2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学试卷—文史类及答案解析.pdf

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1、2011 年普通高等学校招生全国统 一考试（湖南卷）文史类 本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共 6 页时量 120 分钟，满分 150 分 参考公式（ 1）柱体体积公式 VSh= ，其中 S 为底面面积， h为高 （ 2）球的体积公式 3 4 3 VR= ，其中 R为球的半径 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1设全集 1,2,3,4,5, 2,4, U UMN MCN= =UI则 N =（ ） A 1, 2, 3 B 1, 3, 5 1, 4, 5 2,3, 4 答案： B 解析：画出韦恩图，可知 N =

2、 1,3,5。 若 ,ab Ri 为虚数单位，且 ()aiibi+ =+，则 1, 1ab= 1, 1ab= = 1, 1ab= = 1, 1ab= = 答案： C 解析：因 ()1aii aibi+=+=+，根据复数相等的条件可知 1, 1ab= = 。 1|1xx是 的 A充分不必要条件 必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 答案： A 解析：因 1|1xx ，反之 | | 1 1 1xxx 。 设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A 942 + 36 18 + 9 12 2 + 9 18 2 + 答案： D 解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组 合

3、体，其体积 3 43 9 +3 3 2= 18 32 2 V =+（） 。 5通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 3 3 2 正视图 侧视图 俯视图 图 1 由 2 2 22 ( ) 110 (40 30 20 30) 7.8 ( )( )( )( ) 60 50 60 50 nad bc KK abcdacbd = + 算得, 附表： 2 ()PK k 0 050 0 010 0 001 k 3 841 6 635 10 828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A

4、 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C 在犯错误的概率不超过 0 1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D 在犯错误的概率不超过 0 1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案： A 解析：由 2 7.8 6.635K ，而 2 ( 6.635) 0.010PK =，故由独立性检验的意义可知选 A. 6设双曲线 22 2 1( 0) 9 xy a a =的渐近线方程为 32 0,xy = 则 a的值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 答案： C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为 3 yx a =

5、，故可知 2a = 。 7曲线 sin 1 sin cos 2 x y xx = + 在点 (,0) 4 M 处的切线的斜率为（ ） A 1 2 B 1 2 C 2 2 D 2 2 答案： B 解析： 22 cos (sin cos ) sin (cos sin ) 1 (sin cos ) (sin cos ) xx x xx x y x xxx + = + ，所以 2 4 11 | 2 (sin cos ) 44 x y = = + 。 8已知函数 2 () 1, () 4 3, x fx e gx x x= =+若有 () (),f agb= 则 b 的取值范围为 A 2 2,2 2+

6、B (2 2,2 2)+ C 1, 3 D (1, 3) 答案： B 解析：由题可知 () 1 1 x fx e=， 22 () 4 3 ( 2) 1 1gx x x x=+= +，若有 () (),f agb= 则 () (1,1gb ，即 2 43 1bb +，解得 22 22b ，故有 2 个交点。 10已知某试验范围为 10， 90，若用分数法进行 4 次优选试验，则第二次试点可以 是 答案： 40 或 60（只填一个也正确） 解析：有区间长度为 80，可以将其等分 8 段，利用分 数法选取试点： 1 5 10 (90 10) 60 8 x =+ = ， 2 10 90 60 40 x

7、 =+=，由对称性可知，第二次试点 可以是 40 或 60。 (二 )必做题（ 11-16 题） 11 若执行如图 2 所示的框图，输入 1234 1, 2, 4, 8,xx x x=则输出的数等 于 答案： 15 4 解析：由框图功能可知，输出的数等于 1234 15 44 xxxx x + =。 12 已知 ()f x 为奇函数， () () 9, (2) 3, (2)gx fx g f=+= =则 答案： 6 解析： ( 2) ( 2) 9 3, ( 2) 6gf f=+= =则 ， 又 ()f x 为奇函数，所以 (2) ( 2) 6ff= = 。 13设向量 ,ab rr 满足 |2

8、5, (2,1),ab= rr 且 ab r r 与 的方向相反，则 a r 的坐标为 开始 输入 1234 ,x xxx 1, 0ix= = i x xx= + 4?i 在约束条件 1 yx ymx x y + 下，目标函数 5zx y= + 的最大值为 4，则 m 的值 为 答案： 3 解析：画出可行域，可知 5zx y=+ 在点 1 (,) 11 m mm+ 取最大值为 4，解得 3m= 。 15已知圆 22 :12,Cx y+=直线 : 4 3 25.lx y+ = （ 1）圆 C 的圆心到直线 l的距离为 (2) 圆 C 上任意一点 A到直线 l的距离小于 2 的概率为 答案： 5，

