2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学试卷及答案解析.pdf

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1、绝密启用并使用完毕前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束 后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县 区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 位置，不能写在试卷上；

2、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不 能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 锥体的体积公式： ShV 3 1 = 。其中 S 是锥体的底面积， h是锥体的高。 如果事伯 A、 B 互斥，那么 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） ； 如果事件 A、 B 独立，那么 )()()( BPAPABP = 第卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 （ 1）已知全集 U=R，集合 2|1| = xxM

3、 ，则 =MC U （ A） 31| P ，则 = )22( P （ A） 0.477 （ B） 0.628 （ C） 0.954 （ D） 0.977 （ 6）样本中共有五个个体，其值分别为 3,2,1,0,a ，若该样本的平均值为 1，则样本方差为 （ A） 5 6 （ B） 5 6 （ C） 2 （ D） 2 （ 7）由曲线 32 , xyxy = 围成的封闭图形面积为 （ A） 12 1 （ B） 4 1 （ C） 3 1 （ D） 12 7 （ 8）某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目 乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演

4、出顺序的编排方案共有 （ A） 36 种 （ B） 42 种 （ C） 48 种 （ D） 54 种 （ 9）设 n a 是等比数列，则“ 321 aaa 13 ,0 2 恒成立， 则 a的取值范围是 。 （ 15）在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 cba , ， 若 2cossin,2,2 = BBba ，则角 A 的大小 为 。 （ 16）已知圆 C 过点（ 1， 0） ，且圆心在 x轴的正半轴上，直 线 1: = xyl 被圆 C 所截得的弦长为 22 ，则过圆心 且与直线 l垂直的直线的方程为 。 三、解答题：本大题共6小题，共74分。 （ 17） （本小题满分 12

5、 分） 已知函数 )0)( 2 sin( 2 1 coscossin2sin 2 1 )( 2 =+ ba b y a x 的离心率 为 2 2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 21 ,FF 为顶点的三角形的周长为 )12(4 + ，一等轴双曲线 的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于项点 的任一点，直线 1 PF 和 2 PF 与椭圆的交点分别为 A、 B 和 C、 D. （）求椭圆和双曲线的标准方程； （）设直线 1 PF 、 2 PF 的斜率分别为 1 k 、 2 k ，证明： 1 21 =kk ； （）是否存在常数 ，使得 CDABCDAB =+ 恒成立？若存在，求 的值；

6、 若不存在，请说明理由 . （ 22） （本小题满分 14 分） 已知函数 )(1 1 1)( Ra x a axnxxf = . （）当 2 1 a 时，讨论 )(xf 的单调性； （）设 4 1 .42)( 2 =+= abxxxg 当 时，若对任意 )2,0( 1 x ，存在 2,1 2 x ，使 )()( 21 xgxf ，求实数 b的取值范围 . 参考答案 评分说明： 1本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的 评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分

7、的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分。 （ 1） C （ 2） B （ 3） D （ 4） D （ 5） C （ 6） D （ 7） A （ 8） B （ 9） C （ 10） A （ 11） A （ 12） B 二、填空题：本题考 查基础知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分。 （ 13） 5 4

8、 （ 14） 1 , ) 5 + （ 15） 6 （ 16） 30 xy+ = 三、解答题 （ 17）本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和 求解的能力，满分 12 分。 解： （）因为 2 11 ( ) sin 2 sin cos cos sin( )(0 ) 222 fx x x =+ 所以 11os21 ( ) sin 2 sin 2 cos cos 222 x fx x + =+ 11 sin 2 sin cos 2 cos 22 xx =+ 1 (sin 2 sin cos 2 cos ) 2 xx =+ 1 cos(2 ). 2 x = 又函数图

