2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷（文史类）及答案解析.pdf

《2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷（文史类）及答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷（文史类）及答案解析.pdf（10页珍藏版）》请在麦多课文档分享上搜索。

1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。 答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡 一并交回。 第卷 注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。 2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： 如果事件 A， B 互斥，那么 棱柱的体积公式 VSh= ( )

2、() ()PA B PA PB= + 其中 S 表示棱柱的底面面积。 h表示棱柱的高。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1 i是虚数单位，复数 13 1 i i = A 2 i B 2 i+ C 12i D 12i+ 2设变量 x， y 满足约束条件 1, 40, 340, x xy xy + + 则目标函数 3zxy= 的最大值为 A -4 B 0 C 4 3 D 4 3阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值为 -4，则输出 y 的值为 A ,0 5 B 1 C 2 D 4 4设集合 |20, |0A x Rx B x Rx= = ， 则“ x A

3、B”是“ x C ”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 5已知 244 log 3.6, log 3.2, log 3.6abc=则 A abc B acb C bac D cab 6已知双曲线 22 22 1( 0, 0) xy ab ab =的左顶点与抛物线 2 2( 0)ypxp= 的焦点的距离为 4， 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（ -2， -1） ，则双曲线的焦距为 （ ） A 23 B 25 C 43 D 45 7已知函数 () 2sin( ),f xxxR =+，其中 0, , ( )f x 设函数 2 ()

4、 ( 2) ( 1),f xx xxR= 。 若函数 ()yfxc=的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是 （ ） A (1,1 (2, )+ B (2,1 (1,2 C (,2)(1,2 D -2， -1 第卷 注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2本卷共 12 小题，共 110 分。 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9已知集合 |12,A xRx Z= 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 。点 (,)Pab满足 212 | |.PF F F= （）求椭圆的离心率 e； （）设直线 PF 2 与椭圆相交于 A， B

5、两点，若直线 PF 2 与圆 22 (1)( 3)16xy+ + =相交于 M， N 两点，且 5 | 8 MNAB= ，求椭圆的方程。 19 （本小题满分 14 分）已知函数 32 () 4 3 6 1,f x x tx tx t x R= +，其中 tR （）当 1t = 时，求曲线 ()yfx= 在点 (0, (0)f 处的切线方程； （）当 0t 时，求 ()f x 的单调区间； （）证明：对任意的 (0, ), ( )tfx+ 在区间 (0,1) 内均存在零点 20 （本小题满分 14 分） 已知数列 nn ab与 满足 1 * 11 1 3(1) (2) 1, , , 2. 2 n

6、 n nn nn n ba ba b nN a + + + = + = =且 （）求 23 ,aa的值； （）设 * 21 21 , nn n ca anN + = ，证明 n c 是等比数列； （）设 n S 为 n a 的前 n项和，证明 *21 212 12 212 1 (). 3 nn nn SSSS nnN aa a a + + L 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 40 分。 1 4ADCC 5 8BBAB 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 30 分。 9 3 10 4 11 110 12 18 13 7 2 14

7、5 三、解答题 （ 15）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式的 等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，满分 13 分。 （）解： 4， 6， 6 （） （ i）解：得分在区间 20,30) 内的运动员编号为 3 4 5 10 11 13 , , , .AAAA A A从中随机抽取 2 人，所有可能的抽取结果有： 3 4 35 310 31 313 45 , , , , , , , , , , , ,AA AA AA AA AA AA 410 , AA ， 411 413 510 51 513 1011 1013 1 13

8、, , , , , , , , , , , , , , , AA AA AA AA AA A A A A AA ，共 15 种。 （ ii）解： “从得分在区间 20,30) 内的运动员中随机抽取 2 人，这 2 人得分之和大于 50” （记 为事件 B）的所有可能结果有： 45 410 41 510 101 , , , , , , , , , AA AA AA AA A A ，共 5 种。 所以 51 () . 15 3 PB= （ 16）本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、 余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分 13 分。 （）解：由 3

9、,2 3 , 2 B Cb a cb a= =可得 所以 222 222 33 1 44 cos . 23 33 2 22 aaa bca A bc aa + + = = （）解：因为 1 cos , (0, ) 3 AA= ，所以 2 22 sin 1 cos 3 AA= = 2 74 cos 2 2cos 1 . sin 2 2sin cos . 99 AA AAA= = = =故 所 以 72422872 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin . 4449291 AAA + += = = （ 17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，

10、考 查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分 13 分。 （）证明：连接 BD， MO，在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点，又 M 为 PD 的中点，所以 PB/MO。因为 PB 平面 ACM， MO 平面 ACM，所 以 PB/平面 ACM。 （）证明：因为 45ADC =，且 AD=AC=1， 所以 90DAC =，即 ADAC ，又 PO 平面 ABCD， AD 平面 ABCD，所以 ,PO AD AC PO O =而 ，所以 AD 平面 PAC。 （）解：取 DO 中点 N，连接 MN， AN，因为 M 为 PD 的中点，所以 MN/

