2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-湖北卷.pdf

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1、2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学（文史类） 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟 祝考试顺利 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上指定位置. 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号答在试题卷上无效 3将填空题和解答题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题 对应的答题区域内答在试题卷上无效 4考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交 一、选择题：本大题共 10 小题，每小

2、题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 tan 690 的值为（ ） 3 3 3 3 3 3 2 如果 |9Uxx= 是小于 的正整数 ， 1234A = ， ， ， ， 3456B = ， ， ， ， 那么 UU A B =（ ） 12， 34， 56， 78， 3如果 2 3 2 3 n x x 的展开式中含有非零常数项，则正整数 n的最小值为（ ） 10 6 5 3 函数 21 (0) 21 x x yx + = 的反函数是（ ） 2 1 log ( 1) 1 x yx x + = 2 1 log ( 1) 1 x yx x = + 5 在棱长为

3、 1 的正方体 111 1 ABCD A B C D 中， E F， 分别为棱 11 AABB， 的中点， G 为棱 11 A B 上的一点，且 1 (0 1)AG = 则点 G 到平面 1 D EF 的距离 为（ ） 3 2 2 2 3 5 5 6为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校 100 名高中男生的体重情况，根据所 1 D 1 C C B A E 1 A G F 1 B D 得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示根据此图，估计该校 2000 名高中男生中体 重大于 70.5 公斤的人数为（ ） A 300 B 360 C 420 D 450 7将 5 本不同的书全发给 4 名

4、同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ） A 15 64 B 15 128 C 24 125 D 48 125 8由直线 1y x=+上的一点向圆 22 (3) 1xy +=引切线，则切线长的最小值为（ ） A 1 B 22 C 7 D 3 9 设 (4 3)= ，a ， a在 b上的投影为 52 2 ， b在 x 轴上的投影为 2， 且 |14b ， 则 b为 （ ） A (2 14)， B 2 2 7 ， C 2 2 7 ， D (2 8)， 10已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件， q 是 r 的充分条件， s 是 r 的必要条件， q 是 s 的必要条件，现有下列命题： s 是

5、 q 的充要条件； p 是 q 的充分条件而不是必要条件； r 是 q 的必要条件而不是充分条件； p 是 s 的必要条件而不是充分条件； r 是 s 的充分条件而不是必要条件 则正确命题的序号是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡相应位置上 11设变量 x y， 满足约束条件 30 0 23 xy xy x + + ， ， ， 则目标函数 2x y+ 的最小值为 12过双曲线 22 1 43 xy =左焦点 1 F 的直线交曲线的左支于 M N， 两点， 2 F 为其右焦点， 频率 组距 0.08 0.07 0.06 0.05

6、0.04 0.03 0.02 0.01 54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5 体重（ kg） 则 22 MFNFMN+的值为 _ 13 已知函数 ()y fx= 的图象在点 (1 (1)Mf， 处的切线方程是 1 2 2 yx=+，则 (1) (1)ff+= 14某篮球运动员在三分线投球的命中率是 1 2 ，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的概率为 （用数值作答） 15为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知 药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时 间 t （小时）成正比；药物

7、释放完毕后， y 与 t 的函数关系式为 1 16 ta y = （ a 为常数） ，如图所示，根据图中提供的信息，回 答下列问题： （ I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时 间 t （小时）之间的函数关系式为 （ II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么 从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 () 2sin 3cos2 4 f xxx =+ ， 42 x ， （ I）求 ()

8、f x 的最大值和最小值； （ II）若不等式 () 2fx m在 42 x ， 上恒成立，求实数 m 的取值范围 17 （本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 V ABC 中， VC ABC底面 ， ACBC ， D 是 AB 的中点，且 O 0.1 1 y （毫克） t （小时） AC BC a=， 0 2 VDC = （ I）求证：平面 VAB 平面 VCD ； （ II）试确定角 的值，使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 6 18 （本小题满分 12 分） 某商品每件成本 9 元，售价为 30 元，每星期卖出 432 件，如果降低价格，销售量可以增加， 且每星期多卖出的商品件

9、数与商品单价的降低值 x （单位：元， 030 x ）的平方成正 比，已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件 （ I）将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数； （ II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 19 （本小题满分 12 分） 设二次函数 2 ()f xxaxa=+，方程 () 0fx x = 的两根 1 x 和 2 x 满足 12 01xx ， 1nnn baa + = （ *nN ） ，且 n b 是 以 q 为公比的等比数列 （ I）证明： 2 2nn aaq + = ； （ II）若 21 2 2 nn n ca a =+，证明数列 n c 是等比数列

10、； （ III）求和： 1234 212 1111 1 1 nn aaaa a a + +null 21 （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 (0 )Cp， 作直线与抛物线 2 2x py= （ 0p ）相交于 A B， 两点 （ I）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O的对称点，求 ANB 面积的最小值； （ II）是否存在垂直于 y 轴的直线 l ，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存 在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由 （此题不要求在答题卡上画图） 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（文史类）试题参考答案 一、选

