， 已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。 某商家按上述投球方式进行促销活动， 若投入的小球落到 A， B， C，则分别设为 1， 2， 3 等奖 . （ I）已知获得 1， 2， 3 等奖的折扣率分别为 50%， 70%， 90%， 记随机变量 为获得 )3,

9、2,1( =kk 等奖的折扣率， 求随机 变量 的分布列及数学期望 .E （ II）若有 3 人次（投入 1 球为 1 人次）参加促销活动，记随 机变量 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次，求 P（ 2= ） . （ 20） （本题满分 15 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E， F 分别在线段 AB， AD 上， AE=EB=AF= .4 3 2 =FD 沿直线 EF 将 AEF 翻折成 ,EFA 使平面 EFA 平面 BEF. （ I）求二面角 CFDA 的余弦值； （ II）点 M， N 分别在线段 FD， BC 上，若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折，使 C 与 A 重合

10、，求线段 FM 的长 . （ 21） （本题满分 15 分） 已知 1m ， 直线 ,0 2 : 2 = m myxl 椭圆 21 2 2 2 ,1: FFy m x C =+ 分别为椭圆 C 的左、右焦点 . （ I）当直线 l过右焦点 F 2 时，求直线 l的方程； （ II）设直线 l与椭圆 C 交于 A， B 两点， 21 FAF ， 21 FBF 的重心分别为 G， H.若原 点 O 在以线段 GH 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围 . （ 22 ）（本题满分 14 分）已知 a 是给定的实常数，设函数 ,)()()( 2 Rbebxaxxf x += ax = 是 )(xf 的

11、一个极大值点 . （ I）求 b 的取值范围 ; （ II）设 321 , xxx 是 )(xf 的 3 个极值点，问是否存在实数 b，可找到 Rx 4 ，使得 4321 , xxxx 的某种排列 432 , iiii xxxx （其中 4,3,2,1, 4321 =iiii ）依次成等 差数列？若存在，示所有的 b 及相应的 ; 4 x 若不存在，说明理由 . 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。 （ 1） B （ 2） A （ 3） D （ 4） B （ 5） D （ 6） B （ 7） C （ 8） C （ 9） A （ 10） B 二、填空

12、题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。 （ 11） （ 12） 144 （ 13） 3 2 4 （ 14） 0, 11 , 23 n n 当 为偶数时 当 为奇数时 （ 15） 22 22dd= 或 （ 16） 23 (0, 3 （ 17） 264 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。 （ 18）本题主要考查三角交换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。 满分 14 分。 （）解：因为 2 1 cos 2 1 2sin 4 CC= =， 及 0 C 所以 10 sin . 4 C = （）解：当 2, 2sin sinaAC= = 时， 由正

13、弦定理 sin sin ac A C = ，得 4.c = 由 2 1 cos 2 2cos 1 , 4 CC=及 0 C 得 6 cos . 4 C = 由余弦定理 222 2coscab abC=+ ，得 2 6120bb= 解得 626b = 或 所以 6, 2 6 44. bb cc = 或 （ 19）本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同 时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分 14 分。 （）解：由题意得 的分布列为 50% 70% 90% P 3 16 3 8 7 16 则 337 3 50% 70% 90% . 16 8 16 4 E

14、= + + = （）解：由（）知，获得 1 等奖或 2 等奖的概率为 339 . 16 8 16 += 由题意得 9 (3, ) 16 B 则 22 1 9 9 1701 (2) ()(1 ) . 16 16 4096 PC = = （ 20）本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向中量的应用，同 时考查空间想象能力和运算求解能力。满分 15 分。 方法一： （）解：取线段 EF 的中点 H，连结 A H 因为 A EAF= 及 H 是 EF 的中点， 所以 A HEF 又因为平面 A EF 平面 BEF，及 A H 平面 .A EF 所以 A H 平面 BEF。 如图建立

15、空间直角坐标系 .A xyz 则 (2,2,2 2), (10,8,0), (4,0,0), (10,0,0).ACFD 故 ( 2,2,2 2), (6,0,0)FN FD= = uuur uuur 设 (, ,)nxyz= r 为平面 A FD 的一个法向量 所以 22220 60 xy z x + + = = 取 2, (0, 2, 2)zn= r 则 又平面 BEF 的一个法向量 (0,0,1)m = ur 故 3 cos , 3 | | nm nm nm = = rur rur rur 所以二面角的余弦值为 3 . 3 （）解：设 (4 ,0,0)FM x M x=+则 因为翻折后，

