2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案解析.pdf

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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，其中第 II 卷第（22）-（24） 题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上 的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号， 非选择题答案使用 0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3、请按照

2、题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。 5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。 参考公式： 样本数据 n xxx L, 21 的标准差 锥体体积公式 22 2 12 1 ( ) ( ) ( ) n sxxxx xx n =+L 1 3 VSh= 其中 x为样本平均数 其中 S 为底面面积， h为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 来源:Z。xx。 k.Com VSh= 2 4SR= 3 4 3 VR= 其中 S 为底面面积， h为高 其中 R 为球的半径 第I卷 一、选择

3、题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）已知集合 | | 2, Ax xR=, | 4, B xx xZ=,则 AB = (A)(0,2) (B)0,2 (C)0,2 (D)0,1,2 (2)已知复数 2 3 (1 3 ) i z i + = ， z 是 z 的共轭复数，则 zz = A. 1 4 B. 1 2 C.1 D.2 (3)曲线 2 x y x = + 在点（ -1， -1）处的切线方程为 （ A） y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2 (4)如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时

4、针运动，其初始位置为 P 0 （ 2 ， - 2 ） ，角速度 为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为 （5）已知命题 1 p ：函数 22 x x y =在 R为增函数， 2 p ：函数 22 x x y =+在 R为减函数， 则在命题 1 q ： 12 p p ， 2 q ： 12 p p ， 3 q ： ( ) 12 pp 和 4 q ： () 12 pp 中，真命 题是 （A） 1 q ， 3 q （B） 2 q ， 3 q （C） 1 q ， 4 q （D） 2 q ， 4 q （6）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有

5、发芽的种子，每粒需 再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为 （A）100 （B）200 （C）300 （D）400 （7）如果执行右面的框图，输入 5N = ，则输出的数等于 （A） 5 4 （B） 4 5 （C） 6 5 （D） 5 6 （ 8）设偶函数 ()f x 满足 3 () 8( 0)fx x x= ，则 | ( 2) 0 xfx = (A) | 2 4xx x或 (B) | 0 4xx x或 (C) | 0 6xx x或 (D) | 2 2xx x或 （ 9）若 4 cos 5 = ， 是第三象限的角，则 1tan 2 1tan 2 + = (A) 1 2 (B

6、) 1 2 (C) 2 (D) -2 （ 10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面 积为 (A) 2 a (B) 2 7 3 a (C) 2 11 3 a (D) 2 5 a （ 11）已知函数 |lg |,0 10, () 1 6, 10. 2 xx fx xx 若 ,abc互不相等，且 () () (),f afbfc=则 abc的取值范围是 (A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20, 24) （ 12）已知双曲线 E的中心为原点， (3,0)P 是 E的焦点，过 F 的直线 l与 E相交于 A， B 两点，

7、且 AB 的中点为 (12,15)N ,则 E的方程式为 (A) 22 1 36 xy = (B) 22 1 45 xy = (C) 22 1 63 xy = (D) 22 1 54 xy = 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第（ 13）题 第（ 21）题为必考题，每个试题考生都 必须做答，第（ 22）题 第（ 24）题为选考题，考试根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （ 13）设 ()yfx= 为区间 0,1上的连续函数，且恒有 0()1fx ，可以用随机模拟方法 近似计算积分 1 0 ()f xdx ， 先产生两组 （每组 N 个） 区间 0,1上的均匀随

8、机数 12 , N x xx 和 12 , N y yy ，由此得到 N 个点 11 (, )( 1,2, )x yi N= , ，再数出其中满足 11 ()( 1,2, )y fx i N=, 的点数 1 N ，那么由随机模拟方案可得积分 1 0 ()f xdx 的近似值 为 。 （ 14）正视图为一个三角形的几何体可以是 _（写出三种） （ 15）过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y=0 相切于点 B（ 2,1） ，则圆 C 的方程为 _ (16)在 ABC 中， D 为边 BC 上一点， BD= 1 2 DC， ADB=120， AD=2，若 ADC 的面 积为 33 ，则 BAC

