2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-北京卷.pdf

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1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 9 页，共 150 分考试时间 120 分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回 第 I 卷（选择题 共 40 分） 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案不能答在试卷上 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一

2、项 1已知 cos tan 0 i ，那么角 是（ ） 第一或第二象限角 第二或第三象限角 第三或第四象限角 第一或第四象限角 2函数 () 3(0 2) x fx x= 的反函数的定义域为（ ） (0 )+， (1 9， (0 1)， 9 )+， 3平面 平面 的一个充分条件是（ ） 存在一条直线 aa ， 存在一条直线 aa a ， 存在两条平行直线 aba b a b ， ， ， ， 存在两条异面直线 aba a b ， ， ， 4已知 O是 ABC 所在平面内一点， D 为 BC 边中点，且 2OA OB OC+ +=0 nullnullnullnullnullnullnullnull

3、 nullnullnullnull ，那么 （ ） AOOD= nullnullnullnull nullnullnullnull 2AOOD= nullnullnullnull nullnullnullnull 3AOOD= nullnullnullnull nullnullnullnull 2AOOD= nullnullnullnull nullnullnullnull 5记者要为 5 名志愿都和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排， 2 位老人相邻但不排 在两端，不同的排法共有（ ） 1440 种 960 种 720 种 480 种 6若不等式组 22 0 xy xy y x ya

4、0 + + ， ， ， 表示的平面区域是一个三角形，则 a的取值范围是（ ） 4 3 a 01a 4 1 3 a 01a 的 x 的值是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题共 13 分） 数列 n a 中， 1 2a = ， 1nn aacn + =+（ c是常数， 123n= null， ， ） ，且 123 aaa， 成公比不 为 1的等比数列 （ I）求 c的值； （ II）求 n a 的通项公式 16 （本小题共 14 分） 如图，在 Rt AOB 中， 6 OAB=，斜 边 4AB = Rt AOC 可 以通过 Rt A

5、OB 以直线 AO 为轴旋转得到， 且二面角 B AO C 是直二面角动点 D的斜边 AB 上 （ I）求证：平面 COD 平面 AOB； （ II）当 D为 AB 的中点时，求异面直线 AO 与 CD所成角的大小； （ III）求 CD与平面 AOB所成角的最大值 17 （本小题共 14 分） 矩形 ABCD的两条对角线相交于点 (2 0)M ， ， AB 边所在直线的方程为 360 xy=，点 (11)T ， 在 AD边所在直线上 （ I）求 AD边所在直线的方程； （ II）求矩形 ABCD外接圆的方程； （ III）若动圆 P 过点 (20)N ， ，且与矩形 ABCD的外接圆外切，求

6、动圆 P 的圆心的轨迹方 程 x 1 2 3 ()f x 1 3 1 x 1 2 3 ()gx 3 2 1 O C A D B 18 （本小题共 13 分） 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动 （以下简称活动） 该校合唱团共有 100 名学生，他们参加活 动的次数统计如图所示 （ I）求合唱团学生参加活动的人均次数； （ II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好 相等的概率 （ III）从合唱团中任选两名学生，用 表示这两人参加活动次 数之差的绝对值，求随机变量 的分布列及数学期望 E 19 （本小题共 13 分） 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 2r，短

7、半轴长为 r ，计划将 此钢板切割成等腰梯形的形状， 下底 AB 是半椭圆的短轴， 上底 CD的 端点在椭圆上，记 2CD x= ，梯形面积为 S （ I）求面积 S 以 x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （ II）求面积 S 的最大值 20已知集合 12 (2) k Aaa ak= null， ，其中 (12 ) i ai k =Z null， ， ，由 A中的元素构 成两个相应的集合： ()S abaAbAabA=+， ， ()TabaAbAabA=， 其中 ()ab， 是有序数对，集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n 若对于任意的 aA ，总有 aA ，则称集合 A具有

8、性质 P （ I）检验集合 0123， ， 与 123 ， 是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合，写出相应 的集合 S 和 T ； （ II）对任何具有性质 P 的集合 A，证明： (1) 2 kk n ； （ III）判断 m 和 n 的大小关系，并证明你的结论 1 2 3 10 20 30 40 50 参加人数 活动次数 4r C D A B2r 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷）答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）

9、 9 i 10 211n 3 11 10 2 12 (2 3)， 13 7 25 14 1 2 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15 （共 13 分） 解： （ I） 1 2a = ， 2 2ac=+， 3 23ac= + ， 因为 1 a ， 2 a ， 3 a 成等比数列， 所以 2 (2 ) 2(2 3 )cc+=+， 解得 0c = 或 2c = 当 0c = 时， 123 aaa=，不符合题意舍去，故 2c = （ II）当 2n 时，由于 21 aac=， 32 2aa c=， nullnull 1 (1) nn aa n c =， 所以 1 (1) 1 2 ( 1

10、) 2 n nn aa n c c =+ =null 又 1 2a = ， 2c = ，故 2 2(1) 2( 23) n annnnn=+ = + = null， ， 当 1n= 时，上式也成立， 所以 2 2( 1 2 ) n ann n=+ =null， ， 16 （共 14 分） 解法一： （ I）由题意， CO AO ， BOAO ， BOC 是二面角 B AO C是直二面角， 又 二面角 B AO C是直二面角， CO BO ，又 AO BO O= ， CO 平面 AOB， 又 CO平面 COD 平面 COD 平面 AOB （ II）作 DE OB ，垂足为 E ，连结 CE（如图

