2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试卷（文科）及答案解析.pdf

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1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（文科） 本试卷共 4 页， 21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考生号、实施号、座位号填 写在答题卡上用 2B 铅笔将试卷类型（ B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答 题卡右上角 “条形码粘贴处 ”。 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把大题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡个题目指定区域内相应 位置上；如需改动

2、，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选作题地题号对应的信息点，再作答，漏凃，错涂、 多涂。答案无效。 5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体体积公式 V= 1 3 Sh,其中 S 为锥体的底面积， h 为锥体的高。 线性回归方程 y bx a= + 中系数计算公式 1 2 1 (1 )(1 ) , (1 ) n i n i xxyy bab xx = = = = 样本数据 x 1 ,x 2 ,， xa 的标准差， 2 1 1 ()2(2)() n x xxx

3、xx n + 其中 ,x y表示样本均值。 N是正整数，则 12 21 ()( ab ) nn nn nn ab aba ab b = + + + 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1设复数 z 满足 iz=1，其中 i 为虚数单位，则 A -i B i C -1 D 1 2已知集合 A= (, ) ,x yxy为实数，且 22 1xy+ = ， B= (, ) ,xy xy为实数， 且 1x y+=则 AB 的元素个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 3已知向量 a=（ 1,2） ， b=（ 1,0） ， c=（

4、3,4） 。若 为实数， （ ()ab+ c ） ，则 = A 1 4 B 1 2 C 1 D 2 4函数 1 () lg(1 ) 1 f xx x =+ 的定义域是 A (,1) B （ 1， +） C （ -1， 1）（ 1， +） D （ -， +） 5不等式 2x 2 -x-10 的解集是 A 1 (,1) 2 B （ 1， +） C （ -， 1）（ 2， +） D 1 (, )(1,) 2 + 6已知平面直角坐标系 xOy上的区域 D 由不等式 yx x x 2 2 20 给定，若 M（ x， y）为 D 上的 动点，点 A 的坐标为 (2,1)，则 z=OM OA的最大值为 A

5、3 B 4 C 3 2 D 4 2 7正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正 五棱柱对角线的条数共有 A 20 B 15 C 12 D 10 8设圆 C 与圆 x 2 +（ y-3） 2 =1 外切，与直线 y =0 相切，则 C 的圆心轨迹为 A抛物线 B双曲线 C椭圆 D圆 9如图 1-3，某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰三角形和菱 形，则该几何体体积为 A 34 B 4 C 32 D 2 10设 f（ x） ， g（ x） ， h（ x）是 R 上的任意实值函数，如下定义两个函数 ()()f gxo 和 ()()

6、f xx ； 对任意 x R ， （ fg） （ x） = ()f gx ； （ fg） （ x） = ()()f xgx则下列恒等式成立的是 A ( ) )() ( ) ( )()f ghx fh ghx= oo B ( ) )() ( )( )()f ghx fhghx=ooo C ( ) )( ) ( ) ( )( )f ghx fh ghx=oo ooo D ( ) )() ( )( )()f ghx fh ghx = 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 11已知 n a 是同等比数列， a 2 =2,a 4 -a 3 =4,则此数列的公比 q=_ 1

7、2设函数 3 () cos 1f xx x=+,若 () 11fa= ,则 f（ -a） =_ 13为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x（单位：小时）与当天投篮命中率 y 之间的关系： 时间 x 1 2 3 4 5 命中率 0 4 0 5 0 6 0 6 0 4 小李这 5 天的平均投篮命中率为 _;用线性回归分析的方法， 预测小李每月 6 号打篮 球 6 小时的投篮命中率为 _ （二）选择题（ 14-15 题，考生只能从中选做一题） 14 （坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 = = sin cos5 y

8、 （ 0 0，数列 n a 满足 a 1 =b, 1 1 (2) 1 n n n nba an an = + （ 1）求数列 n a 的通项公式； （ 2）证明：对于一切正整数 n， 2a n b n1+ +1 21 （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 :2lx= 交 x轴于点 A，设 P 是 l上一点， M 是线段 OP 的 垂直平分线上一点，且满足 MPO= AOP （ 1）当点 P 在 l上运动时，求点 M 的轨迹 E 的方程； （ 2）已知 T（ 1， -1） ，设 H 是 E 上动点 ,求 HO + HT 的最小值，并给出此时点 H 的坐标； （ 3）过点

9、T（ 1， -1）且不平行与 y 轴的直线 l 1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点，求直线 1 l 的斜率 k 的取值范围。 参考答案 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分。 A 卷： 1 5DBCBA 6 10CADCB 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性。共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分，其中 14 15 题是选做题，考生只能选做一题。 11 2 12 -9 13 0.5， 0.53 14 25 1, 5 15 7： 5 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步

10、骤。 16 （本小题满分 12 分） 解： （ 1） (0) 2sin 6 f = 2sin 1 6 = = ； （ 2） 10 1 32sin3 2sin, 13 2 3 2 6 f =+= += Q 61 (3 2 ) 2sin (3 2 ) 2sin 2cos , 536 f =+= += += 53 sin ,cos , 13 5 = 2 2 512 cos 1 sin 1 , 13 13 = = = 2 2 34 sin 1 cos 1 , 55 = = = 故 5312463 sin( ) sin cos cos sin . 13 5 13 5 65 += + =+= 17 （本小

11、题满分 13 分） 解： （ 1） 6 1 1 75 6 n n xx = = Q 5 6 1 6 6 75 70 76 72 70 72 90, n n xxx = = = 6 222222 1 11 ()(5135315)49 66 n n sxx = = = + = ， 7.s = / （ 2）从 5 位同学中随机选取 2 位同学，共有如下 10 种不同的取法： 1， 2， 1， 3， 1， 4， 1， 5， 2， 3， 2， 4， 2， 5， 3， 4， 3， 5， 4， 5， 选出的 2 位同学中，恰有 1 位同学的成绩位于（ 68， 75）的取法共有如下 4 种取法： 1， 2，

