2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-上海卷.pdf

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1、1 C C B 1 B 1 A A 2007 年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) 考生注意： 1答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚 2本试卷共有21道试题，满分150分考试时间120分钟请考生用钢笔或圆珠笔将 答案直接写在试卷上 一填空题（本大题满分 44 分）本大题共有 11 题，只要求直接填写结果，每个空格填对 得 4 分，否则一律得零分 1方程 9 1 3 1 = x 的解是 2函数 1 1 )( = x xf 的反函数 = )( 1 xf 3直线 014 =+ yx 的倾斜角 = 4函数 sec cos 2 yx x = + 的最小正周期

2、=T 5以双曲线 1 54 22 = yx 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 6若向量 ab nullnull ， 的夹角为 null 60 ， 1= ba ，则 ( ) aab = null nullnull i 7如图，在直三棱柱 111 CBAABC 中， null 90=ACB ， 2 1 =AA ， 1= BCAC ，则异面直线 BA 1 与 AC 所成角的 大小是 （结果用反三角函数值表示） 8某工程由 A BCD， 四道工序组成，完成它们需用时间依次为 25 4x， 天四道工 序的先后顺序及相互关系是： A B， 可以同时开工； A 完成后， C 可以开工；

3、 BC， 完成后， D 可以开工若该工程总时数为 9 天，则完成工序 C 需要的天数 x 最大是 9在五个数字 12345， 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示） 10对于非零实数 ab， ，以下四个命题都成立： A B l C 0 1 + a a ； 222 2)( bababa +=+ ； 若 | ba = ，则 ba = ； 若 aba = 2 ，则 ba = 那么，对于非零复数 ab， ，仍然成立的命题的所有序号是 11如图， A B， 是直线 l 上的两点，且 2=AB 两个半径相等的动圆分别与 l 相切于 A B， 点， C 是这两个圆的公共点

4、，则圆弧 AC ， CB 与 线段 AB 围成图形面积 S 的取值范围是 二选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A， B， C， D 的四 个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内） ，一律得零 分 12已知 abR， ，且 i3,i2 + ba （ i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两 个根，那么 ab， 的值分别是（ ） 32ab= =， 32ab= =， 32ab= =， 32ab= =， 13圆 012 22 =+ xyx 关于直线 0

5、32 =+ yx 对称的圆的方程是（ ） 2 1 )2()3( 22 =+ yx 2 1 )2()3( 22 =+ yx 2)2()3( 22 =+ yx 2)2()3( 22 =+ yx 14数列 n a 中， 2 2 2 1 1 1000 1001 2 n n n a n n nn = ， ， ， ， 则数列 n a 的极限值（ ） 等于 0 等于 1 等于 0 或 1 不存在 15设 )(xf 是定义在正整数集上的函数，且 )(xf 满足： “当 2 ()f kk 成立时，总可推 出 (1)fk+ 2 )1( +k 成立” 那么，下列命题总成立的是（ ） 若 1)1( f 成立，则 10

6、0)10( f 成立 若 4)2( xxfxf ； （ 2）讨论函数 )(xf 的奇偶性，并说明理由 20 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分 如果有穷数列 123 m aaa anull， （ m 为正整数） 满足条件 m aa = 1 ， 12 = m aa ， ， 1 aa m = ， 即 1+ = imi aa （ 12im= null， ， ） ，我们称其为“对称数列” y O 1 A 2 B 2 A 1 B . . . M 1 F 0 F 2 F x . 例如，数列 12521， 与数列 8422

7、48， 都是“对称数列” （ 1） 设 n b 是 7 项的 “对称数列” ， 其中 1234 bbbb， 是等差数列， 且 2 1 =b ， 11 4 =b 依 次写出 n b 的每一项； （ 2）设 n c 是 49 项的“对称数列” ，其中 25 26 49 cc cnull， 是首项为 1，公比为 2 的等比 数列，求 n c 各项的和 S ； （ 3）设 n d 是 100项的“对称数列” ，其中 51 52 100 dd dnull， 是首项为 2 ，公差为 3的等 差数列求 n d 前 n 项的和 n S ( 1 2 100 )n = null， ， 21 （本题满分 18 分）

