2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学试卷及答案解析.pdf

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1、绝密启用并使用完毕前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文 科 数 学 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束 后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县 区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 位置，不能写在试卷上；

2、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不 能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 锥体的体积公式： ShV 3 1 = 。其中 S 是锥体的底面积， h是锥体的高。 如果事伯 A、 B 互斥，那么 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） ； 如果事件 A、 B 独立，那么 )()()( BPAPABP = 第卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1已知全集 R=U ，集合 2 40Mxx= ，则

3、U M = （ A） 22xx （ B） 22xx （ C） 22xx x或 （ D） 22xx x或 （ 2） 已知 2ai bi i + = + (, )ab R ，其中 i为虚数单位，则 ab+ = （ A） -1 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 （ 3） )13(log)( 2 += x xf 的值域为 （ A） (0, )+ （ B） ) 0,+ （ C） (1, )+ （ D） ) 1, + （ 4）在空间，下列命题正确的是 （ A）平行直线的平行投影重合 （ B）平行于同一直线的两个平面 （ C）垂直于同一平面的两个平面平行 （ D） 垂直于同一平面的两个平面平行 （

4、5）设 ()f x 为定义在 R 上的函数。当 0 x 时， () 2 2 ( ) x fx x bb=+为常数 ， 则 (1)f = （ A） -3 （ B） -1 （ C） 1 （ D） 3 （ 6）在某项体育比赛中一位同学被评委所打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分值为和方差分别为 （ A） 92， 2 （ B） 92 ， 2 8 （ C） 93， 2 （ D） 93， 2 8 （ 7）设 n a 是首项大于零的等比数列，则“ 12 aap ”是“数列 n a 是递增数列” 的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而

5、不充分条件 （ C）充分而不必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 8）已知某生产厂家的年利润 y（单位：万元）与年产量 x（单位：万件）的函数关系式 为 2 1 81 234 3 yxx= + ，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 （ A） 13 万件 （ B） 11 万件 （ C） 9 万件 （ D） 7 万件 （ 9）已知抛物线 2 2( 0)ypxp=，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 ,AB两点，若 线段 AB的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的标准方程为 （ A） 1x= （ B） 1x= （ C） 2x = （ D） 2x = （ 10）观察 2 () 2x x= ，

6、 4 2 () 4x x= , (cos ) sinx x= ，由归纳推理可得：若定义在 R上的 函数 ()f x 满足 () ()f xfx= ，记 () ()gx fx为 的导函数，则 ()gx （ A） ()f x （ B） ()f x （ C） ()gx （ D） ()gx （ 11）函数 2 2 x y x=的图像大致是 （ 12）定义平面向量之间的一种运算“ e ”如下：对任意的 (,)amn= ， (,)bpq= ，令 a b mq mp=e 下面说法错误的是 （ A）若 ab与 共线，则 0ab=e （ B） abba=ee （ C）对任意的 ,Ra a ee有（ ） b= (

7、 b) （ D） 22 22 ()()ab ab ab+ =e 第卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 （ 13）执行右图所示流程框图，若输入 4x= ，则输出 y 的值为 _ （ 14） 已知 (, )x yR + ，且满足 1 34 xy + = ，则 xy的最大值为 _ （ 15 ）在 ABC 中，角 A BC、 所对的边分别为 a、b、c 若 ,2,2 = ba 2cossin =+ BB ,，则角 A的大小为 _ （ 16）已知圆 C过点 (1, 0) ，且圆心在 x轴的正半轴上，直线 1: = xyl 被该圆所截得的弦 长为 22，则圆 C的标准方程

8、为 _ 三、解答题：本题共6小题，共74分 。 （ 17） （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( ) sin( )cos cos ( 0)fx x x x = + 的最小正周期为 （）求 的值 （）将函数 ()yfx= 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 2 1 ，纵坐标不变，得到函数 ()ygx= 的图像，求函数 ()gx在区间 0, 16 上的最小值。 （ 18） （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a 满足： 357 7, 26aaa=+= n a 的前 n 项和为 n S 。 （）求 n a 及 n S ； （）令 2 1 () 1 n n bnN a + = ，求数列 n