11、择题：本题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 25 分 11 3 2 12 8 13 3 14 15 128 15 1 10 1 10 0 10 11 16 10 t tt y t = ， ， ； 0.6 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 16本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和 性质解题的能力 解： （） () 1cos 2 3cos2 1sin2 3cos2 2 f xxxxx = + =+ 12sin2 3 x =+

12、A B x y N C O 又 42 x ， ， 2 2 633 x ，即 212sin2 3 3 x + ， max min () 3 () 2fx fx=， （） () 2 () 2 () 2fx m fx m fx 且 min () 2mfx+， 14m ，即 m 的取值范围是 (1 4)， 17本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运 算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力 解法 1： （） ACBCa= ， ACB 是等腰三角形，又 D 是 AB 的中点， CD AB ，又 VC 底面 ABC VC AB 于是 AB 平面 VCD 又 AB 平面

13、 VAB ， 平面 VAB 平面 VCD （） 过点 C 在平面 VCD 内作 CH VD 于 H ，则由（）知 CD 平面 VAB 连接 BH ，于是 CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角 依题意 6 CBH=，所以 在 CHDRt 中， 2 sin 2 CH a = ； 在 BHCRt 中， sin 62 a CH a=， 2 sin 2 = 0 2 ， 4 = 故当 4 = 时，直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 6 解法 2： （）以 CA CB CV， 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间 直角坐标系，则 2 (000) ( 00) (0

14、0) 0 00 tan 22 2 aa CAaBaD V ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 于是， 2 tan 22 2 aa VD a = nullnullnullnull ， ， 0 22 aa CD = nullnullnullnull ， ， (0)ABaa= nullnullnullnull ， 从而 22 11 (0) 0 00 22 2 2 aa AB CD a a a a = = + + = nullnullnullnull nullnullnullnull ， ， ，即 AB CD 同理 22 211 (0) tan 00 22 2 2 2 aa AB VD a a a

15、 a a = = + + = nullnullnullnullnullnullnullnull ， ， ， 即 AB VD 又 CD VD D= ， AB 平面 VCD 又 AB 平面 VAB 平面 VAB 平面 VCD （）设平面 VAB 的一个法向量为 ()x yz= ，n ， 则由 00AB VD= nullnullnullnull ，nn 得 0 2 tan 0 22 2 ax ay aa xy az += + = ， 可取 (1 1 2 cot )= ， ，n ，又 (0 0)BCa= nullnullnullnull ， ， 于是 2 2 sin sin 62 22cot BC a

16、 BC a = = + nullnullnullnull nullnullnullnull n n ， 即 2 sin 2 = 0 2 ， 4 = 故交 4 = 时，直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 6 解法 3： （）以点 D 为原点，以 DC DB， 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系，则 222 (000) 0 0 0 0 00DA aBaCa ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 22 0tan 22 Va ， ， ，于是 22 0tan 22 DV a a = nullnullnullnull ， ， ， 2 00 2 DC a = nul

17、lnullnullnull ， ， ， (0 2 0)ABa= nullnullnullnull ， 从而 (0 2 0)ABDC a= nullnullnullnull nullnullnullnull ， 2 00 0 2 a = ， ， ，即 AB DC 同理 22 (0 2 0) 0 tan 0 22 AB DV a a a = = nullnullnullnull nullnullnullnull ， ， ， ，即 AB DV 又 DC DV D= ， AB 平面 VCD 又 AB 平面 VAB ， 平面 VAB 平面 VCD A D B C V x y z （）设平面 VAB 的一

18、个法向量为 ()x yz= ，n ， 则由 00AB DV= nullnullnullnull nullnullnullnull ，nn，得 20 22 tan 0 22 ay ax az = + = ， 可取 (tan 0 1)n = ， ， ，又 22 0 22 BCaa = nullnullnullnull ， ， 于是 2 2 tan 2 2 sin sin 62 1tan a BC BC a = = + nullnullnullnull nullnullnullnull n n ， 即 sin 0 224 = ， ， ， ， 0 11 322 322 a a aa + ， ， ，或

19、， 0322a 时， ()ha 单调增加， 当 0322a 时， 2 0 ( ) (3 2 2) 2(3 2 2) 2(17 12 2)ha h = = 11 2 16 17 12 2 = + i ，即 1 (0) (1) (0) 16 ff fi 解法 2： （ I）同解法 1 （ II） 2 (0) (1) (0) (0) (1) 2f ff gg a= =，由（ I）知 0322a ， 41122170a ， 于是 22 11 1 2 (32 1) (4 2 1)(4 2 1) 0 16 16 16 aa aa= = +， 即 2 1 20 16 a ，故 1 (0) (1) (0) 1

20、6 ff f + + ， ， ， ， 0 1 322 322 a a aa + ， ， 或 0322a 故所求实数 a 的取值范围是 (0 3 2 2)， （ II）依题意可设 12 () ( )( )gx xxxx= ，则由 12 01xx ，得 12 1 2 1 1 2 2 (0) (1) (0) (0) (1) (1 )(1 ) (1 ) (1 )f ff ggx xxxxxx= = = 22 112 2 1 226 xxxx+ + = ，故 1 (0) (1) (0) 16 ff f 20本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能， 考查分析问题能力和推

