2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-湖北卷.pdf

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1、绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学（理工农医类） 本试卷共 4 面，满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项 ： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘巾在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上，对应题目的答案标号涂写，如写改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。 3. 非选择题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题 卷上无效。 4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本次题共 10

2、小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 设 a=(1, 2),b=( 3,4),c=(3,2),则 (a+2b) c= A.( 15,12) B.0 C. 3 D. 11 2. 若非空集合 A,B,C 满足 A B=C，且 B 不是 A 的子集，则 A. “ x C”是“ x A”的充分条件但不是必要条件 B. “ x C”是“ x A”的必要条件但不是充分条件 C. “ x C”是“ x A”的充要条件 D. “ x C”既不是“ x A”的充分条件也不是“ x A”的必要条件 3. 用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为

3、，则球的体积为 A. 3 8 B. 3 28 C. 28 D. 3 32 4. 函数 f(x)= )4323(1 1 22 + xxxxn x 的定义域为 A.( , 4) 2,+ B.( 4,0) (0,1) C. 4,0（ 0， 1） D. 4， 0（ 0， 1） 5.将函数 y=3sin（ x ）的图象 F 按向量（ 3 ， 3）平移得到图象 F ，若 F的一条对 称轴是直线 x= 4 ,则 的一个可能取值是 A. 12 5 B. 12 5 C. 12 11 D. 12 11 6.将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的 方案种数为 A.54

4、0 B.300 C.180 D.150 7.若 f(x)= 2 1 ln( 2) 2 xbx+ + 在(-1,+ ) 上是减函数，则 b 的取值范围是 A. 1， + ) B.（ 1， +） C.（， 1 D.（， 1） 8.已知 m N*,a,b R，若 0 (1 ) lim m x xa b x + = ,则 a b= A m B m C 1 D 1 9.过点 A（ 11， 2）作圆 22 2 4 164 0 xy xy+ =的弦，其中弦长为整数的共有 A.16 条 B.17条 C.32条 D.34条 10.如图所示， “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近 一点 P 变轨

5、进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行，之后卫星 在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星 在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用 2c 1 和 2c 2 分别表示椭圆轨道和的焦距， 用 2a 1 和 2a 2 分别表示椭圆轨道和的长 轴的长，给出下列式子： a 1 +c 1 =a 2 +c 2 ; a 1 c 1 =a 2 c 2 ; c 1 a 2 a 1 c 2 ; 1 1 a c 2 2 c a . 其中正确式子的序号是 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 .把答案

6、填在答题卡相应位置上 . 11.设 z 1 是复数， z 2 =z 1 i 1 z (其中 1 z 表示 z 1 的共轭复数 )，已知 z 2 的实部是 1，则 z 2 的虚 部为 . 12 在 ABC 中， 三个角 A， B， C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bccosA+cacosB+abcosC 的值为 . 13.已知函数 f(x)=x 2 +2x+a, f(bx)=9x 2 6x+2,其中 x R， a,b 为常数，则方程 f(ax+b)=0 的解 集为 . 14.已知函数 f(x)=2 x ,等差数列 a x 的公差为 2，若 f(a 2 +a 4 +a 6 +a

7、8 +a 10 )=4,则 log 2 f(a 1 ) f(a 2 ) f(a 3 ) f(a 10 )= . 15.观察下列等式： 2 1 232 1 3432 1 11 , 22 111 , 326 111 , 424 n i n i n i in n innn innn = = = =+ =+ =+ 4543 1 111 1 , 52330 n i innn n = =+ 565 4 2 1 11 5 1 , 6 2 12 12 n i inn n n = =+ 67653 1 1111 1 , 722642 n i innnn n = =+ 212 11 10 1 , n kkkk k

8、 kkkk i ian anan an ana + = = + + + + + 可以推测，当 k 2（ k N*）时， 11 11 , 12 kkk aaa k + = = + a k 2 = . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分 12 分） 已知函数 f(t)= 117 , ( ) cos (sin ) sin (cos ), ( , . 2 t gx x f x x f x x t = + + （）将函数 g(x)化简成 Asin( x+ )+B（ A 0， 0， 0， 2） ）的形式； （）求函数 g(x)的值域

9、. 17.（本小题满分 12 分） 袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个（ n=1,2,3,4） .现 从袋中任取一球 . 表示所取球的标号 . （）求 的分布列，期望和方差； （）若 =a b,E =1,D =11,试求 a,b 的值 . 18.（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中，平面 A 1 BC侧面 A 1 ABB 1 . （）求证： AB BC； （）若直线 AC 与平面 A 1 BC 所成的角为 ,二面角 A 1 BC A 的 大小为 ， 试判断与 的大小关系，并予以证明 . 19.（本小题

