2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-重庆卷.pdf

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1、 绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题卷（理工农医类） 数学试题卷 (理工农医类 )共 5 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前， 务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题 卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件 A、 B 互

2、斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、 B 相互独立，那么 P(A B)=P(A) P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P， 那么 n 次独立重复试验中 恰好发生 k 次的概率 P n (K)= k m P k (1-P) n-k 以 R 为半径的球的体积 V= 4 3 R 3 . 一、 选择题:本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题 给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. （ 1）复数 1+ 3 2 i = (A)1+2i (B)1-2i (C)-1 (D)3 (2)设 m,n 是整数，则“ m,n 均为偶数”是“ m+n 是偶

3、数”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)圆 O 1 :x 2 +y 2 -2x=0 和圆 O 2 :x 2 +y 2 -4y=0 的位置关系是 (A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切 (4)已知函数 y= 13xx+ +的最大值为 M,最小值为 m,则 m M 的值为 (A) 1 4 (B) 1 2 (C) 2 2 (D) 3 2 (5)已知随机变量 服从正态分布 N(3,a 2 ),则 (3)P 2 V (B) V 2 V 2 （ D） V 1 0) ，则 2 3 log a = . (14)设 S n 是等差数列 a

4、 n 的前 n 项和， a 12 =-8,S 9 =-9,则 S 16 = . (15）直线 l 与圆 x 2 +y 2 +2x-4y+a=0(a3)相交于两点 A， B，弦 AB 的中 点为（ 0， 1） ，则直线 l 的方程为 . (16)某人有 4 种颜色的灯泡 （每种颜色的灯泡足够 多） ，要在如题（ 16）图所示的 6 个点 A、 B、 C、 A 1 、 B 1 、 C 1 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端 的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共 有 种（用数字作答） . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分，解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. （

5、17） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分） 设 ABCnull 的内角 A， B， C 的对边分别为 a,b,c，且 A=60 o ， c=3b.求： （） a c 的值； （） cotB+cot C 的值 . （ 18） （本小题满分 13 分， （）小问 5 分， （）小问 8 分 .） 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加 而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一 局的失败者轮空 .比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打 满 6 局时停止 .设在每局中参赛者胜负的概率均为 1 2 ， 且各局胜负相互 独立 .

6、求： （） 打满 3 局比赛还未停止的概率； （）比赛停止时已打局数 的分别列与期望 E . （ 19） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分 .） 如题（ 19）图，在 ABCnull 中， B=90 o ,AC= 15 2 ,D、 E 两点分别在 AB、 AC 上 .使 2 AD AE DB EC =,DE=3.现将 ABCnull 沿 DE 折成直二角角，求： （）异面直线 AD 与 BC 的距离； （）二面角 A-EC-B 的大小（用反三角函数表示） . （ 20） （本小题满分 13 分 .（）小问 5 分 .（）小问 8 分 .） 设函数 2 () ( 0

7、),f x ax bx c a=+曲线 y=f(x)通过点（ 0， 2a+3） ，且 在点（ -1， f（ -1） ） 处的切线垂直于 y 轴 . （）用 a 分别表示 b 和 c； （）当 bc 取得最小值时，求函数 g(x)=-f(x)e -x 的单调区间 . （ 21） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分 .） 如图（ 21）图， M（ -2， 0）和 N（ 2， 0）是平面上的两点，动 点 P 满足： 6.PM PN+= （）求点 P 的轨迹方程； （）若 2 1cos PM PN MPN ,求点 P 的坐标 . （ 22） （本小题满分 12 分， （）小

8、问 5 分， （）小问 7 分 .） 设 各项均为正数的数列 a n 满足 3 2 112 2, ( N*) naa aaa n + = . （）若 2 1 4 a = ，求 a 3 ， a 4 ，并猜想 a 2008 的值（不需证明） ； （）记 12 . ( N*), 2 2 nn n baaan b=若 对 n 2 恒成立，求 a 2 的值及 数列 b n 的通项公式 . 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题（理工农医类）答案 一、选择题：每小题 5 分，满分 50 分 . （ 1） A （ 2） A （ 3） B （ 4） C （ 5） D （ 6） C （ 7