16、 C 与 A 重合，所以 CM= A M 故 222 22 2 (6 ) 8 0 ( 2 ) 2 (2 2)xx+=+ ， 得 21 4 x = 经检验，此时点 N 在线段 BG 上 所以 21 . 4 FM = 方法二： （）解：取截段 EF 的中点 H， AF 的中点 G，连结 A G ， NH， GH 因为 A EAF= 及 H 是 EF 的中点， 所以 AH/EF。 又因为平面 AEF平面 BEF， 所以 AH平面 BEF， 又 AF 平面 BEF， 故 A HAF ， 又因为 G， H 是 AF， EF 的中点， 易知 GH/AB， 所以 GH AF ， 于是 AF 面 AGH 所以

17、 A GH 为二面角 A DF C 的平面角， 在 RtAGH 中， 22, 2, 23AH GH AG= 所以 3 cos . 3 AGH= 故二面角 A DF C 的余弦值为 3 3 。 （）解：设 FMx= ， 因为翻折后， G 与 A重合， 所以 CM A M ， 而 22 22 2 8(6)CM DC DM x=+ =+ 222222 2 22 (2 2) ( 2) 2AM AH MH AH MG GH x =+=+ + 得 21 4 x = 经检验，此时点 N 在线段 BC 上， 所以 21 . 4 FM = （ 21）本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础

18、知识，同时考 查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分 （）解：因为直线 2 :0 2 m lxmy=经过 2 2 (1,0)Fm 所以 2 22 1, 2 2 m mm= =得 又因为 1.m 所以 2.m = 故直线 l的方程为 210.xy= （）解：设 11 2 2 (, ),(, )Ax y Bx y ， 由 2 2 2 2 , 2 1 m xmy x y m =+ += 消去 x得 2 2 210 4 m ymy+= 则由 2 22 8( 1) 8 0 4 m mm= = + ， 知 2 8m 且有 2 12 12 1 ,. 282 mm yy yy+= = 由于 1

19、2 (,0),(,0)Fc Fc 故 O 为 F 1 F 2 的中点， 由 2, 2AGGOBHHO= uuur uuur uuur uuur ， 可知 2 11 2 (,),( , ) 33 3 3 x yyx GH 22 2 12 12 ()( ) | . 99 xx yy GH =+ 设 M 是 GH 的中点，则 1212 (, ) 66 x xy y M + + 由题意可知， 2| | | |MOGH 好 22 2212 12 12 12 ()( ) 4( ) ( ) 66 99 x xyy xxyy+ + 即 12 12 0.xx yy+ 而 22 12 12 1 2 12 ()()

20、 22 mm x xyy my my yy+=+ + 2 2 1 (1)( ), 82 m m=+ 所以 2 1 0. 82 m 即 2 4.m 且 所以 12.m 于是可设 12 ,x x 是 () 0gx= 的两实根，且 12 ,x x （ 1）当 12 x ax a=或 时，则 x a= 不是 ()f x 的极值点，此时不合题意 （ 2）当 12 x ax a且 时，由于 x a= 是 ()f x 的极大值点， 故 12 .x ax 即 () 0ga 即 2 (3 ) 2 0a aba baba+ + 所以 ba 所以 b的取值范围是（ -， a ） （）解：由（）可知，假设存了 b及

21、b x 满足题意，则 （ 1）当 21 x aax=时，则 42 41 22x xax xa= =或 于是 1 223.xx ab= + = 即 3.ba= 此时 2 42 23(1)826xxaab ab aa=+=+ 或 2 41 23(1)826.xxaab ab aa= = + += （ 2）当 21 x aax时，则 2122 2( ) ( ) 2( )x aaxax xa = = 或 若 2 212 2( ), 2 ax xa ax x + = =则 于是 2 12 3( 3) ( 1) 8 32 2 ab ab axx + + =+= 即 2 (1)83(3)ab ab+ +=

22、+ 于是 913 1 2 ab += 此时 2 2 2 ( 3) 3( 3) 1 13 3. 24 2 ax aab ab xba + + + + = =+ 若 1 12 2 2( ), 2 ax ax x a + = + =则x 于是 2 21 3( 3) ( 1) 8 32 2 ab ab axx + + =+= 即 2 ( 1) 8 3( 3)ab ab += + 于是 913 1. 2 ab + += 此时 1 2 2 ( 3) 3( 3) 1 13 3. 24 2 ax aab ab xba + + + = =+ 综上所述，存在 b满足题意 当 4 3, 26ba xa= = 时 当 4 713 113 , 22 ba xa + = = +时 当 4 713 113 ,. 22 ba aa = = +时