2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学试卷（供文科考生使用）及答案解析.pdf

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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数 学（供文科考生使用） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上 2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效 3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1已知集合A=x 1| x ，B=x 21| x ，则AIB= Ax 21|

2、x Cx 11| x Dx 21| xf， 则42)( + xxf的解集为 A（1，1） B（1，+） C（，1） D（，+） 12已知函数)(xf =Atan（x+）（ 2 |,0 ），y= )(xf的 部分图像如下图，则=) 24 ( f A2+ 3 B3 C 3 3 D23 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22题第24题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为_ 14调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万

3、元），调查显示 年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程： 321.0254.0 += xy由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增 加_万元 15S n 为等差数列a n 的前n项和，S 2 =S 6 ，a 4 =1，则a 5 =_ 16已知函数axexf x += 2)(有零点，则a的取值范围是_ 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分12分） ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos 2 A= 2 a （I）求 b a ； （II）若c 2 =b 2 + 3 a 2

4、 ，求B 18（本小题满分12分） 如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB= 1 2 PD （I）证明：PQ平面DCQ； （II）求棱锥QABCD的的体积与棱锥PDCQ的体积的比值 19（本小题满分12分） 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙） 进行田间试验选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小 块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙 （I）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率； （II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的 每公顷产量（单位：kg/

5、hm 2 ）如下表： 品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该 种植哪一品种？ 附：样本数据 n xxx , 21 的的样本方差 )()()( 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n s n += ，其中 x 为 样本平均数 20（本小题满分12分） 设函数)(xf =x+ax 2 +blnx，曲线y= )(xf过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2 （I）求a，b的值； （II）证明：)(xf 2x-2

6、21（本小题满分12分） 如图，已知椭圆C 1 的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C 2 的短轴 为MN，且C 1 ，C 2 的离心率都为e，直线l MN，l与C 1 交于两点，与C 2 交于两点，这四 点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D （I）设 1 2 e=，求BC与AD的比值； （II）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答是 用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑 22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延

7、长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED （I）证明：CD/AB； （II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆 23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1 的参数方程为 = = sin cos y x （为参数），曲线C 2 的参 数方程为 = = sin cos by ax （0ba，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐 标系中，射线l：=与C 1 ，C 2 各有一个交点当 =0时，这两个交点间的距离为2，当 = 2 时，这两个交点重合 （I）分别说明C 1 ，C 2 是什么曲线，并求出a与b

8、的值； （II）设当 = 4 时，l与C 1 ，C 2 的交点分别为A 1 ，B 1 ，当 = 4 时，l与C 1 ，C 2 的交点为 A 2 ，B 2 ，求四边形A 1 A 2 B 2 B 1 的面积 24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数)(xf =|x-2| | x-5| （I）证明：3 )(xf 3； （II）求不等式)(xf x 2 8 x+15的解集 参考答案 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该

9、题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4只给整数分数，选择题不给中间分. 一、选择题 15 DADAB 610 ACBCC 1112 BB 二、填空题 13 22 (2) 10 xy+= 140.254 151 16(,2ln22 三、解答题 17解：（I）由正弦定理得， 22 sin sin cos 2 sinA BA A+=，即 22 sin (sin cos ) 2 sinB AA A+= 故sin 2 sin , 2. b

10、BA a =所以 6分 （II）由余弦定理和 22 2 (1 3) 3, cos . 2 a cb a B c + =+ =得 由（I）知 22 2,ba=故 22 (2 3) .ca=+ 可得 2 12 cos , cos 0, cos , 45 22 BBBB= o 又故所以 12分 18解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形 因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD. 又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC. 在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ= 2 2 PD，则PQQD 所以PQ平面DCQ. 6分 （II）设AB=a. 由题设知AQ为

11、棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积 3 1 1 . 3 Va= 由（I）知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQ= 2a，DCQ的面积为 2 2 2 a， 所以棱锥PDCQ的体积为 3 2 1 . 3 Va= 故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.12分 19解：（I）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4， 令事件A=“第一大块地都种品种甲”. 从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个； （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）. 而事件A包含1个基本事件：（1，2）. 所以 1 () . 6 PA=