9、象过点 1 (,) 62 所以 11 cos(2 ) 22 6 = 即 cos( ) 1, 3 = 又 0 ， 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点， 所以 2m = 因此双曲线的标准方程为 22 1 44 xy = （）设 11 2 2 0 0 (, ),(, ),(, )Ax y Bx y Px y 则 00 12 , 22 yy kk xx = + 因为点 P 在双曲线 22 4xy=上， 所以 22 00 4.xy= 因此 00 0 12 2 00 0 1 22 4 yy y kk xx x = + 即 12 1.kk = （）由于 PF 1 的方程为 1 (2)ykx=+，将其代入椭圆方

10、程得 222 2 111 (2 1) 8 8 8 0kxkxk+= 由违达定理得 22 11 12 12 888 , 21 21 kk xx xx += = + 所以 22 112 12 |1 ( )4ABkxxx=+ + 22 2 11 1 888 1( )4 21 21 kk k =+ + 2 1 2 1 1 42 21 k k + = + 同理可得 2 2 2 2 1 |42 . 21 k CD k + = + 则 22 12 22 12 2121111 () | 11 42 kk AB CD kk + + += + + + 又 12 1kk = 所以 22 22 11 11 2 1 2

11、 1 21 21 2111 2 32 ()() 1 | 8 8 42 1 kk kk AB CD k + + += + = + = + 故 32 | | 8 AB CD AB CD+= 因此，存在 32 8 = ， 使 |ABCD ABCD+= 恒成立。 （ 22）本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、 数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。 解： （）因为 1 () ln 1 a fx x ax x =+ 所以 2 22 11 1 () (0, ) aaxxa fx a x x xx + =+ = + 令 2 () 1 ,

12、(0, )hx ax x ax=+ （ 1）当 0,() 1, (0, )ahxxx=+时 所以，当 (0,1) ,() 0, () 0 xhxfx时此时 ，函数 ()f x 单调递减； 当 (1, )x+时， () 0hx 函数f(x) 单调递 （ 2）当 0a 时,由f(x)=0 即 2 10ax x a+=，解得 12 1 1, 1xx a = = 当 1 2 a = 时， 12 ,() 0 xxhx=恒成立， 此时 () 0fx ，函数 ()f x 在（ 0， +）上单调递减； 当 11 0,10 2 a a 时 (0,1)x 时， ( ) 0, ( ) 0, ( )hx f x f

13、x此时 函数 单调递减； 1 (1, 1)x a 时， () 0, () 0, ()hx f x f x此时 函数 单调递增； 1 (1,),()0 xhx a + 时 ，此时 () 0fx ，函数 ()f x 单调递减； 当 0a 时，由于 1 10 a ，此时 () 0fx ，函数 ()f x 单调递减； (1, )x+时， () 0hx ，函数 ()f x 单调递增。 综上所述： 当 0a 时，函数 ()f x 在（，）上单调递减； 函数 ()f x 在（，）上单调递增； 当 1 2 a = 时，函数 ()f x 在（ 0， +）上单调递减； 当 1 0 2 a时，函数 ()f x 在（

14、 0， 1）上单调递减； 函数 ()f x 在 1 (1, 1) a 上单调递增； 函数 1 () ( 1, )fx a +在 上单调递减， （）因为 11 (0, ) 22 a = ，由（）知， 12 1, 3 (0, 2)xx= ，当 (0,1)x 时,f (x) 函数 ()f x 单调递增，所以 ()f x 在（ 0， 2）上的最小值为 1 (1) 2 f = 由于“对任意 1 (0,2)x ，存在 2 1, 2x ，使 12 () ()f xgx ”等价于 “ ()gx在 1， 2上的最小值不大于 ()f x 在（ 0， 2）上的最小值 1 2 ” （ *） 又 22 () ( ) 4 , 1,2gx x b b x= + ，所以 当 1b ，此时与（ *）矛盾； 当 1, 2b 时，因为 2 min () 4 0,gx b= ，同样与（ *）矛盾； 当 (2, )b+时，因为 min () (2) 8 4gx g b= = 解不等式 1 84 2 b，可得 17 . 8 b 综上， b的取值范围是 17 , ). 8 +