2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试卷（理科）及答案解析.pdf

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1、试卷类型：A 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、 座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，

2、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使 用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。 4、作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、 错涂、多涂的，答案无效。 5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：柱体的体积公式 V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高 线性回归方程 $ $ ybxa= + $ 中系数计算公式 其中 ,x y表示样本均值。 N是正整数，则 ( ) nn ab ab= 12 ( nn aab + + 21nn ab b + ） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分 ，满分 40分，在每小题给

3、出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1. 设复数 z 满足 ()12iz+=，其中 i为虚数单位，则 z = A 1 i+ B. 1 i C. 22i+ 22i 2已知集合 () ,A xy= ,x y为实数，且 22 1xy+ = ， ( ) ,B xy= ,x y为实数，且 yx= ， 则 A B 的元素个数为 0 1 2 3 3. 若向量，满足且，则 (2)ca b += 4 3 2 0 4. 设函数 () f x 和 ( ) gx分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 () ()f xgx+ 是偶函数 ( ) ( )f xgx 是奇函数 () ()f xgx+ 是偶函

4、数 ( ) ( )f xgx 是奇函数 5. 在平面直角坐标系 xOy上的区域 D由不等式组 02 2 2 x y x y 给定。若 (, )M xy为 D上的 动点，点 A的坐标为 (2,1)，则 zOMON= uuuur uuur null 的最大值为 A 42 B 32 C4 D3 6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢 两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A 1 2 B 3 5 C 2 3 D 3 4 7. 如图13，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图 都是矩形，则该几何体的体积为 A.

5、 63 B. 93 C. 12 3 D. 18 3 8.设S是整数集Z的非空子集，如果 ,ab S 有 ab S ，则称S关于数的乘法是封闭的. 若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集， ,TUZ=且 , ,abc T 有 ;, ,abc T x y z V 有 xyz V ，则下列结论恒成立的是 A. ,TV中至少有一个关于乘法是封闭的 B. ,TV中至多有一个关于乘法是封闭的 C. ,TV中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. ,TV中每一个关于乘法都是封闭的 16. 填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30分。 (一）必做题（9-13 题） 9. 不等

6、式 130 xx+的解集是 . 10. 7 2 xx x 的展开式中， 4 x 的系数是 （用数字作答） 11. 等差数列 n a 前9项的和等于前4项的和. 若 14 1, 0 k aaa= += ，则k=_. 12. 函数 2 () 3 1fx x x= + 在x=_处取得极小值。 13. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm . 因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师 用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 _cm. （二）选做题（14 - 15 题， 考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选 做题）已知两面线参数方程分别为

7、5cos (0 ) sin x y = 0,数列 n a 满足a 1 =b， 1 1 (2) 22 n n n nba an an = + . （1）求数列 n a 的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n， 1 1 1. 2 n n n b a + + + 21.（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L: 2 1 4 yx= . 实数p，q满足 2 40pq，x 1 ， x 2 是方程 2 0 xpxq+=的两根，记 12 (,) max ,p qxx = 。 （1）过点 2 000 1 (, )( 0) 4 Ap p p 作 L 的切线教 y 轴于点 B. 证明：对线

8、段 AB 上任一点 Q(p，q)有 0 (,) ; 2 p pq = （2） 设M(a， b)是定点， 其中 a， b满足a 2 -4b0,a0. 过M(a， b)作L的两条切线 12 ,ll， 切点分别为 22 11 2 2 (, ),(, ) 44 Ep p Ep p ， 12 ,ll与y轴分别交与F,F。线段EF上异于两端点的 点集记为X.证明：M(a,b) X 12 PP (,)ab 1 2 p = ; （3） 设D= (x,y)|yx-1,y 1 4 (x+1) 2 - 5 4 .当点(p,q)取遍D时， 求 (,)p q 的最小值 （记 为 min ）和最大值（记为 max ）.