9、 1 6 解析： （ 1）由点到直线的距离公式可得 22 25 5 43 d = = + ； （ 2） 由 （ 1） 可知圆心到直线的距离为 5， 要使圆上点到直线的距离小于 2， 即 1 :4 3 15lxy+= 与圆相交所得劣弧上，由半径为 23，圆心到直线的距离为 3 可知劣弧所对圆心角为 3 ， 故所求概率为 1 3 26 P =. 16、给定 * kN ，设函数 * :f NN 满足：对于任意大于 k 的正整数 n， ()f nnk= （ 1）设 1k = ，则其中一个函数 f 在 1n= 处的函数值为 ； （ 2）设 4k = ，且当 4n 时， 2()3fn，则不同的函数 f 的

10、个数为 。 答案： （ 1） ()aa为正整数 ， （ 2） 16 解析： （ 1） 由题可知 * ()f nN ， 而 1k = 时， 1n 则 * () 1f nn N= ， 故只须 * (1)f N ， 故 (1) ( )faa= 为正整数 。 （ 2 ）由题可知 4k = ， 4n 则 * () 4f nn N= ，而 4n 时， 2()3fn即 () 2,3fn ，即 1, 2, 3, 4n ， () 2,3fn ，由乘法原理可知，不同的函数 f 的个数为 4 216= 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12

11、 分） 在 ABCnull 中，角 ,A BC所对的边分别为 ,abc且满足 sin cos .cAaC= （ I）求角 C 的大小； （ II）求 3sin cos( ) 4 AB +的最大值，并求取得最大值时角 ,AB的大小 解析： （ I）由正弦定理得 sin sin sin cos .CA AC= 因为 0,A = =从而 又 所以 则 （ II）由（ I）知 3 . 4 B A = 于是 3 sin cos( ) 3 sin cos( ) 4 3sin cos 2sin( ). 6 311 0, , , , 46 612 62 3 AB A A AA A AA AA += =+=+

12、+ += =Q 从而当 即 时 2sin( ) 6 A + 取最大值 2 综上所述， 3sin cos( ) 4 AB +的最大值为 2，此时 5 ,. 312 AB = 18 （本题满分 12 分） 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六 月份的降雨量 X（单位：毫米）有关据统计，当 X=70 时， Y=460； X 每增加 10， Y 增加 5；已知近 20 年 X 的值为： 140， 110， 160， 70， 200， 160， 140， 160， 220， 200， 110， 160， 160， 200， 140， 110， 160， 220

13、， 140， 160 （ I）完成如下的频率分布表： 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 1 20 4 20 2 20 （ II）假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为 概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490（万千瓦时）或超过 530（万千瓦时） 的概率 解： （ I）在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7 个，为 200 毫米 的有 3 个，故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 1 2

14、0 3 20 4 20 7 20 3 20 2 20 （ II） ( 1323 20 20 20 10 P += 发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时) =P(Y530)=P(X210) = 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490（万千瓦时）或超过 530（万千瓦时）的概率 为 3 10 19 （本题满分 12 分） 如图 3，在圆锥 PO中，已知 2,PO O= null 的直 径 null 2, ,ABCAB DAC= o 点 在 上,且 CAB=30 为 的 中点 （ I）证明： ;ACPOD平面 （ II）求直线和平面 PAC 所成角的正弦值 解析： （ I）因为 ,OA

15、 OC D AC=是 的中点,所以AC OD. 又 ,.PO O AC O AC OD nullnull底面 底面 所以 PO是平面 POD内的两条相交直线，所以 ;ACPOD平面 （ II）由（ I）知， ,ACPOD平面 又 ,AC PAC平面 所以平面 ,POD PAC平面 在 平面 POD中，过 O作 OH PD 于H, 则 ,OH PAC平面 连结 CH ，则 CH 是 OC PAC在平面 上的射影，所以 OCH 是直线 OC 和平面 PAC 所成的角 在 22 1 2 2 2 , 3 1 2 4 PO OD Rt POD OH PO OD = + + null null 中 在 2

16、 ,sin 3 OH Rt OHC OCH OC =null 中 20 （本题满分 13 分） 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M， M 的价值在使用过程中逐年减少， 从第 2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的 价值为上年初的 75% （ I）求第 n 年初 M 的价值 n a 的表达式； （ II）设 12 , n n aa a A n + = L 若 n A 大于 80 万元，则 M 继续使用，否则须在第 n 年初对 M 更新，证明：须在第 9 年初对 M 更新 解析： （ I）当 6n 时，数列 n a