10、满分 13 分） 如图，在以点 O 为圆心， |AB|=4 为直径的半圆 ADB 中， OD AB， P 是半圆弧上一点， POB=30，曲线 C 是满足 |MA| |MB|为定值的动点 M 的轨迹，且曲线 C 过点 P. （）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程； （）设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E、 F. 若 OEF 的面积不小于 2 2 ，求直线 l 斜率的取值范围 . 20.(本小题满分 12 分 ) 水库的蓄水量随时间而变化，现用 t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据， 某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于 t 的近似函数关系式为 V（

11、 t） = + += kk k .33 ,1 += kk k 33 ,1 k k . k（ 3 ， 1）（ 1， 1）（ 1， 3 ） . 设 E(x 1 ,y 1 ),F(x 2 ,y 2 ),则由式得 x 1 x 2 = . 1 322 1 4)( 2 2 2 21 2 21 k k k xxxx = =+ 当 E、 F 在同一支上时（如图 1 所示） ， S OEF ; 2 1 2 1 2121 xxODxxODSS ODEODF = 当 E、 F 在不同支上时（如图 2 所示） . += ODFOEF SS S ODE = . 2 1 )( 2 1 2121 xxODxxOD =+ 综

12、上得 S OEF , 2 1 21 xxOD 于是 由 OD 2 及 式，得 S OEF = . 1 322 2 2 k k 若 OEF 面积不小于 2 则有即 ,22,2 OEF S .22,0222 1 322 24 2 2 kkk k k 解得 综合 、 知，直线 l 的斜率的取值范围为 2 ， 1（ 1， 1）（ 1， 2 ） . 20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知 识解决实际问题能力 .（满分 12 分） 解： （）当 0 t10 时， V(t)=( t 2 +14t 40) ,5050 4 1 0, 解得 t 4，或 t 10，又 0

13、 t10，故 0 t 4. 当 10 t12 时， V（ t） 4（ t 10） （ 3t 41） +50 50, 化简得（ t 10） （ 3t 41） 0, 解得 10 t 3 41 ，又 10 t12,故 10 t12. 综合得 0t4,或 10t12, 故知枯水期为 1 月， 2 月， 3月， 4 月， 11 月， 12 月共 6 个月 . ( )由 ( )知： V(t)的最大值只能在（ 4， 10）内达到 . 由 V （ t） = ),8)(2( 4 1 )4 2 3 4 1 ( 4 1 2 4 1 +=+ ttette tt 令 V (t)=0,解得 t=8(t= 2 舍去 ).

14、当 t 变化时， V (t) 与 V (t)的变化情况如下表： t (4,8) 8 (8,10) V (t) + 0 V(t) 极大值 由上表， V(t)在 t 8 时取得最大值 V(8) 8e 2 +50 108.32(亿立方米 ). 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米 21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考 查综合分析问题的能力和推理认证能力， （满分 14 分） （）证明：假设存在一个实数，使 a n 是等比数列，则有 2 2 a =a 1 a 3 ,即 ,094 9 4 94 9 4 )4 9 4 ()3 3 2 ( 22

15、2 =+= 矛盾 . 所以 a n 不是等比数列 . ( )解：因为 b n+1 =( 1) n+1 a n+1 3(n+1)+21 =( 1) n+1 ( 3 2 a n 2n+14) = 3 2 ( 1) n （ a n 3n+21） = 3 2 b n 又 b 1 = ( +18),所以 当 18， b n =0(n N * ),此时 b n 不是等比数列： 当 18 时， b 1 =( +18) 0,由上可知 b n 0， 3 2 1 = + n a b b (n N * ). 故当 18 时，数列 b n 是以（ 18）为首项， 3 2 为公比的等比数列 . ( )由（）知，当 =

16、18 时 , b n =0,S n =0,不满足题目要求 . 18，故知 b n = （ +18） （ 3 2 ） n 1 ，于是可得 S n = . 3 2 1)18( 5 3 + n ）（ 要使 aS n b 对任意正整数 n 成立， 即 a 5 3 ( +18) 1（ 3 2 ） n b(n N * ) nn ba ) 3 2 (1 )18( 5 3 ) 3 2 (1 + 得 (n N * ) ，则令 n nf ) 3 2 (1)( = 当 n 为正奇数时， 1f(n) ,1)( 9 5 ; 3 5 nfn为正偶数时，当 f(n)的最大值为 f(1)= 3 5 , f(n)的最小值为 f(2)= 9 5 , 于是，由式得 5 9 a 5 3 ( +18) .18318 5 3 abb 当 a3a 时，存在实数，使得对任意正整数 n，都有 aS n b，且的取值范围是 （ b 18, 3a 18） .