8、本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 9 分 我们把由半椭圆 1 2 2 2 2 =+ b y a x (0)x 与半椭圆 1 2 2 2 2 =+ c x b y (0)x 合成的曲线称 作“果圆” ，其中 222 cba += ， 0a ， 0 cb 如图，设点 0 F ， 1 F ， 2 F 是相应椭圆的焦点， 1 A ， 2 A 和 1 B ， 2 B 是“果圆” 与 x ， y 轴的交点， M 是线段 21 AA 的中点 （ 1）若 012 FFF 是边长为 1 的等边三角形，求该 “果圆”的方程； （ 2）设 P 是“果圆”的半

9、椭圆 1 2 2 2 2 =+ c x b y (0)x 上任意一点求证：当 PM 取得最小值时， P 在点 12 BB， 或 1 A 处； （ 3）若 P 是“果圆”上任意一点，求 PM 取得最小值时点 P 的横坐标 P B C A D O 2007 年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷） 数学试卷 (文史类 )答案要点 一、填空题（第 1 题至第 11 题） 1 1=x 2 )0( 1 1 + x x 3 4arctan 4 5 xy 12 2 = 6 2 1 7 6 6 arccos 8 3 9 3.0 10 11 02 2 ， 二、选择题（第 12 题至第 15 题） 题 号 12

10、13 14 15 答 案 A C B D 三、解答题（第 16 题至第 21 题） 16解：作 PO 平面 ABCD ，垂足为 O 连接 AO ， O 是 正方形 ABCD 的中心， PAO 是直线 PA 与平面 ABCD 所成的角 PAO null 60 ， 2=PA 3=PO 1=AO ， 2=AB ， 1123 32 33 ABCD VPOS= =i 17解： 由题意，得 3 cos 5 BB= ， 为锐角， 5 4 sin =B ， 10 27 4 3 sin)sin(sin = = BCBA ， 由正弦定理得 7 10 =c ， 111048 sin 2 22757 SacB=i 1

11、8解： （ 1） 由已知得 2003， 2004， 2005， 2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36 ， %38 ， %40 ， %42 则 2006 年全球太阳电池的年生产量为 8.249942.140.138.136.1670 (兆瓦 ) （ 2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x ，则 4 4 1420(1 ) 95% 2499.8(1 42%) x+ + 解得 0.615x 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 %5.61 19解： （ 1） 12 1 2 )1( 2 22 + x x x x x ， 0 1 22 xx ， 0)1( xx 原不等

12、式的解为 10 x （ 2）当 0=a 时， 2 )( xxf = ， 对任意 (0)(0)x +， ， )()()( 22 xfxxxf = ， )(xf 为偶函数 当 0a 时， 2 () ( 0 0) a fx x a x x =+ ， ， 取 1=x ，得 (1) (1) 2 0 (1) (1) 2 0ff ff a+ = = ， ， (1) (1) (1) (1)f ff f ， ， 函数 )(xf 既不是奇函数，也不是偶函数 20解： （ 1）设数列 n b 的公差为 d ，则 11323 14 =+=+= ddbb ，解得 3=d ， 数列 n b 为 25811852， ， （

13、 2） 4921 cccS += null 25492625 )(2 cccc += null ( ) 122212 242 += null ( ) 321122 2625 = =67108861 （ 3） 51 100 2 2 3 (50 1) 149dd=+=， 由题意得 12 50 dd dnull， 是首项为 149，公差为 3 的等差数列 当 50n 时， nn dddS += null 21 nn nn n 2 301 2 3 )3( 2 )1( 149 2 += += 当 51 100n 时， nn dddS += null 21 ( ) n dddS += null 52515

14、0 ( 50)( 51) 3775 2 ( 50) 3 2 nn n =+ i 7500 2 299 2 3 2 += nn 综上所述， 2 2 3 301 150 22 3 299 7500 51 100 22 n nn n S nn n + = + ， ， 21解： （ 1） ( ) ( ) 22 22 01 2 (0) 0 0Fc F b c F b c ， ， ， ， ， ( ) 22 2 22 02 12 121FF bc c b FF bc=+= =， ， 于是 2222 37 44 cabc=+=， ， 所求“果圆”方程为 22 4 1( 0) 7 xy x+= ， 22 4 1( 0) 3 yx x+= （ 2）设 ()P xy， ，则 2 2 2 2 | y ca xPM + = 22 2 () 1() 0 4 bac xacx b cx c = + + ， ， 01 2 2 = 2 2 2 )( ，即 ca 2 时，由于 2 |PM 在 ax ， 当 |PM 取得最小值时，点 P 的横坐标是 a 或 c