21、理能力 解法 1： （ I）证：由 1n n b q b + = ，有 12 2 1 nn n n nn aa a q a aa + + + = = ， 2 2 () nn aaqn + =N* （ II）证： 2 2nn aqq = ， 222 21 23 1 n nn aaq aq =null ， 22 222 2 n nn aaq aq =null ， 22 22 22 22 21 2 1 2 1 2 22()5 nn nn nn n ca a aq aq a aq q =+= + =+ = n c 是首项为 5，以 2 q 为公比的等比数列 （ III）由（ II）得 22 21 1

22、11 n n q aa = ， 22 22 11 n n q aa = ，于是 12 2 13 21 24 2 11 1 11 1 11 1 nn n aa a aa a aa a + = + + + nullnull null 24 22 24 22 12 111 1111 1 nn aqq q aqq q = + + + nullnull 21 22 311 1 1 2 n qq q =+ null 当 1q = 时， 24 22 12 2 11 1 3 11 1 1 2 n n aa a q q q + = + nullnull 3 2 n= 当 1q 时， 24 22 12 2 11

23、1 3 11 1 1 2 n n aa a q q q + = + nullnull 2 2 31 21 n q q = 2 22 2 31 2(1) n n q qq = 故 2 12 2 22 2 3 1 2 11 1 1 1. (1) n n n nq qaa a q qq = + = 3 2 null ， ， ， 解法 2： （ I）同解法 1（ I） （ II）证： 22 2*121 22 21 2 21 2 21 2 22 () nn n n n nn n n n ca a qa qa qn ca a a a + + + = =N ，又 11 2 25ca a= +=， n c 是

24、首项为 5，以 2 q 为公比的等比数列 （ III）由（ II）的类似方法得 22 22 21 2 1 2 () 3 nn nn aaaaq q +=+ = ， 34 21212 12 2 12 34 212 11 1 nn nnn aa a aaa aa a aa aa aa + + = + +nullnull， 22 2221 2 44 212 33 22 k kkk k kk aa q q aa q + + = ， 12kn= null， ， 222 12 2 11 1 3 (1 ) 2 n k qq aa a + + = +nullnull 下同解法 1 21本小题主要考查直线、圆和

25、抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识 进行推理运算的能力和解决问题的能力 解法 1： （）依题意，点 N 的坐标为 (0 )Np， ，可设 11 2 2 ()( )Ax y Bx y， ， ， 直线 AB 的方程为 y kx p=+，与 2 2x py= 联立得 2 2x py ykxp = = + ， 消去 y 得 22 220 xpkxp= 由韦达定理得 12 2x xpk+= ， 2 12 2x xp= 于是 12 1 2 2 AMN BCN ACN SSS pxx=+= 2 12 12 12 ()4px x p x x xx= + 22 2 2 2 482 2ppk p

26、 pk=+=+， 当 0k = ， 2 min ()22 ABN Sp= （）假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 ya= ， N O A C B y x 设 AC 的中点为 O， l 与 AC 为直径的圆相交于点 P ， QPQ， 的中点为 H ， 则 OH PQ ， Q点的坐标为 11 22 x yp+ ， 2222 11 1 11 1 () 22 2 OP AC x y p y p =+=+ ， 1 1 1 2 22 yp OH a a y p + = = ， 22 2 PH OP OH= 22 2 11 ()(2 ) 44 yp ayp=+ 1 () 2 p ayapa = + ，

27、2 2 (2 )PQ PH= 1 4() 2 p ayapa =+ 令 0 2 p a=， 得 2 p a = ， 此时 PQ p= 为定值， 故满足条件的直线 l 存在， 其方程为 2 p y = ， 即抛物线的通径所在的直线 解法 2： （）前同解法 1，再由弦长公式得 222222 12 12 12 1 1()4 148ABkxx kxxx kpkp=+ =+ + =+ + 22 21 2pkk=+ + ， 又由点到直线的距离公式得 2 2 1 p d k = + 从而 22 22 2 11 2 21 2 2 2 22 1 ABN p SdABpkk pk k =+ =+ + ， 当 0

28、k = 时， 2 max ()22 ABN Sp= （）假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 ya= ，则以 AC 为直径的圆的方程为 11 ( 0)( ) ( )( ) 0 xxxypyy=， 将直线方程 y a= 代入得 2 11 ()( )0 xxxapay+ =， 则 2 111 4( )( ) 4 ( ) 2 p x apay a y apa = = + 设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 33 44 ()()Px y Qx y， ， ， N O A C B y x O l 则有 34 1 1 4()2 () 22 pp PQ x x a y a p a a y a p a = + = + 令 0 2 p a=， 得 2 p a = ， 此时 PQ p= 为定值， 故满足条件的直线 l 存在， 其方程为 2 p y = ， 即抛物线的通径所在的直线