9、） A （ 8） C （ 9） D （ 10） B 二、填空题：每小题 4 分，满分 24 分 . （ 11） 25， （ 12） 1 3 （ 13） 3 （ 14） -72 （ 15） x-y+1=0 （ 16） 216 三、解答题：满分 76 分 . （ 17） （本小题 13 分） 解： （）由余弦定理得 222 2cosabc b A=+ 22 2 1117 () 2 , 3329 cc cc c+ =nullnullnull 故 7 . 3 a c = （）解法一： cot cotB C+ cos sin cos sin sin sin B CCB BC + sin( ) sin ,

10、 sin sin sin sin BC A B CBC + = 由正弦定理和（）的结论得 2 2 7 sin 1 2 14 14 3 9 . 1 sin sin sin 9 333 3 c Aa BC Abc cc = 故 14 3 cot cot . 9 BC+= 解法二：由余弦定理及（）的结论有 22 2 222 71 () 93 cos 2 7 2 3 cc c acb B ac cc + + = nullnull 5 . 27 故 2 25 3 sin 1 cos 1 . 28 27 BB= = 同理可得 222 222 71 1 99 cos , 2 71 27 2 33 ccc a

11、bc C ab cc + + = = nullnull 2 133 sin 1 cos 1 . 28 27 CC= = 从而 cos cos 5 1 14 3 cot cot 3 3 . sin sin 3 9 9 BC BC BC +=+= （ 18） （本小题 13 分） 解：令 , kkk ABC分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜 . （） 由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满 3 局比 赛还未停止的概率为 123 123 33 111 ()() . 224 PACB PBCA+=+= （） 的所有可能值为 2， 3， 4， 5， 6，且 12 12 22 11

12、1 (2) ( )( ) , 2 PPAPB= + =+= 123 123 33 111 (3) ( )( ) . 224 PPACPBC= + =+= 1234 1234 44 111 (4) ( )( ) . 228 PPACBPBCA= + =+= 12345 12345 55 111 (5) ( )( ) , 2216 PPACBAPBCAB= = + = + = 12345 12345 55 111 (6) ( )( ) , 2216 PPACBACPBCABC= = + = + = 故有分布列 从而 111 1 147 2345 6 248161616 E=+ + = （局） .

13、（ 19） （本小题 13 分） 解法一： （）在答（ 19）图 1 中，因 ADAE DB CE = ，故 BE BC.又因 B 90，从而 AD DE. 2 3 4 5 6 P 1 2 1 4 1 8 1 16 1 16 在第（ 19）图 2 中，因 A-DE-B 是直二面角， AD DE,故 AD底面 DBCE，从 而 AD DB.而 DB BC,故 DB 为异面直线 AD 与 BC 的公垂线 . 下求 DB 之长 .在答（ 19）图 1 中，由 2 AD AE CB BC = = ，得 2 . 3 DE AD BC AB = 又已知 DE=3,从而 39 . 22 BC DE= = 2

14、2 22 15 9 6. 22 AB AC BC = = 因 1 ,2. 3 DB DB AB = 故 （）在第（ 19）图 2 中，过 D 作 DF CE,交 CE 的延长线于 F，连接 AF.由（ 1）知， AD底面 DBCE,由三垂线定理知 AF FC,故 AFD 为二面角 A-BC-B 的平面 角 . 在底面 DBCE 中， DEF= BCE, 115 5 2, , 32 2 DB EC=null 因此 4 sin . 5 DB BCE EC = 从而在 Rt DFE 中， DE=3, 412 sin sin 3 . 55 DF DE DEF DE BCE=null 在 5 Rt ,

