2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-安徽卷.pdf

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1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学（理科） 本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分，第卷第 1 至第 2 页，第卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题 卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2. 答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3. 答第卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 书写

2、。在试题卷上作答无效 。 4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4 r 2 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P(A B)=P(A)+P(B) 球的体积公式 1+2+ +n 2 )1( +nn V= 3 3 4 R 1 2 +2 2 + +n 2 = 6 )12)(1( + nnn 其中 R 表示球的半径 1 3 +2 3 +n 3 = 4 )1( 22 +nn 第卷 （选择题共 55 分） 一、选择题：本大题共 11 小题，每小题 5 分，共 55 分，在每

3、小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 (1)下列函数中，反函数是其自身的函数为 (A) )+= ,0,)( 3 xxxf （ B） )+= ,)( 3 xxxf (C) ),(,)( += xcxf x (D) ),0(, 1 )( += x x xf (2)设 l,m,n 均为直线，其中 m,n 在平面 内， “ l ”是 lm 且“ ln”的 （ A）充分不必要条件 （ B）必要不充分条件 (C)充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 (3)若对任意 x R,不等式 x ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是 (A)a -1 (B)a 1 (C) a 1 （ D） a 1

4、 （4）若 a 为实数， i ai 21 2 + + - 2 I，则 a 等于 （A） 2 （B）- 2 （C）2 2 （D）-2 2 （5）若 822 2 x xA = ， 1logR nullxxB x = ，则 )(C R BA 的元素个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （6）函数 ) 3 2sin(3)( xxf 的图象为 C 图象 C 关于直线 12 11 =x 对称; 函灶 )(xf 在区间 ) 12 5 , 12 ( 内是增函数; 由 xy 2sin3= 的图象向右平移 3 个单位长度可以得到图象 C . （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （7）如果点 P 在平

5、面区域 + + + 02 012 022 yx yx yx 上，点 Q 在曲线 1)2( 22 =+ yx 上，那么 QP 的最小值为 （A） 15 （B） 1 5 4 （C） 122 （ D） 12 （ 8）半径为 1 的球面上的四点 DCBA , 是正四面体的顶点，则 A 与 B 两点间的球面距离 为 （A） ) 3 3 arccos( （B） ) 3 6 arccos( （C） ) 3 1 arccos( （D） ) 4 1 arccos( （9）如图， 1 F 和 2 F 分别是双曲线 )0,0(1 2 2 2 2 nullnull ba b r a x = 的两 个焦点， A 和 B

6、 是以 O为圆心，以 1 FO 为半径的圆与该双曲 线左支的两个交点，且 ABF 2 是等边三角形，则双曲线的离 心率为 （A） 3 （B） 5 （C） 2 5 （D） 31+ （10）以 )(x 表示标准正态总体在区间（ x, ）内取值的概率，若随机变量 服从正态 分布 ),( 2 N ，则概率 )( P 等于 （A） )( + - )( （B） )1()1( （C） ) 1 ( （D） )(2 （11）定义在 R 上的函数 )(xf 既是奇函数，又是周期函数， T 是它的一个正周期.若将方 程 0)( =xf 在闭区间 TT, 上的根的个数记为 n ，则 n 可能为 （A）0 （B）1 （

7、C）3 （D）5 绝密启用前 2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理科) 第卷 (非选择题 共 95 分 ) 注意事项: 请用 0.5 毫米黑色水签字笔在答题卡 上书写作答 ,在试题卷上书写作答无效 . 二、填空题:本大共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)若 (2x 3 + x 1 ) a 的展开式中含有常数项 ,则最小的正整数 n 等于 . （ 13）在四面体 O-ABC 中， DcOCbOBaAB , = 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点， 则 OE = （用 a， b， c 表示） . （ 14）如图，抛物线 y

8、=-x 2 +1 与 x 轴的正半轴交于点 A，将线段 OA 的 n 等分点从左至 右依次记为 P 1 ,P 2 , ,P n-1 ,过这些分点分别作 x 轴的垂线，与 抛物线的交点依次为 Q 1 ， Q 2 ， Q n-1 ，从而得到 n-1 个直 角三角形 Q 1 OP 1 , Q 2 P 1 P 2 , , Q n-1 P n-1 P n-1 ,当 n时， 这些三角形的面积之和的极限为 . (15)在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下 各种几何形体的 4 个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号 ） . 矩形； 不是矩形的平行四边形； 有三个面为等腰直角三角形，有一个面

9、为等边三角形的四面体； 每个面都是等边三角形的四面体； 每个面都是直角三角形的四面体 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 79 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （ 16） （本小题满分 12 分） 已知 0 a ) 8 2cos()(, 4 += xxf为 的最小正周期， ),1), 4 1 (tan( += aa 求 sincos )(2sincos2 2 + . (17) (本小题满分14分) 如图，在六面体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中，四边形 ABCD 是边长 为 2 的正方形，四边形 A 1 B 1 C 1 D 1 是边长为 1 的正方形， DD

10、 1 平 面 A 1 B 1 C 1 D 1 ， DD 1 平面 ABCD， DD 1 2. （）求证： A1C1 与 AC 共面， B1D1 与 BD 共面； （）求证：平面 A1ACC1平面 B1BDD1； （）求二面角 A BB1 C 的大小（用反三角函数值圾示） . (18) (本小题满分14分) 设 a 0， f (x)=x 1 ln 2 x 2a ln x（ x0） . （）令 F（ x） xf （ x） ，讨论 F（ x）在（ 0.）内的单调性并求极值； （）求证：当 x1 时，恒有 xln 2 x 2a ln x 1. (19) (本小题满分12分) 如图，曲线 G 的方程为