17、是首项为 120，公差为 10 的等差数列 120 10( 1) 130 10 ; n an n= = 当 6n 时，数列 n a 是以 6 a 为首项，公比为 3 4 为等比数列，又 6 70a = ，所以 6 3 70 ( ) ; 4 n n a = 因此，第 n年初， M 的价值 n a 的表达式为 6 120 10( 1) 130 10 , 6 3 70 ( ) , 7 4 n n n nnn a an = = = (II)设 n S 表示数列 n a 的前 n项和，由等差及等比数列的求和公式得 当 16n时， 120 5 ( 1), 120 5( 1) 125 5 ; nn SnnA

18、 n n= 当 7n 时， 66 678 6 33 3 ( ) 570 70 4 1 ( ) 780 210 ( ) 44 4 3 780 210 ( ) 4 . nn nn n n SSaa a A n =+ = + = = L 因为 n a 是递减数列，所以 n A 是递减数列，又 86 96 89 33 780 210 ( ) 780 210 ( ) 47 79 44 82 80, 76 80, 864 99 AA = 所以须在第 9 年初对 M 更新 21已知平面内一动点 P到点 F（ 1， 0）的距离与点 P到 y 轴的距离的等等于 1 （ I）求动点 P的轨迹 C 的方程； （ I

19、I）过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 12 ,ll，设 1 l 与轨迹 C相交于点 ,A B， 2 l 与 轨迹 C相交于点 ,DE，求 ADEB uuur uuur 的最小值 解析： （ I）设动点 P的坐标为 (, )x y ，由题意为 22 (1) |1.xyx += 化简得 2 22|,y xx=+ 当 2 0, 4; 0 xyxx=时 当 时,y=0. 、 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 2 ,4(0) 0)yxx x= 和y=0( . （ II）由题意知，直线 1 l 的斜率存在且不为 0，设为 k ，则 1 l 的方程为 (1)ykx= 由 2 (1) 4 ykx y

20、 x = = ，得 22 2 2 (2 4) 0.kx k x k+= 设 11 2 2 ( , ), ( , ),Ax y Bx y 则 12 ,x x 是上述方程的两个实根，于是 12 12 2 4 2, 1xx xx k +=+ = 因为 12 ll ，所以 2 l 的斜率为 1 k 设 33 44 ( , ), ( , ),Dx y Bx y 则同理可得 2 34 34 24, 1xx kxx+ =+ = 故 12 34 2 2 2 2 ()() | | ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4 1(2 )11(24 )1 1 84( ) AD EB AF FD EF FB AF EF

21、AF FB FD EF FD FB AF FB FD EF xx xx k k k k = + + =+ =+ + + =+ + + + + =+ + uuur uuur uuur uuur uuur uuur null uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur nullnullnullnull uuur uuur uuur uuur nullnull 2 2 1 842 16k k + =null 当且仅当 2 2 1 k k = 即 1k = 时， AD EB uuur uuur 取最小值 16 22 （本小题 13 分） 设函数 1 () ln (

22、).f xx axaR x = (I)讨论 ()f x 的单调性； （ II）若 ()f x 有两个极值点 12 x x和 ，记过点 11 2 2 ( , ( ), ( , ( )Axfx Bx fx 的直线的斜率为 k ， 问：是否存在 a，使得 2?ka= 若存在，求出 a的值，若不存在，请说明理由 解析： （ I） ()f x 的定义域为 (0, ).+ 2 22 11 ( ) 1 axax fx xx x + =+ = 令 2 () 1,gx x ax=+其判别式 2 4.a= null (1) 当 |2, 0,()0,afx null时 故 () (0, )fx +在 上单调递增 (

23、2) 当 2a0,g(x)=0 的两根都小于 0，在 (0, )+ 上， ( ) 0fx ，故 () (0, )fx +在 上单调递增 (3) 当 2a null时,0,g(x)=0 的两根为 22 12 44 , aa aa xx + =， 当 1 0 x x ；当 12 x xx 时， ( ) 0fx 时， ( ) 0fx ， 故 ()f x 分别在 12 (0, ),( , )xx+ 上单调递增，在 12 (, )x x 上单调递减 （ II）由（ I）知， 2a 因为 12 1212 12 12 () () ( ) (ln ln ) xx f xfxxx axx xx =+ ，所以 1

24、2 12 12 12 12 () () ln ln1 1 f xfx x x ka xx xx xx =+null 又由 (I)知， 12 1xx = 于是 12 12 ln ln 2 x x ka x x = null 若存在 a，使得 2.ka=则 12 12 ln ln 1 xx xx = 即 1212 ln lnx xxx =亦即 222 2 1 2ln 0( 1)(*)xxx x = 再由（ I）知，函数 1 () 2lnht t t t = 在 (0, )+ 上单调递增，而 2 1x ，所以 22 2 11 2ln 1 2ln1 0. 1 xx x =这与 (*)式矛盾故不存在 a，使得 2.ka=