11、PO，且 1 1, 2 MNPO PO= 由 平面 ABCD，得 MN 平面 ABCD，所 以 MAN 是直线 AM 与平 面 ABCD 所成的角，在 RtDAO 中， 1 1, 2 AD AO= = ，所以 5 2 DO = ，从而 15 24 AN DO=， 在 145 ,tan 5 5 4 MN Rt ANM MAN AN =中 ，即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切 值为 45 . 5 （ 18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线 的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形 结合的数学思想，考查解

12、决问题能力与运算能力，满分 13 分。 （）解：设 12 ( ,0), ( ,0)( 0)Fc Fc c ，因为 212 | |PF FF= ， 所以 22 () 2ac b c+=，整理得 2 210,1 cc c aa a + = = 得 （舍） 或 11 ,. 22 c e a =所以 （）解：由（）知 2, 3acb c=，可得椭圆方程为 22 2 3412x yc+=，直线 FF 2 的方程 为 3( ).yxc= A， B 两点的坐标满足方程组 22 2 3412, 3( ). x yc yxc += = 消去 y 并整理，得 2 580 xcx=。解得 12 8 0, 5 x x

13、c=，得方程组的解 2 1 1 2 8 , 0, 5 3, 3 3 . 5 xc x yc yc = = = = 不妨设 833 , 55 Ac c ， (0, 3 )B c ， 所以 2 2 833 16 | 3 . 55 5 AB c c c c =+= 于是 5 |2. 8 MNABc= 圆心 () 1, 3 到直线 PF 2 的距离 |333| 3|2| . 22 cc d + = 因为 2 22 | 4 2 MN d += ，所以 22 3 (2 ) 16. 4 cc+= 整理得 2 712520cc+=，得 26 7 c = （舍） ，或 2.c = 所以椭圆方程为 22 1. 1

14、6 12 xy += （ 19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的 零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分 14 分。 （）解：当 1t = 时， 32 2 () 4 3 6, (0) 0, () 12 6 6fx x x xf f x x x=+ = = + (0) 6.f = 所以曲线 ()yfx= 在点 (0, (0)f 处的切线方程为 6.yx= （）解： 22 () 12 6 6f xxtxt =+，令 () 0fx = ，解得 . 2 t xtx=或 因为 0t ，以下分两种情况讨论： （ 1）若 0, , 2

15、t ttx 时， ()f x 在 0, 2 t 内的单调递减，在 , 2 t + 内单调 递增，以下分两种情况讨论： （ 1）当 1, 2 2 t t即 时， ()f x 在（ 0， 1）内单调递减， 2 (0) 10,(1) 6 4 3 64423 0.ft f tt= = + + 所以对任意 2, ), ( )tfx+ 在区间（ 0， 1）内均存在零点。 （ 2）当 01,02 2 t t 即 时， ()f x 在 0, 2 t 内单调递减，在 ,1 2 t 内单调递增，若 33 17 7 (0,1, 1 0. 24 4 tf tt t =+ 所以 () ,1 2 t fx 在 内存在零点

16、。 若 () 33 77 (1, 2), 1 1 0. 24 4 t tf tt t =+ 所以 () 0, 2 t fx 在 内存在零点。 所以，对任意 (0,2), ( )tfx 在区间（ 0， 1）内均存在零点。 综上，对任意 (0, ), ( )tfx+ 在区间（ 0， 1）内均存在零点。 （ 20）本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、 综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分 14 分。 （）解：由 1 * 3(1) , 2 n n bnN + =，可得 2, , 1, n n b n = 为奇数 为偶数, 又 () 11 21

17、 n nn nn ba ba + +=+， 当 12 1 2 3 1, 2 1, 2, ; 2 naa a a=+= =时由可得 当 23 3 2,2 5, 8.naa a=+= =时可得 （）证明：对任意 * nN 21 21 2 221 n nn aa +=+ 2 221 1 n nn aa + +=+ -，得 21 21 1 21 21 32 , 32 , 4 nnn nn n n c aa c c + + = = =即于是 所以 n c 是等比数列。 （）证明： 1 2a = ，由（）知，当 * 2kN k 且 时， 21 1 3 1 5 3 7 5 21 23 ()()()( ) k

18、 kk aaaaaaaa aa =+ + + + L 1 35 23 21 2(1 4 ) 23(22 2 2 ) 23 2 14 k kk =+ + + + + =+ = L 故对任意 *21 21 ,2. k k kNa = 由得 21 21 21 * 22 1 22 1, 2, 2 kk k kk aaN +=+ = 所以 因此， 21234 212 ()()( ). 2 k Saaaa aa =+ + =L 于是， 21 222 1 12. 2 k kkk k SSa = = + 故 21 2 21 2 21 2 2 21 21 2 1 2 12 1 22 1. 1 4(1) 2 2 k k kk kkk k kk SS kk k aa + + += + = =