11、） ，则 DE AO ， CDE 是异面直线 AO 与 CD所成的角 在 Rt COE 中， 2CO BO=， 1 1 2 OE BO= = ， 22 5CE CO OE =+= 又 1 3 2 DE AO= 在 Rt CDE 中， 515 tan 3 3 CE CDE DE = 异面直线 AO与 CD所成角的大小为 15 arctan 3 （ III）由（ I）知， CO 平面 AOB， CDO 是 CD与平面 AOB所成的角，且 2 tan OC CDO OD OD = 当 OD最小时， CDO 最大， 这时， OD AB ，垂足为 D， 3 OA OB OD AB = i ， 23 ta

12、n 3 CDO = ， CD 与平面 AOB所成角的最大值为 23 arctan 3 解法二： （ I）同解法一 （ II）建立空间直角坐标系 Oxyz ，如图，则 (0 0 0)O ， ， ， (0 0 2 3)A ， ， ， (2 0 0)C ， ， ， (0 1 3)D ， ， ， (0 0 2 3)OA = nullnullnullnull ， ， ， (21 3)CD = nullnullnullnull ， ， ， cos OA CD OACD OA CD = nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnu

13、llnull i nullnullnullnull nullnullnullnull i ， 66 4 2322 = i 异面直线 AO与 CD所成角的大小为 6 arccos 4 O C A D B x y z O C A D B E （ III）同解法一 17 （共 14 分） 解： （ I）因为 AB 边所在直线的方程为 360 xy =，且 AD与 AB 垂直，所以直线 AD的 斜率为 3 又因为点 (11)T ， 在直线 AD上， 所以 AD边所在直线的方程为 13(1)yx= + 320 xy+= （ II）由 360 32=0 xy xy = + ， 解得点 A的坐标为 (0 2

14、)， ， 因为矩形 ABCD两条对角线的交点为 (2 0)M ， 所以 M 为矩形 ABCD外接圆的圆心 又 22 (2 0) (0 2) 2 2AM =+= 从而矩形 ABCD外接圆的方程为 22 (2) 8xy += （ III）因为动圆 P 过点 N ，所以 PN 是该圆的半径，又因为动圆 P 与圆 M 外切， 所以 22PM PN=+， 即 22PM PN= 故点 P 的轨迹是以 M N， 为焦点，实轴长为 22的双曲线的左支 因为实半轴长 2a = ，半焦距 2c = 所以虚半轴长 22 2bca= 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为 22 1( 2 ) 22 xy x= 18 （共

15、13 分） 解：由图可知，参加活动 1 次、 2 次和 3 次的学生人数分别为 10、 50 和 40 （ I）该合唱团学生参加活动的人均次数为 1 10 2 50 3 40 230 2.3 100 100 + + = （ II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为 222 10 50 40 0 2 100 41 99 CCC P C + = （ III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加 1 次活动，另一人参加 2 次活动” 为事件 A， “这两人中一人参加 2 次活动，另一人参加 3 次活动”为事件 B ， “这两人中一 人参加 1 次活动，另一人参加 3

16、次活动”为事件 C 易知 (1) ()()PPAPB = + 11 11 10 50 50 40 24 100 100 50 99 CC CC CC =+=； (2)()PPC = 11 10 40 2 100 8 99 CC C =； 的分布列： 0 1 2 P 41 99 50 99 8 99 的数学期望： 41 50 8 2 012 99 99 99 3 E = += 19 （共 13 分） 解： （ I）依题意，以 AB 的中点 O为原点建立直角坐标系 Oxy （如图） ，则点 C 的横坐标 为 x 点 C 的纵坐标 y 满足方程 22 22 1( 0) 4 xy y rr += ，

17、解得 22 2(0)y rx xr= 22 1 (2 2 ) 2 2 Sxrrx=+ i 22 2( )x rrx=+ i ， 其定义域为 0 x xr （ II）记 22 2 () 4( )( )0f xxrrx xr=+ ， ， 则 2 () 8( )( 2)f xxrrx =+ 令 () 0fx = ，得 1 2 x r= C D A B O x y 因为当 0 2 r x ；当 2 r x r 时， () 0fx ，所以 1 2 f r 是 ()f x 的最 大值 因此，当 1 2 x r= 时， S 也取得最大值，最大值为 2 133 22 f rr = 即梯形面积 S 的最大值为

18、2 33 2 r 20 （共 13 分） （ I）解：集合 0123， ， 不具有性质 P 集合 123 ， 具有性质 P ，其相应的集合 S 和 T 是 (13)(3 1)S = ， ， (2 1) 2 3T =()， （ II）证明：首先，由 A中元素构成的有序数对 () ij aa， 共有 2 k 个 因为 0 A ，所以 ()(12 ) ii aa Ti k=null， ； 又因为当 aA 时， aA 时， aA ，所以当 () ij aa T， 时， ()(12 ) ji aa Tij k=null， 从而，集合 T 中元素的个数最多为 2 1(1) () 22 kk kk = ，

19、即 (1) 2 kk n （ III）解： mn= ，证明如下： （ 1）对于 ()ab S， ，根据定义， aA ， bA ，且 abA+ ，从而 ()abb T+， 如果 ()ab， 与 ()cd， 是 S 的不同元素，那么 ac= 与 bd= 中至少有一个不成立，从而 abcd+=+与 bd= 中也至少有一个不成立 故 ()abb+ ， 与 ()cdd+ ， 也是 T 的不同元素 可见， S 中元素的个数不多于 T 中元素的个数，即 mn ， （ 2）对于 ()ab T， ，根据定义， aA ， bA ，且 abA ，从而 ()abb S， 如 果 ()ab， 与 ()cd， 是 T 的不同元素，那么 ac= 与 bd= 中至少有一个不成立，从而 abcd=与 bd= 中也不至少有一个不成立， 故 ()abb ， 与 ()cdd ， 也是 S 的不同元素 可见， T 中元素的个数不多于 S 中元素的个数，即 nm ， 由（ 1） （ 2）可知， mn=