12、 6分 （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 22 22 2222 1 (403 397 390 404 388 400 412 406) 400, 8 1 (3 ( 3) ( 10) 4 ( 12) 0 12 6 ) 57.25. 8 x S =+= = += 甲 甲 8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 2222222 22 1 (419 403 412 418 408 423 400 413) 412, 8 1 (7 ( 9) 0 6 ( 4) 11 ( 12) 1 ) 56. 8 x S = + = = + += 乙 乙 10分 由以上结果可以看出

13、，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差 差异不大，故应该选择种植品种乙. 20解：（I）() 1 2 . b fx ax x =+ + 2分 由已知条件得 (1) 0, 1 0, (1) 2. 1 2 2. fa b =+= =+= 即 解得1, 3.ab= = 5分 （II）() (0, )fx +的定义域为，由（I）知 2 () 3ln.f xxx x= + 设 2 () () (2 2) 2 3ln,gx fx x x x x=+则 3(1)(23) () 1 2 . xx gx x xx + = + = 0 1,()0; 1,()0. () (0,1) , (1

14、, ) . xgx xgx gx 故当时即 12分 21解：（I）因为C 1 ，C 2 的离心率相同，故依题意可设 22 222 12 22 4 2 :1,: 1,(0) xy byx CC ab ab a a += += 设直线:(|)lx t t a=，分别与C 1 ，C 2 的方程联立，求得 22 22 (, ), (, ). ab A tatBtat ba 4分 当 13 , , 22 AB eba yy=时分别用表示A，B的纵坐标，可知 2 2 2| | 3 |:| . 2| | 4 B A y b BC AD y a = 6分 （II）t=0时的l不符合题意. 0t 时，BO/AN

15、当且仅当BO的斜率k BO 与AN的斜率k AN 相等， 即 22 22 , ba at at ab tta = 解得 22 22 2 1 . ab e ta ab e = = 因为 2 2 12 | , 0 1, 1, 1. 2 e ta e e e 又所以解得 所以当 2 0 2 e时，不存在直线l，使得BO/AN； 当 2 1 2 e时，存在直线l使得BO/AN. 12分 22解： （I）因为EC=ED，所以EDC=ECD. 因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDC=EBA. 故ECD=EBA， 所以CD/AB. 5分 （II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故EFD=EGC

16、 从而FED=GEC. 连结AF，BG，则EFAEGB，故FAE=GBE， 又CD/AB，EDC=ECD，所以FAB=GBA. 所以AFG+GBA=180. 故A，B，G，F四点共圆 10分 23解： （I）C 1 是圆，C 2 是椭圆. 当0 =时，射线l与C 1 ，C 2 交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距 离为2，所以a=3. 当 2 =时，射线l与C 1 ，C 2 交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合， 所以b=1. （II）C 1 ，C 2 的普通方程分别为 2 22 2 11. 9 x xy y+ =+=和 当 4 =时，射线l与C

17、1 交点A 1 的横坐标为 2 2 x =，与C 2 交点B 1 的横坐标为 310 . 10 x= 当 4 =时，射线l与C 1 ，C 2 的两个交点A 2 ，B 2 分别与A 1 ，B 1 关于x轴对称，因此， 四边形A 1 A 2 B 2 B 1 为梯形. 故四边形A 1 A 2 B 2 B 1 的面积为 (2 2 )( ) 2 . 25 xxxx + = 10分 24解： （I） 3, 2, () | 2| | 5| 2 7, 2 5, 3, 5. x fx x x x x x = 当25,3273.xx 时 所以3()3.fx 5分 （II）由（I）可知， 当 2 2,() 8 15xfxxx+时的解集为空集； 当 2 25,() 815 |535xfxxx x x + 时的解集为； 当 2 5,() 8 15 |5 6xfxxx xx+ 时的解集为. 综上，不等式 2 () 8 15 |5 3 6.fx x x x x+ 的解集为 10分