9、2011 年广东高考理科数学参考答案 一、选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B C D A C D B A 二、填空题 . 1, )+ ； 10. 84； 11. 10； 12. 2； 13. 185； 14. 25 (1, ) 5 ； 15. 35 ； 三、解答题 16解： (1) 55 ( ) 2sin( ) 2sin 2 41264 f =; (2) 10 (3 ) 2sin 213 f += =， 5 sin 13 = ，又 0, 2 ， 12 cos 13 = ， 6 (3 2 ) 2sin( ) 2cos 25 f += += =， 3 cos 5 = ， 又

10、 0, 2 ， 4 sin 5 = ， 16 cos( ) cos cos sin sin 65 += =. 17解： （ 1）乙厂生产的产品总数为 14 535 98 = ； （ 2）样品中优等品的频率为 2 5 ，乙厂生产的优等品的数量为 2 35 14 5 = ； （ 3） 0,1, 2 = ， 2 23 2 5 () ii CC Pi C = (0,1,2)i = ， 的分布列为 0 1 2 P 3 10 3 5 1 10 均值 314 () 1 2 5105 E =+ = . 18.解： (1) 取 AD 的中点 G，又 PA=PD， PG AD ， 由题意知 ABC 是等边三角形，

11、 BGAD ， 又 PG, BG 是平面 PGB 的两条相交直线， ADPGB 平面 ， / , /EF PB DE GBQ ， DEF PGB平面 /平面 ， AD DEF 平面 (2) 由（ 1）知 PGB 为二面角 PADB的平面角， 在 RtPGA 中， 2 22 17 2() 24 PG =；在 RtBGA 中， 22 2 13 1() 24 BG = =； P A B C D F G E 在 PGB 中， 222 21 cos 27 PG BG PB PGB PG BG + = = . 19解： （ 1）两圆半径都为 2，设圆 C 的半径为 R，两圆心为 1 (5,0)F 、 2

12、(5,0)F ， 由题意得 12 |2|2RCF CF=+或 21 |2|2RCF CF= = +， 12 12 | | | | 4 2 5 | |CF CF FF = uuuur uuur 时，取， 由 2 MF k = 知直线 :2(5) MF ly x= ，联立 2 2 1 4 x y = 并整理得 2 15 32 5 9 0 xx+=解得 65 5 x= 或 14 5 ( 15 x= 舍去） ，此时 65 25 (,-) 55 P 所以 | | | |MPFP 最大值等于 2，此时 35 45 (, ) 55 P 20解（）法一： 1 1 2( 1) nn n aba na n = +

13、 ，得 1 11 2( 1) 12 1 n nn n an aba bba + =+， 设 n n n b a = ，则 1 21 nn bb bb = +(2)n ， （）当 2b= 时， n b 是以 1 2 为首项， 1 2 为公差的等差数列， 即 111 (1) 222 n bn n=+= ， 2 n a = （）当 2b 时，设 1 2 () nn bb b += +，则 1 22 (1) nn bb bb = +， 令 21 (1) bb =，得 1 2 b = ， 1 12 1 () 22 nn bb bb b +=+ (2)n ， 知 1 2 n b b + 是等比数列， 1

14、1 112 ()() 22 n n bb bbb +=+ ，又 1 1 b b = ， 12 1 12 () 222 nn n n n b b bb b b b = ， (2 ) 2 n n nn nb b a b = 法二： （）当 2b= 时， n b 是以 1 2 为首项， 1 2 为公差的等差数列， 即 111 (1) 222 n bn n=+= ， 2 n a = （）当 2b 时， 1 ab= ， 22 2 22 22(2) 2 2 bbb a b b = + ， 33 2 233 (2) 24 2 bbb a bb b = + + ， 猜想 (2) 2 n n nn nb b a

15、 b = ，下面用数学归纳法证明： 当 1n = 时，猜想显然成立； 假设当 nk= 时， (2) 2 k k kk kb b a b = ，则 1 1 11 (1) (1) (2) (1)(2) 2( 1) (2)2( 2) 2 kk k k kkkkk k kba kbkbb kbb a an kb b k b b + + + + + + = = + + ， 所以当 1nk=+时，猜想成立， 由知， *nN ， (2) 2 n n nn nb b a b = （） （）当 2b= 时， 1 1 2 21 2 n n n a + + = +，故 2b= 时，命题成立； （）当 2b 时， 2