15、4, tan . 3 AD AFD AD AFD DF =中 因此所求二面角 A-EC-B 的大小为 arctan 5 . 3 解法二： （）同解法一 . （）如答（ 19）图 3.由（）知，以 D 点为坐标原点， DB DE DA uuur uuur uuur 、 的方向为 x、 y、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 D（ 0， 0， 0） ， A（ 0， 0， 4） ， 9 20 2 C ， ， E（ 0， 3， 0） . 3 0 2 AD AD uuur uuur -2，- ， ， （0，0，-4）. 过 D 作 DF CE,交 CE 的延长线 于 F，连接 AF. 设 00 (,

16、 ,0),Fx y 从而 00 (, ,0),DF x y= uuur 00 (, 3,0).EFxy DFCE= uuur 由 ，有 00 3 0, 2 0. 2 DF CE x y=+= uuur uuur null 即 又由 00 3 ,. 3 2 2 xy CE EF = uuur uuur null 得 联立、，解得 00 36 48 36 48 36 48 ,. ,0 ,4. 25 25 25 25 25 25 xyF AF = = = uuur 即，得 因为 36 48 3 (2) 0 25 25 2 AF CE = + = uuur uuur nullnullnull,故 AF

17、 CE ,又因 DF CE ,所以 DFA 为所求的二面角 A-EC-B 的平面角.因 36 48 ,0, 25 25 DF = uuur 有 22 36 48 12 ,4, 25 25 5 DF AD = + = = uuur uuur 所以 5 tan . 3 AD AFD DF = = uuur uuur 因此所求二面角 A-EC-B 的大小为 5 arctan . 3 (20)（本小题 13 分） 解：()因为 2 () , () 2 .f xaxbxc fx axb=+ =+所以 又因为曲线 ()yfx= 通过点（0，2 a+3）, 故 (0) 2 3, (0) , 2 3.fafc

18、ca=+ = =+而从而 又曲线 ()yfx= 在（-1， f(-1)）处的切线垂直于 y 轴，故 (1) 0,f = 即-2 a+b=0,因此 b=2a. ()由()得 2 39 2(2 3) 4( ) , 44 bc a a a=+=+ 故当 3 4 a = 时， bc 取得最小值- 9 4 . 此时有 33 ,. 22 bc= = 从而 2 333 33 () , () , 422 22 fx x x f x x= + = 2 333 () () ( ) , 422 x x gx f xc x x e = = + 所以 2 3 () ( () () ( 4) . 4 x x gx fx

19、f xe x e = = 令 () 0gx = ，解得 12 2, 2.xx= 当 (,2),()0, () (,2)xgxgx +时， 故 在 上为减函数 当 (2, ) ( ) 0 ( ) (2, )xgxgx+ 假设 由得 212 1 1 31 2( )(2). 22 nnn n nn x xx x xx + + + +=+ 因此数列 1 2 nn x x + + 是首项为 2 2x + ，公比为 1 2 的等比数列.故 * 12 1 11 ()(N). 222 nn n xxx n + = 又由知 21 1 1 1 13 () 2(), 222 2 nxnn n nn x xxx x

20、x x + + + + = = 因此是 1 1 2 nn x x + 是首项为 2 1 2 x ，公比为-2 的等比数列,所以 1* 12 11 ()(2)(N). 22 n nn xxx n + = 由-得 1* 221 511 ( 2) ( )( 2) ( N ). 222 n n n Sx x n =+ 对 n 求和得 * 22 1 511(2) ( 2)(2 ) ( ) ( N ). 32 n n n xx x n =+ 由题设知 21 2 31 , 22 k Sx + 且由反证假设 有 21 * 222 21 * 22 2 2 11215 2)(2 ) ( ) ( N ). 2234 12 1 1 15 1 () (2)(2) 2(N). 23 4 4 k k k k xx k xx xk + + + + + +null （ 从而 即不等式 2 2k+1 2 2 3 6 4 1 1 2 x x + 对 kN * 恒成立 .但这是不可能的，矛盾 . 因此 x 2 1 2 ,结合式知 x 2 = 1 2 ,因此 a 2 =2 *2 = 2. 将 x 2 = 1 2 代入式得 S n =2 1 1 2 n (nN*), 所以 b n =2 S n =2 2 1 1 2 n (nN*)