12、2， 3， 2， 4， 2， 5， 故所求概率为 2 . 5 18 （本小题满分 13 分） 证明： （ 1） null null ,A ACDCDQ 分别为 中点， 11 /OA OA 连接 BO 2 Q直线 BO 2 是由直线 AO 1 平移得到 12 /AO BO 12 /OA BO 12 , ,OAOB 共面。 （ 2）将 AO 1 延长至 H 使得 O 1 H=O 1 A， 连接 1 ,HO HB H H 由平移性质得 12 OO =HB 21 /BOHO 11 , 2 AG HO HH AH OHH GAH =Q 1 GA H O H H 1 2 HO H GHA += 1 OH

13、HG 2 BOHG 12 2 12 22 2 22 2 ,OO BO OO OO BO OO O =Q 12 22 OO BBOO 平面 12 2 OO BO 2 BOHB HB HG H =Q 2 .BOHBG 平面 19 （本小题满分 14 分） 解：函数 ()f x 的定义域为 (0, ).+ 2 2(1) 2(1)1 () , aax ax fx x + = 当 2 12(1)10+=时,方程2a(1-a)x 的判别式 1 12( 1) . 3 aa = 当 1 0,0,() 3 afx时 有两个零点， 12 ( 1)(3 1) ( 1)(3 1)11 0, 22(1) 22(1) a

14、a aa xx aaa aaa =+ 且当 12 12 0 , () 0, () (0, ) ( , )xxxx fx fx x x +或时 在与 内为增函数； 当 12 12 ,()0,()(,)x xx fx fx xx 时在内为减函数； 当 1 1 , 0, () 0, () (0, ) 3 afxfx +时在内为增函数； 当 1 ( 1)(3 1)1 1 , 0, 0, 22(1) aa ax aaa = 时 2 (1)(31)1 0, ( ) 22(1) aa x fx aaa =+ 所以 在定义域内有唯一零点 1 x ， 且当 11 0 , () 0, () (0, )x xfx

15、fx x时在内为增函数；当 1 x x 时， 1 () 0, () ( , )fx fx x +在 内为减函数。 ()f x 的单调区间如下表： 1 0 3 a 1 (0, )x 12 (, )x x 2 (, )x + (0, )+ 1 (0, )x 1 (, )x + （其中 12 ( 1)(3 1) ( 1)(3 1)11 , 22(1) 22(1) aa aa xx aaa aaa = =+ ） 20 （本小题满分 14 分） 解： （ 1）由 1 1 1 0, 0 1 n n n nba ab a an = = + 知 1 11 1 nn nn abba =+ 令 1 1 , n n

16、 n AA ab = 当 1 11 2, nn nA A bb =+时 1 11 111 nn A b bb =+ +L 1 111 . nn b bb =+ +L 当 11 1 1 1, 1 (1) 1 nn n n bb b bA bb b = = 时 当 1b = 时， . n An= (1) ,1 1 1, 1 n n n nb b b a b b = = （ 2）当 1 2(1) 1,( 2 1, 1 n n n n nb b ba b b + = 时欲证 只需 1 1 2(1) 1 n nn b nb b b + + 1221112 1 (1) 1 1 n nnnnnn b bbb

17、bbb b + +=+ + QLL 1 1 11 1 nn n nn bb b b bbb =+ L (2 2 2) n b+L 2, n nb= 1 2(1) 21. 1 n n n n nb b ab b + = 综上所述 1 21. n n ab + + 21 （本小题满分 14 分） 解： （ 1）如图 1，设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线，交 OP 于点 Q， ,|.MPQ AOP MP l MO MP= =Q 且 因此 22 |2|,xy x+=+即 2 4( 1)( 1).yxx=+ 另一种情况，见图 2（即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧） 。 QMQ 为线段 OP

18、的垂直平分线， .MPQ MOQ= 又 ,.MPQ AOP MOQ AOP=Q 因此 M 在 x轴上，此时，记 M 的坐标为 (,0).x 为分析 (,0)M xx中 的变化范围，设 (2,)Pa 为 l上任意点 ().aR 由 |MOMP= （即 22 | ( 2)x xa=+）得， 2 1 11. 4 xa= 故 (,0)M x 的轨迹方程为 0, 1yx= 综合和得，点 M 轨迹 E 的方程为 2 4( 1), 1, 0, 1. xx y x + = （ 2）由（ 1）知，轨迹 E 的方程由下面 E 1 和 E 2 两部分组成（见图 3） ： 2 1 :4(1)(1)Ey x x=+；

19、2 :0, 1.Ey x=+ 综合可得， |HO|+|HT|的最小值为 3，且此时点 H 的坐标为 3 ,1. 4 （ 3）由图 3 知，直线 1 l 的斜率 k 不可能为零。 设 1 :1(1)(0).ly kx k+= 故 1 1 (1)1,x yE k =+代入 的方程得： 2 44 80.yy kk += 因判别式 2 2 16 4 4 48 2280. kkk = + + = + + 所以 1 l 与 E 中的 E 1 有且仅有两个不同的交点。 又由 E 2 和 1 l 的方程可知，若 1 l 与 E 2 有交点， 则此交点的坐标为 12 11 1 ,0 , 1. 0 , 2 kk klE + 且即当 时与 有唯一交点 1 ,0 k k + ，从而 1 l 表三个不同的交点。 因此，直线 1 lk斜率 的取值范围是 1 (, (0,). 2 +