9、=_ 三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤 （ 17） （本小题满分 12 分） 设数列 n a 满足 21 11 2, 3 2 n nn aaa + =null （ 1） 求数列 n a 的通项公式； （ 2） 令 nn bna= ，求数列的前 n 项和 n S (18)（本小题满分 12 分） 如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形， ABnullCD,ACBD，垂足为 H， PH 是四棱锥的高 ， E 为 AD 中点 （ 1） 证明： PEBC （ 2） 若 APB=ADB=60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 (19)(本小题 12 分 ) 为调查

10、某地区老人是否需要志愿者提供帮助， 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老 年人，结果如下： 是否需要志愿 性别 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 （ 1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （ 2） 能否有 99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （ 3） 根据（ 2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的 老年人的比例？说明理由 附： （ 20） （本小题满分 12 分） 设 12 ,FF分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab +=的左、 右焦点， 过 1 F 斜率为 1 的直线

11、 i与 E相交于 ,AB两点，且 22 ,AF AB BF 成等差数列。 （ 1）求 E的离心率； （ 2） 设点 (0, 1)p 满足 PA PB= ，求 E的方程 （ 21） （本小题满分 12 分） 设函数 2 () 1 x f xe xax= 。 （ 1） 若 0a = ，求 ()f x 的单调区间； （ 2） 若当 0 x 时 () 0fx ，求 a的取值范围 请考生在第（ 22） 、 （ 23） 、 （ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （ 22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如

12、图，已经圆上的弧 ，过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： （） ACE=BCD； （）BC 2 =BFCD。 （23） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线C 1 x1tcos sinyt =+ = （ t 为参数） ， C 2 xcos siny = = （ 为参数） ， （）当 = 3 时，求 C 1 与 C 2 的交点坐标； （）过坐标原点 O 做 C 1的垂线，垂足为 ，P 为 OA 中点，当 变化时，求 P 点的轨迹的 参数方程，并指出它是什么曲线。 （ 24） （本小题满分 10 分）选修 4-5，不等式选项 设函数 () 2 4 1

13、f xxl= + （）画出函数 ()yfx= 的图像 （）若不等式 ()f x ax的解集非空，求 a 的取值范围。 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、 选择题 （ 1） D （ 2） A （ 3） A （ 4） C （ 5） C （ 6） B （ 7） D （ 8） B （ 9） A （ 10） B （ 11） C （ 12） B 二、填空题 （ 13） 1 N N （ 14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分） （ 15） 22 (3) 2xy+= （ 16） 60 三、解答题 （ 17）解： （）由已知，当 n 1 时， 11 1 211 ( )

14、 ( ) ( ) nnnnn aaaaa aaa + =+L 21 23 3(2 2 2) 2 nn = + +L 2( 1) 1 2 n+ = 。 而 1 2,a = 所以数列 n a 的通项公式为 21 2 n n a = 。 （）由 21 2 n nn bnan =知 35 21 12 22 32 2 n n Sn =+ + + +L 从而 2357 21 212232 n n Sn + =+L -得 2352121 (1 2 ) 2 2 2 2 2 nn n Sn + =+ L 。 即 21 1 (3 1)2 2 9 n n Sn + = （ 18）解： 以 H 为原点， ,HA HB

15、 HP 分别为 ,x yz轴，线段 HA的长为单位长， 建立空间直角坐 标系如图， 则 (1,0,0), (0,1,0)AB （）设 ( , 0, 0), (0, 0, )( 0, 0)Cm P n m npf 则 1 (0, ,0), ( , ,0). 22 m Dm E 可得 1 (, , ), (,1,0). 22 m PE n BC m= 因为 00 22 mm PE BC=+= 所以 PE BC （）由已知条件可得 33 ,1,mnC= = 故 ( ,0,0) 313 (0,0),(,0),(0,1) 326 DE P 设 (, ,)nxyx= 为平面 PEH 的法向量 则 , ,