9、 a 的前 n项和 T n （ 19） （本小题满分 12 分） 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1, 2, 3, 4 ， （）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； （）先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取 一个球，该球的编号为 n，求 2nm+ 的概率。 （ 20） （本小题满分 12 分） 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形， BCDAMA 平面 , PD MA , E GF、 分别为 MB 、 PCPB、 的中点，且 2MAPDAD = （）求证：平面 PDCEFG 平面 ; （）求三棱锥

10、的体积之比与四棱锥 ABCDPMABP （ 21） （本小题满分 12 分） 已知函数 ).(1 1 1)( Ra x a axnxxf += （）当 处的切线方程；，在点（时，求曲线 )2(2)(1 fxfya = （）当 1 2 a 时，讨论 ()f x 的单调性 （ 22） （本小题满分 14 分） 如图，已知椭圆 1 2 2 2 2 =+ b y a x (a b 0) 过点（ 1， 2 2 ） ，离心率为 2 2 ，左右焦点 分别为 12 FF 点 P为直线 l： 2xy+ = 上且不在 x轴上的任意一点， 直线 1 PF 和 2 PF 与 椭圆的交点分别为 AB、 和 ,CDO、

11、为坐标原点 （） 求椭圆的标准方程； （）设直线 1 PF 、 2 PF 斜率分别为 1 k 2 k、 ()i 证明： 12 13 2 kk = （）问直线 l上是否存在一点 P， 使直线 OA OB OC OD、 的斜率 OA OB OC OD kkkk、 满足 0 OA OB OC OD kkkk+ +=？若存在， 求出所有满足条件 的点 P的坐标；若不存在，说明理由 参考答案 评分说明： 1本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的 评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误

12、时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分。 （ 1） C （ 2） B （ 3） A （ 4） D （ 5） A （ 6） B （ 7） C （ 8） C （ 9） B （ 10） D （ 11） A （ 12） B 二、填空题：本题考 查基础知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分。 （

13、 13） 5 4 （ 14） 3 （ 15） 6 （ 16） 22 (3)x y +=4 三、解答题 （ 17）本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和 求解的能力，满分 12 分。 （）由（）知 2 1 ) 4 2sin( 2 2 )( += xxf ， 所以 2 1 ) 4 4sin( 2 2 )2()( += xxfxg 。 当 6 0 x 时， 24 4 4 + x 所以 1) 4 4sin( 2 2 + x 因此 12 1() 2 gx + ， 故 ()gx 在区间 0, 16 内的最小值为 1 （ 18）本小题主要考察等差数列的基本知识，考查逻辑推

14、理、等价变形和运算能力。 解： （）设等差数列a n的首项为 a 1，公差为 d， 由于 a 3 =7， a 5 + a 7 =26， 所以 a 1 +2d=7， 2a 1 +10d=26， 解得 a 1 =3， d=2. 由于 a n = a 1 +（ n-1） d， S n = 1 2 n(a 1 + a n ), 所以 a n =2n-1, S n =n 2 +n, （）因为 a n =2n-1， 所以 a n 2 -1=4n（ n+1） ， 因此 T n =b 1 + b 2 + b n = 1 4 (1- 1 2 + 1 2 - 1 2 + 1 n - 1 1n ) = 1 4 (1

15、- 1 1n ) = 4( 1) n n+ 所以数列 n b 的前 n项和 n T = 4( 1) n n+ 。 （ 19）本小题主要考察古典概念、对立事件的概率计算，考察学生分析问题、解决问题的能 力。满分 12 分。 解： （ I）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2， 1 和 3， 1 和 4， 2 和 3， 2 和 4， 3 和 4，共 6 个。 从袋中随机取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3 两个。 因此所求事件的概率为 1/3。 （ II）先从袋中随机取一个球，记下编号为 m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下 编号为 n，

