2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷-辽宁卷及答案解析.pdf

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1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数 学（理工科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 （选择题 共 60 分） 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PAPB=ii 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P ，那么 3 4 3 VR= n次独立重复试验中事件 A恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半

2、径 () (1 ) ( 012 ) kk nk nn Pk Cp p n n =null， ， ， 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1设集合 12345U = ， ， ， ， ， 1 3A= ， ， 234B= ， ， ，则 ( ) ( ) UU A B =（ ） A 1 B 2 C 2 4， D 1 2 3 4， ， ， 2若函数 ()yfx= 的反函数图象过点 (1 5)， ，则函数 ()yfx= 的图象必过点（ ） A (1 1)， B (1 5)， C (5 1)， D (5 5)， 3若向量 a 与

3、 b 不共线， 0iab ，且 i i aa c=a- b ab ，则向量 a 与 c的夹角为（ ） A 0 B 6 C 3 D 2 4设等差数列 n a 的前 n项和为 n S ，若 3 9S = ， 6 36S = ，则 789 aaa+ +=（ ） A 63 B 45 C 36 D 27 5若 35 44 ， ，则复数 (cos sin ) (sin cos )i + + 在复平面内所对应的点在 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6若函数 ()yfx= 的图象按向量 a 平移后，得到函数 (1)2yfx= +的图象，则向量 a= （ ） A (1 2)， B (1

4、2)， C (12) ， D (1 2)， 7若 mn， 是两条不同的直线， ， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 （ ） A若 m ， ，则 m B若 m = n = ， mn ，则 C若 m ， m ，则 D若 ， ，则 8已知变量 x y， 满足约束条件 20 1 70 xy x xy + + ， ， ， 则 y x 的取值范围是（ ） A 9 6 5 ， B ) 9 6 5 + ， C ( ) 36 +， D 3 6， 9一个坛子里有编号为 1， 2， 12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到 6 号球是红球，其 余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1

5、 个球的号码是偶数的概率 是（ ） A 1 22 B 1 11 C 3 22 D 2 11 10设 p q， 是两个命题： 2 1 2 51 :log (| | 3) 0 : 0 66 px qxx +， ，则 p 是 q的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 11 设 P 为双曲线 2 2 1 12 y x =上的一点， 12 FF， 是该双曲线的两个焦点，若 12 |:|3:2PF PF = ，则 12 PFF 的面积为（ ） A 63 B 12 C 12 3 D 24 12已 知 ()f x 与 ()gx是定义在 R 上的连续函数，如果

6、()f x 与 ()gx仅当 0 x= 时的函数值 为 0，且 () ()f xgx ，那么下列情形不可能 出现的是（ ） A 0 是 ()f x 的极大值，也是 ()gx的极大值 B 0 是 ()f x 的极小值，也是 ()gx的极小值 C 0 是 ()f x 的极大值，但不是 ()gx的极值 D 0 是 ()f x 的极小值，但不是 ()gx的极值 第卷 （非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 13已知函数 2 cos ( 0) () 1( 0) axx fx xx = ， 在点 0 x= 处连续，则 a = 14设椭圆 22 1 25 1

7、6 xy +=上一点 P 到左准线的距离为 10， F 是该椭圆的左焦点，若点 M 满 足 1 () 2 OM OP DF=+ nullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnull ，则 |OM nullnullnullnullnull = 15若一个底面边长为 3 2 ，棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的 体积为 16将数字 1， 2， 3， 4， 5， 6 拼成一列，记第 i 个数为 i (i 1 2 6)a = null， ， ，若 1 1a ， 3 3a ， 5 5a ， 135 aaa ） （ I）求函数 (

8、)f x 的值域； （ II）若对任意的 aR ，函数 ()yfx= ， ( xaa +， 的图象与直线 1y = 有且仅有两 个不同的交点，试确定 的值（不必证明） ，并求函数 ()yfxx= R， 的单调增区间 18 （本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 111 ABC ABC 中， 90ACB= null ， AC BC a= = ， DE， 分别为棱 AB BC， 的中点， M 为棱 1 AA 上的点，二面角 M DE A 为 30 null （ I）证明： 11 1 AB CD ； （ II）求 MA的长，并求点 C 到平面 MDE 的距离 19 （本小题满分 12 分） 某企

9、业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本 C 与产量 q的函数关系式为 3 2 3 20 10( 0) 3 q Cqqq= + + 该种产品的市场前景无法确定， 有三种可能出现的情况， 各种情形发生的概率及产品价格 p 与产量 q的函数关系式如下表所示： 市场情形 概率 价格 p 与产量 q的函数关系式 好 0.4 164 3p q= 中 0.4 101 3p q= 差 0.2 70 4p q= 设 123 LLL， 分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量 k ，表示当产量为 q，而市 场前景无法确定的利润 （ I）分别求利润 123 LLL， 与产量 q的函数关系式； （ II）

10、当产量 q确定时，求期望 k E ； （ III）试问产量 q取何值时， k E 取得最大值 1 A 1 C 1 B C B A M D E 20 （本小题满分 14 分） 已知正三角形 OAB的三个顶点都在抛物线 2 2y x= 上， 其中 O为坐标原点， 设圆 C 是 OAB 的内接圆（点 C 为圆心） （ I）求圆 C 的方程； （ II）设圆 M 的方程为 22 ( 4 7cos ) ( 7cos ) 1xy + =，过圆 M 上任意一点 P 分别 作圆 C 的两条切线 PE PF， ，切点为 E F， ，求 CECF nullnullnullnullnullnullnullnull

11、， 的最大值和最小值 21 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a ， n b 与函数 ()f x ， ()gx， xR 满足条件： nn ab= ， 1 () ( )( ) nn fb gb n + =N* . （ I）若 () 1 0 2fx tx t t+ ， ， () 2gx x= ， () ()f bgb ， lim n n a 存在，求 x 的取 值范围； （ II）若函数 ()y fx= 为 R 上的增函数， 1 () ()gx f x = ， 1b= ， (1) 1f ，证明对任意 nN*， lim n n a （用 t表示） 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 22 22 () 2( ) 2 1 t fx x tx x x t= +， 1 () () 2 gx fx= （ I）证明：当 22t 时， ()gx在闭区间 ab， 上 是减函数； （ III）证明： 3 () 2 fx