16、2 22 1 22 2 nn nnnn bbb + + = ， 21 21 2 2 1 22 2 2 nnnnn bb b b + + = ， 11 11 22 1 ,2 22 2 nn nn nnnn bb b b + + + + =LL ，以上 n 个式子相加得 221 2 nn bb + 11 11 22 nn nn bb + + + +LL 21 2 1 22 2 nn nn bnb + + + ， 1 2 21 21 2 11 2(2)( 2 2 ) 2(2) 2 ( 2) 2 ( 2) nn n n n n nn n nnn nnn nbb bb b b b a + + + = L

17、 221 212 1 ( 2 2 2 )( 2) 2 ( 2) 2( 2) nn n n nn nnn bb b b b b b + + = L 21 21 1 1 1 (2) 22 2( 2) nnnnnn nnn bb b + + + + = 21 1 1 21 1 (2)(2) 2( 2) nnn nn n nnn bb b b + + + + + = 1 1 1 2 n n b + + = + 故当 2b 时，命题成立； 综上（） （）知命题成立 21解： （） 00 0 11 | ( )| 22 AB xp xp ky x p = = =， 直线 AB 的方程为 2 000 11 (

18、) 42 y ppxp= ，即 2 00 11 24 y px p=， 2 00 11 24 qppp =，方程 2 0 xpxq+=的判别式 22 0 4( )p qpp= = ， 两根 00 1,2 | 22 p pp p x =或 0 2 p p ， 0 0ppQ ， 00 | | | | | | 22 p p pp = ，又 0 0| |p p ， 000 | 222 p pp p，得 000 | | | | | | | | 222 p pp pp = ， 0 (,)| | 2 p pq = （）由 2 40ab知点 (, )M ab在抛物线 L 的下方， 当 0, 0ab时，作图可知

19、，若 (,)M ab X ，则 12 0pp，得 12 |p p ； 若 12 |p p ，显然有点 (,)M ab X ； (,)M ab X 12 |p p 当 0, 0ab ，且 12 |p p ； 若 12 |p p ，显然有点 (,)M ab X ； (,)M ab X 12 |p p 根据曲线的对称性可知，当 0a ， 综上所述， (,)M ab X 12 |p p（*） ； 由（）知点 M 在直线 EF 上，方程 2 0 xaxb +=的两根 1 1,2 2 p x = 或 1 2 p a ， 同理点 M 在直线 EF上，方程 2 0 xaxb +=的两根 2 1,2 2 p x

20、 = 或 2 2 p a ， 若 1 (, ) | | 2 p ab = ，则 1 | 2 p 不比 1 | 2 p a 、 2 | 2 p 、 2 | 2 p a 小， 12 |p p ，又 12 |p p (,)M ab X， 1 (, ) | | 2 p ab =(,)M ab X ；又由（）知， (,)M ab X 1 (, ) | | 2 p ab=； 1 (, ) | | 2 p ab =(,)M ab X ，综合（*）式，得证 （）联立 1y x=， 2 15 (1) 44 yx=+得交点 (0, 1), (2,1) ，可知 02p ， 过点 (,)p q 作抛物线 L 的切线，设切点为 2 00 1 (, ) 4 x x ，则 2 0 0 0 1 1 4 2 xq x xp = ， 得 2 00 240 xpxq+=，解得 2 0 4x ppq=+ ， 又 2 15 (1) 44 qp+，即 2 442p qp， 0 42x pp + ，设 42p t=， 2 0 1 2 2 x tt + + 2 15 (1) 22 t=+， 0 max max | 2 x =Q ，又 0 5 2 x ， max 5 4 = ； 1qpQ ， 2 0 44 | 2|2xpp p pp + +=+ =， 0 min min | 1 2 x =