16、其一切可能的结果（ m, n）有： （ 1,1） （ 1,2） ,（ 1,3） ,（ 1,4） ,（ 2,1） ,（ 2,2） ,（ 2,3） ,（ 2,4） ,（ 3,1） （ 3,2） , （ 3,3） （ 3,4） , （ 4,1） （ 4,2） ， （ 4,3） （ 4,4） ，共 16 个 有满足条件 n m+2 的事件为（ 1,3） （ 1,4） （ 2,4） ，共 3 个 所以满足条件 n m+2 的事件的概率为 P=3/16 故满足条件 n时此时 ，函数 ()f x 单调递减； 当 (1, )x+时， () 0hx 函数f(x) 单调递 （ 2）当 0a 时,由f(x)=0 即

17、 2 10ax x a+=，解得 12 1 1, 1xx a = = 当 1 2 a = 时， 12 ,() 0 xxhx=恒成立， 此时 () 0fx ，函数 ()f x 在（ 0， +）上单调递减； 当 11 0,10 2 a a 时 (0,1)x 时， ( ) 0, ( ) 0, ( )hx f x fx此时 函数 单调递减； 1 (1, 1)x a 时， () 0, () 0, ()hx f x fx此时 函数 单调递增； 1 (1,),()0 xhx a + 时 ，此时 () 0fx ，函数 ()f x 单调递减； 当 0a 时，由于 1 10 a ，此时 () 0fx ，函数 ()

18、f x 单调递减； (1, )x+时， () 0hx ，函数 ()f x 单调递增。 综上所述： 当 0a 时，函数 ()f x 在（，）上单调递减； 函数 ()f x 在（，）上单调递增； 当 1 2 a = 时，函数 ()f x 在（ 0， +）上单调递减； 当 1 0 2 a时，函数 ()f x 在（ 0， 1）上单调递减； 函数 ()f x 在 1 (1, 1) a 上单调递增； 函数 1 () ( 1, )fx a +在 上单调递减， （ 22）本小题主要考查椭圆的基本概念和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查数形结合 思想、分类讨论思想以及探求解决新问题的能力。 （）解：因为椭圆过

19、点（ 1， 2 2 ） ， e= 2 2 ， 所以 22 11 1 2ab +=， 2 2 c a = 又 222 abc=+， 所以 211abc=， 故 所求椭圆方程为 2 2 1 2 x y+= （ II） （ 1）证明： 方法二 : 1 , 1 ,P 0 0 2 0 0 100 = + = x y k x y kyx 则）（设 因为点 P 不在 x 轴上，所以 0 0 y 又 2 00 =+ yx 所以 2 22413131 0 0 0 0 0 0 0 0 21 = = + = y y y x y x y x kk ）（ 因此结论成立 （）解：设 (, ) AA Ax y ， (, )

20、 BB B xy， (, ) CC Cx y ， (, ) D D Dx y 1 2 ,1,0,0,0 2 2 22 2 =+ k k kkkxx ODOCDc 故 12 22 12 () 11 OA OB OC OD kk kkkk kk += + 22 12 1 1 2 2 22 12 2 (1)(1) kk k kk k kk + = 12 1 2 22 12 2( 1)( ) (1)(1) kk k k kk + = 若 0 OA OB OC OD kkkk+=，须有 12 kk+ =0 或 12 kk =1 当 12 kk+ =0 时，结合（）的结论，可得 2 k = 2，所以解得点 P 的坐标为（ 0， 2） ； 当 12 kk =1 时，结合（）的结论，可得 2 k =3 或 2 k = 1（此时 1 k = 1，不满足 1 k 2 k ，舍去 ） ，此时直线 CD 的方程为 3( 1)yx= ，联立方程 2xy+ = 得 5 4 x= ， 3 4 y = 因此 53 (,) 44 P 综上所述，满足条件的点 P 的坐标分别为 (0,2)， （ 5 4 ， 3 4 ） 。