11、y 2 =20（ y 0） .以原点为圆心，以 t（ t 0）为半径的圆分别与 曲线 G 和 y 轴的正半轴相交于点 A 与点 B.直线 AB 与 x 轴相交于点 C. （）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关 系式； （）设曲线 G 上点 D 的横坐标为 a 2，求证： 直线 CD 的斜率为定值 . (20) (本小题满分13分) 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有 6 只果蝇的笼子里，不慎混 入了两只苍蝇（此时笼内共有 8 只蝇子： 6 只果蝇和 2 只苍蝇） ，只好把笼子打开一个小孔， 让蝇子一只一只地往外飞，直到 两只苍蝇都飞出，再关闭小孔 .以 表示

12、笼内还剩下的果蝇 的只数 . （）写出的分布列（不要求写出计算过程） ； （）求数学期望 E ； （）求概率 P（ E ） . (21) (本小题满分14分) 某国采用养老储备金制度 .公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a 1 ，以后每 年交纳的数目均比上一年增加 d（ d0） ，因此，历年所交纳的储务金数目 a 1 ， a 2 ，是一个 公差为 d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算 复利 .这就是说，如果固定年利率为 r（ r0） ，那么，在第 n 年末，第一年所交纳的储备金就 变为 a 1 （ 1 r） a 1 ，第二年所交纳的储备金就变为

13、 a 2 （ 1 r） a 2 ，以 T n 表示到第 n 年末所累计的储备金总额 . （）写出 T n 与 T n 1（ n 2）的递推关系式； （）求证： T n A n B n ，其中 A n 是一个等比数列， B n 是一个等差数列 . 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科）试题参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 55 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 16 分 12 7 13 111 244 +abc 14 1 3 15 三、解答题 16本小题主要

14、考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推 理能力本小题满分 12 分 解：因为 为 () cos2 8 fx x =+ 的最小正周期，故 = 因 m=ab ，又 1 cos tan 2 4 = + ab 故 1 cos tan 2 4 m +=+ 由于 0 4 ， ， 故 () () 2ln 2 0Fx xf x x x a x=+， ， 于是 22 () 1 0 x Fx x xx = = ， ， 列表如下： x (0 2)， 2 (2 )+， ()Fx 0 + ()Fx null 极小值 (2)F null 故知 ()Fx在 (0 2)， 内是减函数，在 (2 )

15、+， 内是增函数，所以，在 2x = 处取得极小值 (2) 2 2ln 2 2Fa= + （）证明：由 0a 知， ()Fx的极小值 (2) 2 2ln 2 2 0Fa= + 于是由上表知，对一切 (0 )x+， ，恒有 () () 0Fx xf x= 从而当 0 x 时，恒有 () 0fx ，故 ()f x 在 (0 )+， 内单调增加 所以当 1x 时， () (1) 0fx f=，即 2 1ln 2ln 0 xxax + 故当 1x 时，恒有 2 ln 2 ln 1x xax + 19本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直 线的方程与斜率、抛物线上的

16、点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问 题的能力本小题满分 12 分 解： （）由题意知， (2)A aa， 因为 OA t= ，所以 22 2aat+= 由于 0t ，故有 2 2taa= + （ 1） 由点 (0 ) ( 0)B tCc， ， 的坐标知， 直线 BC 的方程为 1 xy ct += 又因点 A 在直线 BC 上，故有 2 1 aa ct +=， 将（ 1）代入上式，得 2 1 (2) aa c aa += + ， 解得 22(2)ca a=+ + （）因为 ( 2 2( 2)Da a+， ，所以直线 CD 的斜率为 2( 2) 2( 2) 2( 2) 1 2

17、 2 ( 2 2( 2) 2( 2) CD aa a k ac aa a a + = = = + + + + + 所以直线 CD 的斜率为定值 20本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望 的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力本小题满分 13 分 解： （） 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 P 7 28 6 28 5 28 4 28 3 28 2 28 1 28 （）数学期望为 2 (1 6 2 5 3 4) 2 28 E = + = （）所求的概率为 54321 15 ()(2) 28 28 PEP + + = = x y B A O

18、 a 2a+ D 2 :2Gy x= 21本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取 信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力本小题满分 14 分 解： （）我们有 1 (1 ) ( 2) nn n TT ran =+ （） 11 Ta= ，对 2n 反复使用上述关系式，得 2 121 (1 ) (1 ) (1 ) nn nn n n TT raT r a ra =+=+=null 12 12 1 (1 ) (1 ) (1 ) nn nn ar ar a ra =+ + + +null ， 在式两端同乘 1 r+ ，得 12 12 1

19、 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) nn nnn rT a r a r a r a r +=+ +null ，得 12 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) nnn n n rT a r d r r r a =+ + +null 1 (1 ) 1 (1 ) nn n d rrara r =+ 即 11 22 (1 ) n n ar d ar dd Trn rr + =+ 如果记 1 2 (1 ) n n ar d A r r + =+， 1 2 n ar d d B n rr + = ， 则 nnn TAB=+ 其中 n A 是以 1 2 (1 ) ar d r r + + 为首项，以 1( 0)rr+ 为公比的等比数列； n B 是以 1 2 ar d d rr + 为首项， d r 为公差的等差数列