16、nHE o nHP o = = 即 13 0 26 0 xy z = = 因此可以取 (1, 3, 0 )n= ， 由 (1, 0, 1)PA= uuur ， 可得 2 cos , 4 PAn = uuur 所以直线 PA与平面 PEH 所成角的正弦值为 2 4 （ 19）解： （ 1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要 帮助的老年人的比例的估算值为 70 14% 500 = （ 2） 2 2 500 (40 270 30 160) 9.967 200 300 70 430 K = 。 由于 9.9676.635,所以有 99%的把握认为该地区的

17、老年人是否需要帮助与性别有关。 (III)由 (II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该 地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区 老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽 样方法更好 （ 20.）解： （ I）由椭圆定义知 22 4AFBFABa+=，又 22 2 ABAFBF=+， 得 4 3 ABa= l的方程为 yxc=+，其中 22 cab=。 设 () 11 ,A xy， () 22 ,B xy，则 A、 B 两点坐标满足方程组 22 22 1 y xc xy ab =

18、+ += 化简的 () () 222 2 222 20abx acxacb+= 则 () 22 2 2 12 1222 22 2 , ac b ac xx xx ab ab += = + 因为直线 AB 斜率为 1，所以 AB = () 2 21 12 12 22 4x xxxx = + 得 2 22 44 , 3 ab a ab = + 故 22 2ab= 所以 E 的离心率 22 2 2 cab e aa = = （ II）设 AB 的中点为 () 00 ,Nxy ，由（ I）知 2 12 0 22 2 23 xx ac x c ab + = + ， 00 3 c yxc= +=。 由 P

19、A PB= ，得 1 PN k = ， 即 0 0 1 1 y x + = 得 3c = ，从而 32, 3ab= 故椭圆 E 的方程为 22 1 18 9 xy +=。 （ 21）解： （ 1） 0a = 时， () 1 x f xe x=， ( ) 1 x fx e= . 当 (,0)x 时， ( ) 0fx .故 ()f x 在 (,0) 单调减 少，在 (0, )+ 单调增加 （ II） ( ) 1 2 x f xe ax= 由（ I）知 1 x ex+，当且仅当 0 x = 时等号成立 .故 ( ) 2 (1 2 )f xxax ax = ， 从而当 12 0a，即 1 2 a 时，

20、 ( ) 0 ( 0)fx x，而 (0) 0f = ， 于是当 0 x 时， () 0fx . 由 1( 0) x exx+ 可得 1( 0) x exx .从而当 1 2 a 时， () 1 2( 1) ( 1)( 2) xxxx f xe ae ee e a + = ， 故当 (0,ln 2 )x a 时， ( ) 0fx ，而 (0) 0f = ，于是当 (0,ln 2 )x a 时， () 0fx . 综合得 a的取值范围为 1 (, 2 . （ 22）解： （ I）因为 null null AC BC= , 所以 BCD ABC=. 又因为 EC 与圆相切于点 C ，故 ACE A

21、BC = ， 所以 ACE BCD=. （ II）因为 ,ECB CDB EBC BCD=, 所以 BDC ECB ，故 BCCD BEBC = ， 即 2 BCBECD=. (23)解： （）当 3 = 时， 1 C 的普通方程为 3( 1)yx= ， 2 C 的普通方程为 22 1xy+=。联立 方程组 22 3( 1) 1 yx xy = += ，解得 1 C 与 2 C 的交点为（ 1,0） 13 22 ， 。 （） 1 C 的普通方程为 sin cos sin 0 xy =。 A 点坐标为 () 2 sin cos sin ， 故当 变化时， P 点轨迹的参数方程为： () 2 1 sin 2 1 sin cos 2 x y = = 为参数 P 点轨迹的普通方程为 2 2 11 416 xy += 。 故 P 点轨迹是圆心为 1 0 4 ， ，半径为 1 4 的圆。 （24） 解： （）由于 25 2 () 23 xx fx x + = ， ，x 2 则函数 ()y fx= 的图像如图所示。 （）由函数 ()yfx= 与函数 yax= 的图像可知，当且仅当 1 2 a 或 2a 时，函数 ()yfx= 与函数 yax= 的图像有交点。故不等式 ()f xax 的解集非空时， a 的取值范围 为 () 1 2 2 + U， 。